2022届高三第四次模拟考试数学（文科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合P={y|y=（）x，x≥0}，Q={x|y=lg（2x﹣x2）}，则P∩Q为（ ）A．（0，1]B．∅C．（0，2）D．{0}2．（5分）已知z=m2﹣1+（m2﹣3m+2）i（m∈R，i为虚数单位），则“m=﹣1”是“z为纯虚数”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知直线m、n与平面α、β，下列命题正确的是（ ）A．m⊥α，n∥β且α⊥β，则m⊥nB．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC．α∩β=m，n⊥m且α⊥β，则n⊥αD．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n4．（5分）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）A．B．C．D．6．（5分）已知函数f（x）=kx﹣1，其中实数k随机选自区间[﹣2，2]，∀x∈[0，1]，f（x）≤0的概率是（ ）A．B．C．D．-16-7．（5分）已知函数g（x）=|ex﹣1|的图象如图所示，则函数y=g′（x）图象大致为（ ）A．B．C．D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的a=918，b=238，则输出的n=（ ）A．2B．3C．4D．349．（5分）已知，设，y=logbc，，则x，y，z的大小关系正确的是（ ）A．z＞x＞yB．z＞y＞xC．x＞y＞zD．x＞z＞y10．（5分）数列{an}的通项，其前n项和为Sn，则S40为（ ）-16-A．10B．15C．20D．2511．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，其中侧棱长为8cm，底面边长为12cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的表面积为（ ）A．36πcm2B．64πcm2C．80πcm2D．100πcm212．（5分）已知点A（﹣3，﹣）是抛物线C：y2=2px（p＞0）准线上的一点，点F是C的焦点，点P在C上且满足|PF|=m|PA|，当m取最小值时，点P恰好在以原点为中心，F为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A．3B．C．D．二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设x，y满足约束条件：，则z=x﹣2y的最大值为 ．14．（5分）已知奇函数f（x）=，则函数h（x）的最大值为 ．15．（5分）如图所示，两个非共线向量，的夹角为θ，M、N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN上，且=x+y（x，y∈R），则x2+y2的最小值为 ．16．（5分）设直线l：3x+4y+4=0，圆C：（x﹣2）2+y2=r2（r＞0），若圆C上存在两点P，Q，直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，则r的取值范围是 ．-16-三、解答题（解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．（1）求函数f（x）的解析式及最小正周期；（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（12分）某医学院读书协会欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，该协会分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如图所示的频率分布直方图．该协会确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）已知选取的是1月至6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出就诊人数y关于昼夜温差x的线性回归方程；（Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（Ⅰ）中该协会所得线性回归方程是否理想？参考公式：回归直线的方程，其中，．-16-19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，M为PC的中点．（Ⅰ）在棱PB上是否存在一点Q，使用A，Q，M，D四点共面？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由．（Ⅱ）求点D到平面PAM的距离．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点A（﹣，1），斜率为的直线l1过椭圆C的焦点及点B（0，﹣2）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知直线l2过椭圆C的左焦点F，交椭圆C于点P、Q，若直线l2与两坐标轴都不垂直，试问x轴上是否存在一点M，使得MF恰为∠PMQ的角平分线？