辽宁省沈阳市2022年中考数学真题一、单选题1．计算正确的是（ ）A．2B．-2C．8D．-8【答案】A【知识点】有理数的加法【解析】【解答】解：．故答案为：A．【分析】利用有理数的加法法则计算求解即可。2．如图是由4个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）A．B．C．D．【答案】D【知识点】简单几何体的三视图【解析】【解答】解：从正面看易得上面第一层有1个正方形，第二层左边和右边都有一个正方形，如图所示：故答案为：D．【分析】结合所给的几何体，再对每个选项一一判断即可。3．下列计算结果正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方；幂的乘方【解析】【解答】A．，不符合题意；B．，不符合题意；C．，不符合题意；D．，符合题意；故答案为：D．【分析】利用幂的乘方，同底数幂的除法法则，积的乘方，完全平方公式计算求解即可。4．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（ ）A．B．C．D．【答案】B【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【解答】解：点A（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（-2，3）．故答案为：B．【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特点求解即可。5．调查某少年足球队全体队员的年龄，得到数据结果如下表：年龄/岁1112131415人数34722则该足球队队员年龄的众数是（ ）A．15岁B．14岁C．13岁D．7人【答案】C【知识点】众数【解析】【解答】解：∵年龄是13岁的人数最多，有7个人，∴这些队员年龄的众数是13；故答案为：C．【分析】根据年龄是13岁的人数最多，有7个人，求解即可。6．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】B【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集n【解析】【解答】解：移项合并得：，系数化1得：，表示在数轴上为∶故答案为：B．【分析】利用不等式的性质求解即可。7．如图，在中，，点D、E分别是直角边AC、BC的中点，连接DE，则度数是（ ）A．70°B．60°C．30°D．20°【答案】B【知识点】三角形内角和定理；三角形的中位线定理【解析】【解答】解：∵点D、E分别是直角边AC、BC的中点，∴DE是的中位线，∴，∴，∵，，∴，∴，故答案为：B．【分析】先求出DE是的中位线，再求出，最后计算求解即可。8．在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+1的图象是（ ）A．B．C．D．【答案】A【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系【解析】【解答】解：一次函数y=-x+1的一次项系数为−1<0，常数项为，函数图象经过一、二、四象限故答案为：A．【分析】根据一次函数y=-x+1的一次项系数为−1<0，常数项为，求出函数图象经过一、二、四象限，最后对每个选项一一判断即可。9．下列说法正确的是（ ）A．了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式B．如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票一定会中奖C．若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则乙组数据较稳定D．“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是必然事件【答案】A【知识点】真命题与假命题【解析】【解答】解：A．要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查的方式不合适，破坏性较强，应采用抽样调查，符合题意；B．如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票不一定一定会中奖，不符合题意；C．若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则＜，则甲组数据较稳定，不符合题意；D．“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是不可能事件，不符合题意．故答案为：A．【分析】根据命题的定义对每个选项一一判断即可。10．如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测P、Q两点距离为m米，，则河宽PT的长度是（ ）A．B．C．D．【答案】C【知识点】解直角三角形【解析】【解答】解：根据题意可得：，n∴，故答案为：C．【分析】先求出，再求解即可。二、填空题11．分解因式： ．【答案】【知识点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】【解答】解：=；故答案为：．