中国人民大学附属中学高三模拟考试数学试题（理科）第I卷（选择题共40分）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设全集,集合，,则（ ）A．B．C．D．2.设a＝20.3，b＝0.32，c＝log20.3，则a，b，c的大小关系是（ ）A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜b＜aD．b＜c＜a开始结束3.直线与曲线围成图形的面积为（ ）A.B.9C.D.4.某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）A．B．C．D．5.设等比数列的公比为，前项和为．则“”是“”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.某地举行一次民歌大奖赛，六个省各有一对歌手参加决赛，现要选出4名优胜者，则选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手的概率为（ ）A.B.C.D.7.已知函数的部分图象如图，则（ ）A.B.C.D.8.如图所示，正方体的棱长为1,20分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱、交于，设，，给出以下四个命题：①平面平面；②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；③四边形周长，是单调函数；④四棱锥的体积为常函数；以上命题中假命题的序号为（ ）A．①④B．②C．③D．③④第Ⅱ卷（非选择题共110分）二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.1.如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于第________象限。2.如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA=∠DBA，若AD=m，AC=n，则AB=_________.3.一几何体的三视图如下：其体积为.4.已知直线的参数方程为，曲线C的参数方程为.则直线的倾斜角为_______________;设点Q是曲线C上的一个动点，则点Q到直线的距离的最小值为___________.5.已知双曲线C的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为10，点P（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为_________________________.6.已知A、B为函数，x∈[a,b]图象的两个端点，M(x,y)是图象上任意一点，其中。又已知向量，若不等式20恒成立，则称函数上“k阶线性近似”．若函数在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为___________________.三．解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.1.（本小题满分13分）已知分别是的三个内角的对边，.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求函数的值域.2.（本小题满分14分）20如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面平面ABCD，（Ⅰ）若M为PA中点，求证：AC//平面MDE；（Ⅱ）求直线PE与平面PBC所成角的正弦值.（Ⅲ）在PC上是否存在一点Q，使得平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为.201.（本小题满分13分）小型风力发电项目投资较少，开发前景广阔.受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险.根据测算，IEC（国际电工委员会）风能风区分类标准如下：风能分类一类风区二类风区平均风速m/s8.5—106.5—8.5某公司计划用不超过100万元的资金投资于A、B两个小型风能发电项目.调研结果是：未来一年内，位于一类风区的A项目获利%的可能性为0.6，亏损%的可能性为0.4；B项目位于二类风区，获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.2，不赔不赚的可能性是0.2.假设投资A项目的资金为（）万元，投资B项目资金为（）万元，且公司要求对A项目的投资不得低于B项目.（Ⅰ）请根据公司投资限制条件，写出满足的条件，并将它们表示在平面内;（Ⅱ）记投资A，B项目的利润分别为和，试写出随机变量与的分布列和期望，;（Ⅲ）根据（Ⅰ）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和的最大值，并据此给出公司分配投资金额建议.201.（本小题满分13分）已知函数，.（Ⅰ）已知函数在取得极小值，求的值;（Ⅱ）讨论函数的单调区间；（Ⅲ）当>时，若存在，使得<，求实数的取值范围.201.（本小题满分14分）已知，坐标平面上一点P满足：的周长为6，记点P的轨迹为.抛物线以为焦点，顶点为坐标原点O.（Ⅰ）求，的方程；（Ⅱ）若过的直线与抛物线交于两点,问在上且在直线外是否存在一点,使直线的斜率依次成等差数列,若存在,请求出点的坐标,若不存在,请说明理由.201.（本小题满分13分）正整数数列满足：，（Ⅰ）写出数列的前5项；（Ⅱ）将数列中所有值为1的项的项数按从小到大的顺序依次排列，得到数列，试用表示（不必证明）；（Ⅲ）求最小的正整数，使．