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=ln+ax﹣1（a≠0）．（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知g（x）+xf（x）=﹣x，若函数g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：g（x1）＜0． -16-22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长． 23．设f（x）=|x|+2|x﹣a|（a＞0）．（1）当a=1时，解不等式f（x）≤8．（2）若f（x）≥6恒成立，求实数a的取值范围． -16-参考答案 1．A【解析】∵2x﹣x2＞0，∴0＜x＜2，∴Q=（0，2）；∵P={y|y=（）x，x≥0}，∴P=（0，1]∴P∩Q=（0，1]．故选A. 2．C【解析】若z=m2﹣1+（m2﹣3m+2）i为纯虚数，则m2﹣1=0，m2﹣3m+2≠0，解得m=﹣1．∴“m=﹣1”是“z为纯虚数”的充要条件．故选C． 3．B【解析】对于A，m⊥α，n∥β且α⊥β，则m∥n，故不正确；对于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m与n一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m与n相交，且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，故命题正确；对于C，若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，利用面面垂直的性质定理即可得出：n⊥α，因此不正确；对于D，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，A1D1∥平面ABCD，AD∥平面A1B1C1D1，A1D1∥AD；EP∥平面ABCD，PQ∥平面A1B1C1D1，EP∩PQ=P；A1D1∥平面ABCD，PQ∥平面A1B1C1D1，A1D1与PQ异面．综上，直线m，n与平面α，β，m∥α，n∥β且α∥β，则直线m，n的位置关系为平行或相交或异面．故选B．-16- 4．C【解析】将函数=sin2（x+）的图象向左平移个单位长度，可得函数y═sin2（x++）=sin（2x+）的图象，故选C． 5．C【解析】根据已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，其底面面积S=π，高h==，故体积V==，故选C． 6．D【解析】由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比，∵﹣2≤k≤2，其区间长度是4，又∵对∀x∈[0，1]，f（x）≥0且f（x）是关于x的一次型函数，在[0，1]上单调，∴，∴﹣2≤k≤1，其区间长度为3，∴P=，故选D． 7．C【解析】根据函数图象可知当x＜0时，切线的斜率小于0，且逐渐减小，-16-当x＞0时，切线的斜率大于0，且逐渐增加，故选C． 8．A【解析】输入a=918，b=238，n=0，r=204，a=238，b=204，n=1，r=34，a=204，b=34，n=2，r=0，输出n=2，故选A． 9．A【解析】∵，∴=﹣logba=﹣×=，2a＞3，a＞log23＞1，∈（0，1）．y=logbc＜0，＞＞=，∴z＞x＞y．故选A．10．C【解析】=n，∴a1=0，a2=﹣2，a3=0，a4=4，a5=0，a6=﹣6，…，可得a2n﹣1=0，a2n=（﹣1）n•2n．则S40=（a1+a3+…+a39）+（a2+a4+…+a40）=﹣2+4﹣…+40=20．故选C． 11．B【解析】根据几何意义得出：边长为12的正三角形，球的截面圆为正三角形的内切圆（如图），∴内切圆的半径为O1D=2，∵球面恰好接触水面时测得水深为6cm，∴d=8﹣6﹣8=2，-16-∴球的半径为：RR2=（R﹣2）2+（2）2，解得R=4则球的表面积为4πR2=64π故选B. 12．A【解析】点A（﹣3，﹣）是抛物线C：y2=2px（p＞0）准线x=﹣上的一点，可得﹣=﹣3，即p=6，则抛物线的标准方程为y2=12x，则抛物线的焦点为F（3，0），准线方程为x=﹣3，过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，∵|PF|=m|PA|，∴|PN|=m|PA|，则=m，设PA的倾斜角为α，则cosα=m，当m取得最小值时，cosα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx+3k﹣，代入y2=12x，可得y2﹣y+3k﹣=0，∴△=1﹣4••（3k﹣）=0，∴k=或﹣，可得切点P（2，±2），由题意可得双曲线的焦点为（﹣3，0），（3，0），-16-∴双曲线的实轴长为﹣=7﹣5=2，∴双曲线的离心率为e===3．故选A．13．3 【解析】由题意作x，y满足约束条件：，平面区域如下，，化简z=x﹣2y为y=x﹣，﹣是直线y=x﹣的截距，故过点（3，0）时截距有最小值，此时z=x﹣2y有最大值3，故答案为：3．-16-14．