【分析】利用提公因式法和完全平方公式分解因式即可。12．二元一次方程组的解是 ．【答案】或【知识点】代入消元法解二元一次方程组【解析】【解答】解：把②代入①得：x+2×2x=5，解得：，把代入②得：；∴原方程组的解为；故答案为．【分析】利用代入消元法解方程组即可。13．化简： ．【答案】x-1或-1+x【知识点】分式的混合运算【解析】【解答】解：原式=；故答案为x-1．【分析】利用分式的基本性质化简求值即可。14．如图，边长为4的正方形ABCD内接于，则的长是 （结果保留）【答案】【知识点】弧长的计算【解析】【解答】解：连接OA、OB．∵正方形ABCD内接于⊙O，∴AB＝BC＝DC＝AD＝4，AO＝BO，∴，∴∠AOB＝×360°＝90°，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AO2＋BO2＝2AO2＝42＝16，解得：AO＝2，∴的长＝，故答案为：．【分析】先求出，再求出AO＝2，最后利用弧长公式计算求解即可。15．如图四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上，点B在y轴上，反比例函数的图象经过第一象限点A，且平行四边形ABCD的面积为6，则 ．【答案】6【知识点】反比例函数系数k的几何意义【解析】【解答】解：过点A作AE⊥CD于点E，如图所示：∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴，n∴，∴△AED≌△BOC（AAS），∵平行四边形ABCD的面积为6，∴，∴；故答案为6．【分析】先求出，再求出△AED≌△BOC，最后求解即可。16．如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别在E，F且点F在矩形内部，MF的延长线交BC与点G，EF交边BC于点H．，，当点H为GN三等分点时，MD的长为 ．【答案】或4【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，CD=AB=4，∠D=∠C=90°，∴∠DMN=∠GNM，由折叠得，∠DMN=∠GMN，EF=CD==4，CN=EN=2，∠EFM=∠D=90°，∴∠GMN=∠GNM，∠GFH=∠NEH，∴GM=GN，又∠GHE=∠NHE，∴，∴，∵点H是GN的三等分点，则有两种情况：①若时，则有：∴EH=，GF=2NE=4，由勾股定理得，，∴GH=2NH=∴GM=GN=GH+NH=，∴MD=MF=GM-GF=；②若时，则有：∴EH=，GF=NE=1，由勾股定理得，，∴GH=NH=∴GM=GN=GH+NH=5；∴MD=MF=GM-GF=综上，MD的值为或4．【分析】先求出，再分类讨论计算求解即可。三、解答题17．计算：．【答案】解：原式＝．【知识点】实数的运算【解析】【分析】利用二次根式的性质，负整数指数幂，绝对值和特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。18．为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是 ；（2）小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率．【答案】（1）（2）解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种，∴两张卡片上的数字是2和3的概率为．【知识点】列表法与树状图法；概率公式【解析】【解答】（1）解：随机抽取一张卡片，卡片上的数字是4的概率为，故答案为：；n【分析】（1）求出随机抽取一张卡片，卡片上的数字是4的概率为，即可作答；（2）先画树状图，再求出共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种，最后求概率即可。19．如图，在中，AD是的角平分线，分别以点A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AD，AC于点E，O，F，连接DE，DF．（1）由作图可知，直线MN是线段AD的 ．（2）求证：四边形AEDF是菱形．【答案】（1）垂直平分线（2）证明：∵直线MN是线段AD的垂直平分线，∴，∵AD是的角平分线，∴，∵AO=AO，∴（ASA），∴OF=OE，∵AO=DO，∴四边形AEDF是平行四边形，∵，∴四边形AEDF是菱形．【知识点】菱形的判定；线段垂直平分线的判定【解析】【解答】（1）解：由题意得：直线MN是线段AD的垂直平分线；故答案为：垂直平分线；【分析】（1）根据垂直平分线的性质求解即可；（2）先求出，再利用全等三角形的判定与性质求解即可。20．某校积极落实“双减”政策，将要开设拓展课程，为让学生可以根据自己的兴趣爱好选择最喜欢的课程，进行问卷调查，问卷设置以下四种选项：A（综合模型）、B（摄影艺术）、C（音乐鉴赏）、D（劳动实践），随机抽取了部分学生进行调查，每名学生必须且只能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）此次被调查的学生人数为 名；（2）直接在答题卡中补全条形统计图；（3）求拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数；（4）根据抽样调查结果，请你估计该校800名学生中，有多少名学生最喜欢C（音乐鉴赏）拓展课程．