20中国人民大学附属中学高三模拟考试2022.5.数学试题（理科）第I卷（选择题共40分）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设全集,集合，,则（ ）A．B．C．D．【答案】D2.设a＝20.3，b＝0.32，c＝log20.3，则a，b，c的大小关系是（ ）A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜b＜aD．b＜c＜a【答案】C.3.直线与曲线围成图形的面积为A.B.9C.D.【答案】C.解得或，由定积分的几何意义知，直线与曲线围成图形的面积为=.选C.4.某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）开始结束A．B．C．D．【答案】B5.设等比数列的公比为，前项和为．则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】C201.某地举行一次民歌大奖赛，六个省各有一对歌手参加决赛，现要选出4名优胜者，则选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手的概率为( )A.B.C.D.【答案】A 选出4名优胜者共有C124种不同的方法．对其中恰有且只有两人是同一省份的歌手，首先从六个省份中选出一个省的一对歌手有C61种不同的方法，再从剩下的五个省中选出两个省有C52种方法，再从选中的两个省中每个省选出1个歌手有C21·C21＝4(种)，∴共有C61·C52·C21·C21＝240(种)，所以所求概率为P＝＝.故选A.2.已知函数的部分图像如图，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】根据图像，解得，把点的坐标代入，得，结合得，故，，函数的最小正周期是，在一个周期内的各个函数值之和为，，。3.如图所示，正方体的棱长为1,分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱、交于，设，，给出以下四个命题：①平面平面；②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；③四边形周长，是单调函数；④四棱锥的体积为常函数；20以上命题中假命题的序号为（ ）A．①④B．②C．③D．③④【答案】C第Ⅱ卷（非选择题共110分）二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.1.如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于第________象限。【答案】二。【解析】，，，对应的点的坐标为，所以位于第二象限.2.如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA=∠DBA，若AD=m，AC=n，则AB=_________.【答案】。【解析】由弦切角定理知:∠PBA=∠ACB,又因为∠PBA=∠DBA，所以∠DBA=∠ACB,所以,,解得AB=.3.一几何体的三视图如下：其体积为；解析： (1)该几何体的直观图如图，棱锥P－ABC，其中PC⊥面ABC，∠ABC＝90°，△ABC斜边AC上的高为cm，PC＝6cm，AC＝5cm，∴VP－ABC＝××5××6＝12(cm3)．201.已知直线的参数方程为，曲线C的参数方程为.则直线的倾斜角为_________________;设点Q是曲线C上的一个动点，则点Q到直线的距离的最小值为____________.【答案】。因为点在曲线上，故可设点，点到直线：的距离为，所以当时，。2.已知双曲线C的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为10，点P（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为_________________________。【答案】-=1或-+=1。3.已知A、B为函数，x∈[a,b]图象的两个端点，M(x,y)是图象上任意一点，其中。又已知向量，若不等式恒成立，则称函数上“k阶线性近似”．若函数在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为___________________。A．B．C．D．【答案】D20三．解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.1.（本小题满分13分）已知分别是的三个内角的对边，.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求函数的值域.解：（I）由正弦定理，得：，…………………………2分即故，……………………………………5分。所以.……………………………………………………………………7分（II）.……………………………………8分.…………………11分.20所以所求函数值域为..……………………………………………………13分1.（本小题满分14分）如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面平面ABCD，（Ⅰ）若M为PA中点，求证：AC//平面MDE；（Ⅱ）求直线PE与平面PBC所成角的正弦值.（Ⅲ）在PC上是否存在一点Q，使得平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为.【解析】（Ⅰ）连结,交与,连结，∵中，分别为两腰的中点,∴………………1分因为面,又面，所以平面……3分（Ⅱ）∵,∴,又平面，平面平面，∴平面，又平面，∴.