吉林省长春外国语学校2022届高三数学上学期第一次质量检测试题理本试卷分第Ｉ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔记清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第Ｉ卷(选择题共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合，，若，则（）A．B．C．D．2．已知向量a=（λ，1），b=（λ+2，1），若|a+b|=|a-b|，则实数λ的值为()A．1B．2C．-1D．-23．设等差数列的前项和为，若，则S9等于()A．180B．90C．72D．10第6题图4．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是()A．B．C．D．5．设复数，则在复平面内对应的点坐标为（）A.B．C．D．第7题图6．如图所示，程序框图的功能是（）A．求{}前10项和B．求{}前10项和C．求{}前11项和D．求{}前11项和第7题图7．某几何体的三视图如右图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是（）A．2B．C．D．38．有下列关于三角函数的命题：，若，则；与函数的图像相同；-8-；的最小正周期为．其中的真命题是（）A．，B．，C．，D．，9．设a，b，c是空间三条直线，,是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（）A．当c⊥时，若c⊥，则∥ B．当时，若b⊥，则C．当，且c是a在内的射影时，若b⊥c，则a⊥bD．当，且时，若c∥，则b∥c10．下列四个结论正确的个数是（）①若组数据的散点都在上，则相关系数②由直线曲线及轴围成的图形的面积是③已知随机变量服从正态分布则④设回归直线方程为，当变量增加一个单位时，平均增加2.5个单位A．0B．1C．2D．311．直线与圆的四个交点把圆分成的四条弧长相等，则（）A.或B.或C．D．12．已知函数f(x)的定义域为R，且满足，为f(x)的导函数，又知的图像如图所示，若两个正数满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．二项式的展开式中常数项为14．记集合构成的平面区域分别为M,N，现随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为_________15．已知数列为等比数列，且，则的值为16．已知函数是定义在上的奇函数，对都有成立，当且时，有,给出下列命题(1)在[-2，2]上有5个零点(2)点(2022，0)是函数的一个对称中心(3)直线x=2022是函数图像的一条对称轴(4)则正确的是．-8-三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）17.(本小题满分10分)中，已知角的对边分别为，且成等差数列。（1）若，求的值；（2）求的取值范围．18．（本小题满分12分）设数列的前项和满足（1）求证数列是等比数列并求通项公式；（2）设，为的前n项和，求．19．（本小题满分12分）某公司从大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分）．公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作，180分以下者到乙部门工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作．（1）如果用分层抽样的方法从甲部门人选和乙部门人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是甲部门人选的概率是多少？男女8861686543217654218563211902(2)若从所有甲部门人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任助理工作的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．20．（本小题满分12分）正的边长为4，是边上的高，、分别是和边的中点，现将沿翻折成直二面角.（Ⅰ）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）求四面体ABCD的外接球表面积.21．（本小题满分12分）已知椭圆+=1（a>b>0)的离心率为，且过点（，-8-).（1）求椭圆方程；（2）设不过原点的直线：，与该椭圆交于、两点，直线、的斜率依次为、，满足，试问：当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．22．（本小题满分12分）已知函数（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）函数是否存在零点？若存在，求出零点的个数；若不存在，说明理由．长春外国语学校2022—2022学年上学期高三第一次质量检测数学（理科）参考答案一、CCBCDBCDBDBA二、13、-1014、15、16、(1).(2).(4)三、17.（1）因为成等差数列，所以…………….1分因为，即所以，即…………..3分因为，所以，即所以，所以…………..5分（2）由（1）知…………..8分因为，所以所以的取值范围是…………..10分-8-18．解：（1），两式相减得：，故数列是公比为3的等比数列。…………..3分又，…………..6分（2）写出错位相减…………..8分…………..12分19.解：（1）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是，…………..2分根据茎叶图，甲部门入选10人，乙部门入选10人，所以选中的甲部门人选有4人，乙部门人选有4人。………….4分用事件A表示至少有一名甲部门人选被选中，则P(A)=，因此至少有一人是甲部门人选的概率是…………..6分(2)依题意，X的取值分别是0，1，2，3，，…………..8分X0123-8-P1/303/101/21/6因此，X的分布列如下：…………..10分所以X的数学期望…………..12分20．（1）面…………..4分（2）…………..8分（3）…………..12分21．解：（1）依题意可得解得所以椭圆C的方程是…………..4分（2）当变化时，为定值，证明如下：由得，.设P，Q.则，…………..8分直线OP、OQ的斜率依次为，且,-8-，得,将代入得：，经检验满足.…………..12分22.（Ⅰ），，…………..2分．当时，．又．…………..4分则在处的切线方程为…………..6分（Ⅱ）函数的定义域为．当时，，所以．即在区间上没有零点．…………..8分当时，，令．只要讨论的零点即可．，．当时，，是减函数；当时，，是增函数．所以在区间最小值为．显然，当时，，所以是的唯一的零点；当时，，所以没有零点；当时，，所以有两个零点．…………..12分-8--8-