【答案】（1）120（2）如图所示：（3）解：由条形统计图可知：D的人数是A的2倍，故D占总人数的20%所以D所占圆心角为20%答：课程D所对应的扇形的圆心角的度数为72．（4）解：若有800名学生，则喜欢C的学生数有：（名）答：有320名学生最喜欢C拓展课程．【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图【解析】【解答】（1）解：根据扇形统计图中，B是A的3倍故喜欢B的学生数为（名）统计调查的总人数有：12＋36＋48＋24＝120（名）．【分析】（1）根据扇形统计图中的数据计算求解即可；（2）根据（1）所求补全条形统计图即可；（3）根据题意求出D占总人数的20%所以D所占圆心角为20%即可作答；（4）根据该校800名学生计算求解即可。21．如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．（1）若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？（2）矩形框架ABCD面积最大值为 平方厘米．【答案】（1）解：设AB的长为x厘米，则有厘米，由题意得：，整理得：，解得：，∵，∴，∴都正确，答：AB的长为8厘米或12厘米．（2）150【知识点】一元二次方程的实际应用-几何问题【解析】【解答】（2）解：由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S平方厘米，则有：，∵，且，∴当时，S有最大值，即为；故答案为：150．【分析】（1）先求出，再解方程求解即可；（2）先求出，再利用函数的性质求解即可。22．如图，四边形内接于圆，是圆的直径，，的延长线交于点，延长交于点，．（1）求证：是圆的切线；（2）连接，，，的长为 ．n【答案】（1）证明：∵四边形内接于圆，∴，∵，∴，∴，∴，∵是圆的直径，∴是圆的切线．（2）6【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形【解析】【解答】（2）解：延长交的延长线于点，∵是圆的直径，∴，∴，∴是直角三角形，∴，∵四边形内接于圆，∴，又∵，∴，∴，∵，，∴，∴．故答案为：6．【分析】（1）先求出，再求出，最后证明即可；（2）根据题意先求出是直角三角形，再利用锐角三角函数，相似三角形的判定与性质求解即可。23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点，与直线OC交于点．（1）求直线AB的函数表达式；（2）过点C作轴于点D，将沿射线CB平移得到的三角形记为，点A，C，D的对应点分别为，，，若与重叠部分的面积为S，平移的距离，当点与点B重合时停止运动．①若直线交直线OC于点E，则线段的长为 （用含有m的代数式表示）；②当时，S与m的关系式为 ；③当时，m的值为 ．【答案】（1）解：将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线y＝kx+b，∴，解得．∴直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9；（2）m；m2；或15﹣2【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数-动态几何问题【解析】【解答】解：（2）①由（1）知直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9，令y＝0，则x＝12，∴A（12，0），∴OA＝12，OB＝9，∴AB＝15；如图1，过点C作CF⊥C′D′于点F，∴CF∥OA，∴∠OAB＝∠FCC′，∵∠C′FC＝∠BOA＝90°，∴△CFC′∽△AOB，∴OB：OA：AB＝C′F：CF：CC′＝9：12：15，∵CC′＝m，∴CF＝m，C′F＝m，∴C′（8﹣m，3+m），A′（12﹣m，m），D′（8﹣m，m），∵C（8，3），∴直线OC的解析式为：y＝x，∴E（8﹣m，3﹣m）.∴C′E＝3+m﹣（3﹣m）＝m．故答案为：m．②当点D′落在直线OC上时，有m＝（8﹣m），解得m＝，∴当0＜m＜时，点D′未到直线OC，此时S＝C′E•CF＝•m•m＝m2；故答案为：m2．③分情况讨论，当0＜m＜时，由②可知，S＝m2；令S＝m2＝，解得m＝＞（舍）或m＝﹣（舍）；当≤m＜5时，如图2，设线段A′D′与直线OC交于点M，∴M（m，m），∴D′E＝m﹣（3﹣m）＝m﹣3，D′M＝m﹣（8﹣m）＝m﹣8；∴S＝m2﹣•（m﹣3）•（m﹣8）＝﹣m2+m﹣12，令﹣m2+m﹣12＝；整理得，3m2﹣30m+70＝0，解得m＝或m＝＞5（舍）；当5≤m＜10时，如图3，S＝S△A′C′D′＝×4×3＝6≠，不符合题意；当10≤m＜15时，如图4，此时A′B＝15﹣m，∴BN＝（15﹣m），A′N＝（15﹣m），∴S＝•（15﹣m）•（15﹣m）＝（15﹣m）2，令（15﹣m）2＝，解得m＝15+2＞15（舍）或m＝15﹣2．故答案为：或15﹣2．