…………4分以为空间坐标系的原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，,……6分设面的法向量，应有即：解得：，所以………8分设与所成角的大小为，20∴……………9分（Ⅲ）设-------10分设平面的单位法向量为，即：……………………………………………………11分解得：，所以………………………12分面的法向量，平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为.………………13分所以，PC上存在点Q满足条件，Q与P重合，或……………14分1.（本小题满分13分）小型风力发电项目投资较少，开发前景广阔.受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险.根据测算，IEC（国际电工委员会）风能风区的分类标准如下：风能分类一类风区二类风区平均风速m/s8.5---106.5---8.5某公司计划用不超过100万元的资金投资于A、B两个小型风能发电项目.调研结果是：未来一年内，位于一类风区的A项目获利%的可能性为0.6，亏损%的可能性为0.4；20B项目位于二类风区，获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.2，不赔不赚的可能性是0.2.假设投资A项目的资金为（）万元，投资B项目资金为（）万元，且公司要求对A项目的投资不得低于B项目.（Ⅰ）请根据公司投资限制条件，写出满足的条件，并将它们表示在平面内;（Ⅱ）记投资A，B项目的利润分别为和，试写出随机变量与的分布列和期望，;（Ⅲ）根据（Ⅰ）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和的最大值，并据此给出公司分配投资金额建议.解：(1)，如图………………4分（2）A项目投资利润的分布列P0.60.4………………………………………………………………6分…………………………………………………………………7分B项目投资利润的分布列0P0.60.20.2………………………………………………………………9分……………………………………………………………10分……………………………………………………………11分由(I)可知，当，公司获得获利最大，最大为17.5万元.…………13分1.（本小题满分13分）已知函数，.（Ⅰ）已知函数在取得极小值，求的值;（Ⅱ）讨论函数的单调区间.20（Ⅲ）>时，存在（，+），<，求实数的取值范围；【解析】（Ⅰ）函数的定义域为，且=（1+2）+,………1分因为函数在取得极小值，所以即=2（1+2）+=0，.……………………2分解得.………………3分经检验：时，函数在取得极小值，所以.……………4分（Ⅱ）=（1+2）+==令=0，则=或=2……………6分i、当2>,即>时，（，）（，2）2（2，+）+00+所以的增区间为（，）和（2，+），减区间为（，2）……7分ii、当2=,即=时，=0在（，+）上恒成立，所以的增区间为（，+）……………8分iii、当0<2<,即0<<时，（，2）2（2，）（，+）+00+所以的增区间为（，2）和（，+），减区间为（2，）……9分20综上所述：0<<时，的增区间为（，2）和（，+），减区间为（2，）=时，的增区间为（，+）>时，的增区间为（，）和（2，+），减区间为（，2）（Ⅲ）由题意，>时，存在（，+），<，即>时,在（，+）上的最小值小于.……………10分由（Ⅱ）>时，在（，2）上递减，在（2，+）上递增，在（，+）上的最小值为，…………………………………………………11分所以<,即<……………………………………12分化简得，，，又>，所以，所求实数的取值范围为……………13分1.（本小题满分14分）已知，坐标平面上一点P满足：的周长为6，记点P的轨迹为。抛物线以为焦点，顶点为坐标原点O。（Ⅰ）求，的方程；（Ⅱ）若过的直线与抛物线交于两点,问在上且在直线外是否存在一点,使直线的斜率依次成等差数列,若存在,请求出点的坐标,若不存在,请说明理由.【思路分析】本题主要考查椭圆和抛物线的标准方程、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类整合思想、数形结合思想、化归转化思想等．解：（Ⅰ）依题意可知，的周长为，由于，故，由于，故点P的轨迹为为以20为焦点的椭圆的一部分，且，故，故的方程为：；的方程为：.……5分（Ⅱ）设，设直线的方程为：，，…………………………6分故，故，…8分由，，故，………………………………………………………10分故，…………………………………………………11分因为直线不经过点M，故，故或，…12分当时，上除点外，均符合题意；…………………………13分当时,则当时，椭圆上存在两点和都符合条件.…………………14分1.（本小题满分13分）正整数数列满足：，（Ⅰ）写出数列的前5项；（Ⅱ）将数列中所有值为1的项的项数按从小到大的顺序依次排列，得到数列，，试用表示（不必证明）；（Ⅲ）求最小的正整数，使．解：（Ⅰ），，，，；………………………………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，…，猜想使的下标满足如下递推关系：.对归纳：时已成立，设已有，则由条件可知，20，，，，….归纳易得：，.（*）故当时，.因此成立.…………………………………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，，记，则，故，因此，由（*）式可知，当时，.因此，当时，；而当时，要么有，要么有，即取不到2022，进而考虑的情况，由，解得，故.故使得的最小为5817.…………………………………………………13分20
