北大附中高二第二学期数学期中考试______班姓名：________ 一、选择题：（30分） 1．若用C、R和I分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C为全集，则 A．C=R∪IB．R∩I={0} C．D．R∩I=ф 2．已知x、y是复数， （1）若，则x=y=0， （2）若xy=0，则x=0或y=0 （3）， （4）若则x是纯虚数。 上面的命题中正确的命题的个数是 A．0B．1C．2D．3 3．若a>b>0则 A．B． C．D． 4．某个命题与自然数n有关，如果当n=k(k∈N)时该命题成立，那么可推出n=k+1时该命题也成立，现已知当n=100时该命题不成立，那么可以推得： A．当n=101时该命题不成立 B．当n=101时该命题成立 C．当n=99时该命题不成立 D．当n=99时该命题成立 5．复数等于 A．B． C．D． 6．集点在（-1，0），顶点在（1，0）的抛物线方程是 A．6/6\n B． C． D． 7．用一个与圆柱母线成60度的平面截圆柱，截口是一个椭圆，这个椭圆的离心率是 A．B．0.5 C．0.25D． 8．设双曲线C：的左准线与x轴交点是M，则过M与双曲线C有且只有一个交点的直线共有 A．2条B．3条 C．4条D．无数条 9．过抛物线的焦点做直线交抛物线与，两点，若则|AB|等于： A．2pB．4p C．6pD．8p 10．将曲线C向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到曲线C′，若曲线C′的方程为，则曲线C的焦点坐标为： A．（6，1），（0，-1）B．（-6，1）（0，1） C．（-3，2），（-3，-4）D．（3，2），（3，-4） 二、填空题：（32分） 11．椭圆：的离心率e=_______，准线方程：________. 12．复数的实部是______，虚部是______. 13．已知等比数列中，，， ，则等于_________。 14．计算：。6/6\n 15．双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴，过，一条渐近线方程为12x-5y=0，则双曲线方程为：___________ 16．已知方程|z-2|-|z+2|=a表示等轴双曲线（实轴和虚轴长度相等的双曲线），则实数a的值为：________ 17．已知|z|=2，则当z=_________时，有|z+5i|的最大值等于___________ 18．某桥的桥洞是抛物线，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度为_________米。（精确到0.1米） 三．过程题： 19．（6分）求满足下列条件的复数z： 20．（8分）过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于P、Q两点，O是坐标原点，求△OPQ的面积。 21．（12分）已知数列满足：，,（n∈N） （1）计算、、，猜想数列的通项公式；用数学归纳法给出证明。 （2）比较与的大小，证明得到的结论。 22．（12分）设双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率e=2，其中一个焦点与抛物线相同，直线a：y=kx+1与双曲线C交于A、B两点， （1）求双曲线C的方程；（2）k为何值时，以AB为直径的圆过原点； （3）是否存在这样的实数k，使A、B关于直线y=mx对称(m为常数)？若存在求出k；若不存在说明理由。 北大附中高二第二学期数学期中考试参考答案 一．1.D2.B3.A4.C5.D6.D7.B8.C9.B10.B 二． 11．， 12．-2，3 13． 14．-1+(7-9i)/5=-12/5-9i/56/6\n 15． 16． 17．2i7 18．2.6 三． 19．解设z=x+yi,x,y∈R 解得： 所求复数为：z=3i 20．解： （1）计算得：、、；(1分) 猜想的通项公式为：其中n∈N 下面用数学归纳法给出证明： 直接验算知，,满足。 假设n=k和n=k+1时猜想成立，即；； 猜想也成立， 由数学归纳法知： 的通项公式是其中n∈N （2），，、、， 、、 当n≥7有，成立，(1分) 下面证明这一结论： n=7时已验证命题成立：6/6\n 假设n=k（≥7）时有成立， n=k+1时：， 这是因为k≥7时， 命题也成立，由数学归纳法知： 对n≥7得自然数，有成立。(5分) 综上所述：当n=1或n≥7时：；当使：2≤n≤6时，。(6分) 21．解： 抛物线的焦点为F（1，0），过F点倾斜角为的直线方程设为y=-(x-1)与联立。 可以求得|PQ|=8。坐标原点O到直线y=-(x-1)的距离为△OPQ的高，其数值为， 故所求△OPQ的面积为（面积单位）。 22．略解： （1）所求双曲线C的方程： （2）……①与直线a：y=kx+1……②联立 得：……③ △>0得……④ 设，，要使以AB为直径的圆过原点，就要OA⊥OB， 也即： 利用③和韦达定理，得，k=±1这个结果也满足条件④。 （3）若双曲线C上存在A、B关于直线y=mx对称，则，⑤ AB的中点，应在直线y=mx上， 于是：6/6\n ……⑥ 再由③代入⑥： 。 得到k=3/m这与⑤矛盾。故所求k不存在。 6/6
