2022学年第二学期徐汇区高一年级数学学科学习能力诊断卷（A卷）2022.6.（考试时间：100分钟，满分100分）题号一二三四五六七总分1-1415-181920212223得分一、填空题（本大题满分42分）本大题共14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分1、若数列满足：，则=。2、若，则=。3、若等差数列的首项，前三项和为15，则通项公式=。4、已知的周长为18，若，则此三角形中最大边的长为。5、设等比数列的公比，前项和为，则。6、已知数列的前项和为，则数列的通项公式=。7、在中，，则的面积为。8、等比数列中，若和是方程的两个根，则=。9、已知数列为等差数列，前项和为，若则。10、函数的反函数为。11、已知数列的通项公式为，若数列为单调递增数列，则实数的取值范围是。12、已知数列为等差数列，，前项和为，则取最大值时的值为。13、在数列中，，且，前项和为，则=。14、设函数的图象与直线及轴所围成图形的面积称为函数在14/14上的面积。已知函数在上的面积为，则在上的面积为。二、选择题（本大题满分12分）本大题共4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得3分；不选、错选或者多选（不论是否写在圆括号内），一律得零分15、在中，若则这个三角形的形状是（）（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）不能确定16、用数学归纳法证明：，从到时，等式左边需增乘的代数式是（）（A）（B）（C）（D）17、已知函数，现有四个命题：（1）函数的最小正周期为；（2）函数在区间上是增函数；（3）函数的图象关于直线对称；（4）函数是奇函数。其中真命题的个数是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个18、若数列满足为正常数，，则称数列为“等方比数列”。甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则（）（A）甲是乙的充分非必要条件（B）甲是乙的必要非充分条件（C）甲是乙的充要条件（D）甲是乙的非充分非必要条件三、解答题（本大题满分46分）本大题共5题，解答下列各题必须写出必要的步骤19、（本题满分8分）每小题满分各为4分设函数（1）求函数的最大值和最小正周期；（2）设A、B、C为的三个内角，若，且C为锐角，求角A。14/1420、（本题满分8分）每小题满分各为4分某工程队为支援抗旱，需连续作业打一口30米深的井．工程队预计每打深1米与所需时间的对应关系如下表所示：第1米第2米第3米第4米……20分钟24分钟28分钟32分钟……如果每打深1米所需时间按表中规律依次增加，问：(1)打最后1米需多少分钟？(2)打完这口井共需多少分钟？21、（本题满分10分）第(1)小题满分为4分；第(2)小题满分为6分设数列的首项，且，记。（1）求；（2）求并判断数列是否为等比数列？试证明你的结论。14/1422、（本题满分10分）第(1)小题满分为4分；第(2)小题满分为6分SyO1348xPNM1如图，某市拟在长为8千米的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定。（1）求的值和M，P两点间的距离；（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？23、（本题满分10分）第(1)小题满分为2分；第(2)小题满分为4分；第(3)小题满分为4分已知等比数列的前项和为常数），数列的首项为，且前项和满足。（1）求常数的值；（2）求数列的通项公式；（3）设数列前项和为，若对任意正整数，恒成立，求实数的最大值。14/14答案：（A卷）一、填空题：1、4；2、；3、；4、8；5、15；6、；7、8、；9、36；10、；11、；12、20；13、2600；14、二、选择题：15、B；16、C；17、C；18、B三、解答题：19、（1），………………2分所以，最小正周期为………………4分（2），………………5分，………………6分且C为锐角，故………………7分所以………………8分20、(1)设工程队打第米所需时间为（分钟），由条件可得数列为等差数列，且，……………………………1分故，………………2分（分钟），即打最后1米需136分钟．……………………4分(2)由题意可知，打完这口井共需时间为数列的前30项和，故，即打完这口井共需要2340分钟．…………………………………………………………8分21、（1）；………………4分（2）因为，14/14所以………………7分猜想数列是公比为的等比数列，………………8分证明如下：所以数列是首项为，公比为的等比数列………………10分注：若用数学归纳法证明，则相应给分22、（1）依题意，有A=，，又，所以，………………2分即当时，………………4分（2）解法一：设，由正弦定理得：，，………………6分故=………………8分时，即设计为时，折线段赛道MNP最长。………………10分解法二：由余弦定理得：即………………6分故从而………………8分即，当且仅当MN=NP时等号成立。