1﹣e 【解析】先求出x＞0，f（x）=﹣1的最小值，f′（x）=，∴x∈（0，1），f′（x）＜0，函数单调递减，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，函数单调递增，∴x=1时，函数取得极小值也即最小值e﹣1，∴h（x）的最大值为1﹣e，故答案为：1﹣e． 15．【解析】因为点C、M、N共线，所以=，且λ+μ=1，又因为M、N分别为OA与OB的中点，∴+．，∴．由．可得x2+y2，当x=y=时，取等号．故答案为：. 16．[，+∞]【解析】由题意，直线l：3x+4y+4=0，圆C：（x﹣2）2+y2=r2（r＞0），圆心为（2，0），半径r．点P，Q是圆C上的点，M是直线上的点，使得∠PMQ=90°，可知，四边形CPMQ是正方形，圆心到直线的距离d=，解得：r．∴r的取值范围是[，+∞]．故答案为：[，+∞]． 17．解：（1），-16-∴==4﹣2sin（x+），f（x）的最小正周期为2π；（6分）（2）因为f（A）=4，所，因为0＜A＜π，所以，因为，所以bc=3，根据余弦定理，所以，即三角形的周长为．（12分） 18．解：（Ⅰ）由数据求得，，，由公式求得，所以，所以y关于x的线性回归方程为．（Ⅱ）当x=10时，，；同样，当x=6时，，．所以，该协会所得线性回归方程是理想的． 19．解：（Ⅰ）当点Q为棱PB的中点时，A，Q，M，D四点共面，证明如下：取棱PB的中点Q，连接QM，QA，又M为PC的中点，所以QM∥BC，在菱形ABCD中AD∥BC，所以QM∥AD，所以A，Q，M，D四点共面．（Ⅱ）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，取AD中点O，连接OP，OC，AC，可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，-16-平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P﹣ACD的体高．在Rt△POC中，PO=OC=，PC=，在△PAC中，PA=AC=2，PC=，边PC上的高AM==，所以△PAC的面积S△PAC==，设点D到平面PAC的距离为h，S△ACD==由VD﹣PAC=VP﹣ACD得，解得h=，所以点D到平面PAM的距离为． 20．解：（Ⅰ）斜率为的直线l1过椭圆C的焦点及点B（0，﹣2）．则直线l1过椭圆C的右焦点（c，0），∴c=2，又∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点A（﹣，1），∴，且a2=b2+4，解得a2=6，b2=2．∴椭圆C的方程：．（Ⅱ）设点M（m，0），左焦点为F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=，由消去x，得（）y2﹣﹣2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=，y1•y2=．-16-要使MF为∠PMQ的一条角平分线，必满足kPM+kQM=0．即，∵，代入上式可得y1y2﹣2（y1+y2）﹣m（y1+y2）=0，解得m=﹣3，∴点M（﹣3，0）．x轴上存在一点M（﹣3，0），使得MF恰为∠PMQ的角平分线．21．（I）解：f（x）=ln+ax﹣1=﹣lnx+ax﹣1，定义域是（0，+∞）∴f′（x）=．a＞0时，令f′（x）=0，得x=，0＜x＜，f′（x）＜0，x＞，f′（x）＞0，∴函数的单调减区间是（0，），单调增区间是（，+∞）；a＜0，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，函数单调递减；（Ⅱ）证明：已知g（x）+xf（x）=﹣x，则g（x）=xlnx﹣ax2，g′（x）=lnx﹣2ax+1，∵函数g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），∴g′（x）在定义域上有两个零点x1，x2（x1＜x2），∴x1，x2是lnx﹣2ax+1=0的两个根，∴lnx1﹣2ax1+1=0，∴g（x1）=，∵g′（x）=lnx﹣2ax+1，∴g″（x）=．a＜0时，g″（x）＞0恒成立，∴g′（x）在（0，+∞）内单调递增，∴g′（x）至多一个零点；a＞0时，令g″（x）=0得x=，0＜x＜，g″（x）＞0，x＞，g″（x）＜0，∴g′（x）max=g′（）=ln=﹣ln2a＞0，∴0＜a＜且0＜x1＜＜x2，∵g（x1）=，抛物线开口向上，对称轴为x=，-16-∴g（x1）＜0．22．解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．23．解：（1）当a=1时，f（x）=|x|+2|x﹣1|=当x＜0时，由2﹣3x≤8得，﹣2≤x＜0当0≤x≤1时，由2﹣x≤8得，0≤x≤1当x＞1时，由3x﹣2≤8得，1＜x≤综上所述不等式f（x）≤8的解集为[﹣2，]（2）∵f（x）=|x|+2|x﹣a|=则f（x）在（﹣∞，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，∴当x=a时，f（x）取最小值a.若f（x）≥6恒成立，则a≥6∴实数a的取值范围为[6，+∞）． 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