函数、导数、不等式的综合问题 <br />一、选择题(每小题5分，共25分) <br />1．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)等于( )． <br /> <br />A. B．－ <br />C. D．－或 <br />2．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为( )． <br />A．1 B. C. D. <br />3．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是( )． <br />A. B. <br />C. D. <br />4．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－aln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于( )． <br />A．1 B．2 C．0 D. <br />5．设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则( )． <br />A．a＞－3 B． a＜－3 <br />C．a＞－ D．a＜－ <br />二、填空题(每小题5分，共15分) <br />6．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于________． <br />7．函数f(x)＝x3－x2＋ax－5在区间[－1,2]上不单调，则实数a的范围是________． <br />8．关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________． <br /> <br />三、解答题(本题共3小题，共35分) <br />9．(11分)已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋a.(a，b∈R)的导函数f′(x)的图象过原点． <br />(1)当a＝1时，求函数f(x)的图象在x＝3处的切线方程； <br />(2)若存在x＜0，使得f′(x)＝－9，求a的最大值． <br />10．(12分)已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋axln x，f(e)＝2(e＝2.718 28…是自然对数的底数)． <br />(1)求实数b的值； <br />(2)求函数f(x)的单调区间； <br />(3)当a＝1时，是否同时存在实数m和M(m＜M)，使得对每一个t∈[m， M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由． <br />11．(12分)已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3. <br />(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值； <br />(2)对一切的x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围； <br />(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x＞－. <br /> <br />参考答案 <br />1．D [ f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，∴f′(x)的图象开口向上，若图象不过原点，则a＝0时，f(－1)＝，若图象过原点，则a2－1＝0，又对称轴x＝－a＞0，∴a＝－1，∴f(－1)＝－.] <br />2．D [|MN|的最小值，即函数h(x)＝x2－ln x的最小值，h′(x)＝2x－＝，显然x＝是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t＝.] <br />3．A [因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m，所以f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－，不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－≥－9，解得m≥.] <br />4．B [ 函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，∴≥1，得a≥2.又 g′(x)＝2x－，依题意g′(x)≥0在x∈(1,2)上恒成立，得2x2≥a在x∈(1, 2)上恒成立，有a≤2，∴a＝2.] <br />5．B [令f(x)＝eax＋3x，可求得f′(x)＝3＋aeax，若函数在x∈R上有大于零的极值点，即f′(x)＝3＋aeax＝0有正根．当f′(x)＝3＋aeax＝0成立时，显然有a＜0，此时x＝ln.由x＞0，解得a＜－3，∴a的取值范围为(－∞，－3)．] <br />6．解析 由题得f′ (x)＝12x2－2ax－2b＝0，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.∴a＋b≥2，∴6≥2，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时取到最大值． <br />答案 9 <br />7．解析 f(x)＝x3－x2＋ax－5，∴ f′(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1，如果函数f(x)＝x3－x2＋ax－5在区间[－1,2]上单调，那么a－1≥0或f′(－1)＝3＋a≤0且f′(2)＝a≤0，∴a≥1或a≤－3.于是满足条件的a∈(－3,1)． <br />答案 (－3,1) <br />8．解析 由题意知使函数f(x)＝x3－3x2－a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得，x1＝0，x2＝2，当x＜0时，f′(x)＞0；当0＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0，所以当x＝0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值＝f(0)＝－a；当x＝2时，f(x)取得极小值...