14/14亦即设计为MN=NP时，折线段赛道MNP最长。………………10分23、（1）因为数列是等比数列，所以也适合，即有………………2分（2）由（1）知又，所以，由知，故，所以数列是首项为，公差为1的等差数列。从而，………………5分所以，也适合上式，故………………6分（3）由（2）得：………………8分若对任意正整数，恒成立，即对任意正整数恒成立，设；数列单调递增，故；，即的最大值为………………10分14/142022学年第二学期徐汇区高一年级数学学科学习能力诊断卷（B卷）2022.6.（考试时间：100分钟，满分100分）题号一二三四五六七总分1-1415-181920212223得分一、填空题（本大题满分42分）本大题共14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分1、已知数列是等差数列，若，则公差。2、若数列满足：，则=。3、若是第三象限角，则=。4、已知实数成等比数列，若，则=。5、在中，若，则B=。6、已知等差数列的首项，前三项和为15，则通项公式=。7、已知的周长为18，若，则此三角形中最大边的长为。8、已知数列是等差数列,若,则。9、设等比数列的公比，前项和为，则。10、已知数列的前项和为，则数列的通项公式=。11、函数的反函数为。12、设等差数列的前项和为，则成等差数列。类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则，，成等比数列。13、已知数列，都是等差数列，且，数列满足14/14，则数列的前100项和是。14、函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围是。二、选择题（本大题满分12分）本大题共4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得3分；不选、错选或者多选（不论是否写在圆括号内），一律得零分15、如果数列是一个以为公比的等比数列，，那么数列是（）（A）以为公比的等比数列（B）以为公比的等比数列（C）以为公比的等比数列（D）以为公比的等比数列16、在中，若则这个三角形的形状是（）（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）不能确定17、在数列中，如果，那么使这个数列的前项和取得最大值时的值为（）（A）19（B）20（C）21（D）2218、已知函数，现有四个命题：（1）函数的最小正周期为；（2）函数在区间上是增函数；（3）函数的图象关于直线对称；（4）函数是奇函数。其中真命题的个数是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个三、解答题（本大题满分46分）本大题共5题，解答下列各题必须写出必要的步骤19、（本题满分8分）每小题满分各为4分已知函数。（1）若，求的值；（2）求的最大值和最小值。14/1420、（本题满分8分）每小题满分各为4分在中，若。求：（1）AC的长；（2）的面积。21、（本题满分10分）其中每小题满分各为5分某工程队为支援抗旱，需连续作业打一口30米深的井．工程队预计每打深1米与所需时间的对应关系如下表所示：第1米第2米第3米第4米……20分钟24分钟28分钟32分钟……如果每打深1米所需时间按表中规律依次增加，问：(1)打最后1米需多少分钟？(2)打完这口井共需多少分钟？14/1422、（本题满分10分）每小题满分各为5分已知函数的最大值是1，其图象经过点。（1）求函数的解析式；（2）已知，且，求的值。23、（本题满分10分）第(1)小题满分为6分；第(2)小题满分为4分已知等比数列的前项和，数列的首项为1，且前项和满足。（1）求数列和的通项公式；（2）若数列前项和为，问满足的最小正整数是多少？14/14答案：（B卷）一、填空题：1、；2、4；3、；4、；5、；6、；7、8；8、4；9、15；10、；11、；12、；13、6000；14、二、选择题：15、A；16、B；17、B；18、C三、解答题：19、……………2分（1），………………3分……………4分（2）的最大值为，最小值为………………8分20、（1）设由余弦定理得：………………2分故AC=3………………4分（2）………………8分21、(1)设工程队打第米所需时间为（分钟），由条件可得数列为等差数列，且，……………………………2分故，………………3分（分钟），即打最后1米需136分钟．……………………5分14/14(2)由题意可知，打完这口井共需时间为数列的前30项和，故，即打完这口井共需要2340分钟．…………………………………………………………10分22、（1）依题意：A=1，则………………2分将点代入得………………4分故………………5分（2）依题意：………………7分………………10分23、（1）因为适合，所以………………2分因为，所以数列是首项为，公差为1的等差数列。从而，………………4分所以，也适合上式，故………………6分（2）由（1）得：………………8分，即，故最小正整数………………10分14/1414/14
