平面向量线性运算及综合应用问题 <br />一、选择题(每小题5分，共25分) <br />1．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是 <br />( )． <br />A．a∥b B．a⊥b <br />C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b <br />2．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|a－b|＝1，则|a＋b|＝ <br />( )． <br />A．1 B. C. D．2 <br />3．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝ <br />( )． <br />A. B. C．－ D．－ <br />4．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝ <br />( )． <br />A. B. C. D. <br />5．已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为 <br />( )． <br />A. B. C. D. <br />二、填空题(每小题5分，共15分) <br />6．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝________. <br />7．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________． <br />8．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________． <br /> <br /> <br />三、解答题(本题共3小题，共35分) <br />9．(11分)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(－cos x，cos x)，c＝(－1，0)． <br />(1)若x＝，求向量a，c的夹角； <br />(2)当x∈，时，求函数f(x)＝2a·b＋1的最大值． <br />10．(12分)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，c＝(－1,0)． <br />(1)求向量b＋c的长度的最大值； <br />(2)设α＝，且a⊥(b＋c)，求cos β的值．[] <br />11．(12分)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，sin Ccos C－cos2C＝，且c＝3. <br />(1)求角C； <br />(2)若向量m＝(1，sin A)与n＝(2，sin B)共线，求a、b的值． <br /> <br />参考答案 <br />1．B [两边平方求解．由|a＋b|＝|a－b|，两边平方并化简得a·b＝0，又a，b都是非零向量，所以a⊥b.] <br />2．C [如图，∵|a|＝|b|＝|a－b|＝1， <br /> <br />∴△AOB为正三角形， <br />∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝2－2a·b＝1， <br />∴a·b＝， <br />∴|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋2×＝3， <br />∴|a＋b|＝.] <br />3．A [由于＝2，得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，结合＝＋λ，知λ＝.] <br />4．C [依题意得，sin Acos B＋cos Asin B＝1＋cos(A＋B)， <br />sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，sin C＋cos C＝1， <br />2sinC＋＝1，sinC＋＝.又＜C＋＜， <br />因此C＋＝，C＝，选C.] <br />5．B [由(a＋2b)·(a－b)＝|a|2＋a·b－2|b|2＝－2，得a·b＝2，即|a|·|b|cos〈a，b〉＝2，cos〈a，b〉＝.故〈a，b〉＝.] <br />6．解析 a－2b＝(，1)－2(0，－1)＝(，3)， <br />又∵a－2b与c共线，∴a－2b∥c， <br />∴×－3×k＝0，解得k＝1. <br />答案 1 <br />7．解析 由题意：c＝－(a＋b)，又因为(a－b)⊥c，a⊥b， <br />可得⇒ <br />⇒|c|2＝(－a－b)2＝2，所以|a|2＋|b|2＋|c|2＝4. <br />答案 4 <br />8．解析 以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B(， <br /> <br />0)，E(，1)，D(0,2)，C(，2)．设F(x,2)(0≤x≤)，由·＝⇒x＝⇒x＝1，所以F(1,2)，·＝(，1)·(1－，2)＝. <br />答案 <br />9．解 (1)当x＝时， <br />cos〈a，c〉＝＝ <br />＝－cos x＝－cos ＝cos . <br />因为0≤〈a，c〉≤π，所以〈a，c〉＝. <br />(2)f(x)＝2a·b＋1＝2(－cos2x＋sin xcos x)＋1 <br />＝2sin xcos x－(2cos2x－1)＝sin 2x－cos 2x＝sin2x－. <br />因为x∈，，所以2x－∈，2π， <br />故sin2x－∈－1，.所以，当2x－＝， <br />即x＝时，[f(x)]max＝1. <br />10．解 (1)b＋c＝(cos β－1，sin β)，则 <br />|b＋c|2＝(cos β－1)2＋sin2β＝2(1－cos β)． <br />∵－1≤cos β≤1，∴0≤|b＋c|2≤4， <br />即0≤|b＋c|≤2. <br />当cos β＝－1时，有|b＋c|＝2， <br />所以向量b＋c的长度的最大值为2. <br />(2)由已知可得b＋c＝(cos β－1，sin β)， <br />a·(b＋c)＝cos αcos β＋sin αsin β－cos α＝cos(α－β)－cos α. <br />∵a⊥(b＋c)，∴a·(b＋c)＝0， <br />即cos(α－β)＝cos α. <br />由α＝，得cos－β＝cos ， <br />即β－＝2kπ±(k∈Z)． <br />∴β＝2kπ＋或β＝2kπ(k∈Z)， <br />于是cos β＝0或cos β＝1. <br /> <br />11．解 (1)∵sin Ccos C－cos2C＝， <br />∴sin 2C－cos 2C＝1，即sin2C－＝1， <br />∵0＜C＜π，∴ 2C－＝，解得C＝. <br />(2)∵m与n共线，∴sin B－2sin A＝0， <br />由正弦定理＝，得b＝2a，① <br />∵c＝3，由余弦定理，得9＝a2＋b2－2abcos ，② <br />联立方程①②，得 <br /> <br /> <br /> <br />