【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；（2）①先求出A（12，0），再求出直线OC的解析式为：y＝x，最后求解即可；②先求出m＝（8﹣m），再解方程求解即可；③结合图像，分类讨论求解即可。24．如图（1）如图1，和是等腰直角三角形，，点C在OA上，点D在线段BO延长线上，连接AD，BC．线段AD与BC的数量关系为 ；（2）如图2，将图1中的绕点O顺时针旋转（n）第一问的结论是否仍然成立；如果成立，证明你的结论，若不成立，说明理由．（3）如图，若，点C是线段AB外一动点，，连接BC，①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值▲；②若以BC为斜边作，（B、C、D三点按顺时针排列），，连接AD，当时，直接写出AD的值．【答案】（1）AD=BC（2）解：结论仍成立，理由如下：∵和是等腰直角三角形，，∴，∴，即，∴（SAS），∴AD=BC；（3）解：①；②．【知识点】三角形的综合；三角形-动点问题【解析】【解答】解：（1）AD=BC，理由如下：∵和是等腰直角三角形，，∴，∴（SAS），∴AD=BC，故答案为AD=BC；（3）①如图，由题意得：，根据三角不等关系可知：，∴当A、C、D三点共线时取最大，∴，∵，，∴，∴AD的最大值为；②过点C作CE⊥AB于点E，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，如图所示：∴，∴点C、D、B、E四点共圆，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，设，则，∴，∴，，∴在Rt△AEC和Rt△BEC中，由勾股定理得：，整理得：①；在Rt△BFD中，由勾股定理得：，整理得：②，联立①②得：，解得：（不符合题意，舍去），∴，过点E作EM⊥AD于点M，∴，，∴，∴．【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质求解即可；n（2）先求出，再求出（SAS），最后证明即可；（3）①根据题意先求出，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可；②结合图形，利用勾股定理计算求解即可。25．如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线经过点和点与x轴另一个交点A．抛物线与y轴交于点C，作直线AD．（1）①求抛物线的函数表达式②并直接写出直线AD的函数表达式．（2）点E是直线AD下方抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，的面积记为，的面积记为，当时，求点E的坐标；（3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下部分组成新的曲线为，点C的对应点，点G的对应点，将曲线，沿y轴向下平移n个单位长度（）．曲线与直线BC的公共点中，选两个公共点作点P和点Q，若四边形是平行四边形，直接写出P的坐标．【答案】（1）解：①把点和点代入得：，解得：，∴抛物线解析式为；②直线AD的解析式为；（2）解：如图，过点E作EG⊥x轴交AD于点G，过点B作BH⊥x轴交AD于点H，当x=6时，，∴点H（6，-4），即BH=4，设点，则点，∴，∵的面积记为，的面积记为，且，∴BF=2EF，∵EG⊥x，BH⊥x轴，∴△EFG∽△BFH，∴，∴，解得：或0（舍去），∴点E的坐标为（2，-4）；（3）解：点P的坐标为．【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题【解析】【解答】（1）②令y=0，则，解得：，∴点A（-2，0），设直线AD的解析式为，∴把点和点A（-2，0）代入得：，解得：，∴直线AD的解析式为；(3)，∴点G的坐标为（2，-4），当x=0时，y=-3，即点C（0，-3），∴点，∴向上翻折部分的图象解析式为，∴向上翻折部分平移后的函数解析式为，平移后抛物线剩下部分的解析式为，设直线BC的解析式为，把点B（6，0），C（0，-3）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为，同理直线的解析式为，∴BC∥C′G′，设点P的坐标为，∵点，∴点C′向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点G′，∵四边形是平行四边形，∴点，当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时，，解得：（不合题意，舍去），当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时，，解得：或n（不合题意，舍去），当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，，解得：或（不合题意，舍去），综上所述，点P的坐标为．【分析】（1）①利用待定系数法求函数解析式即可；②先求出点A（-2，0），再求出，最后求函数解析式即可；（2）先求出点H（6，-4），再求出BF=2EF，最后列方程求解即可；（3）结合函数图象，利用待定系数法求解即可。
