第 1 讲 等差数列、等比数列 <br />1．（2011 陕西高考，文 10）植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一 <br />棵，相邻两棵树相距 10 米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．现将树坑从 1 到 20 <br />依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两 <br />个最佳坑位的编号为（ ）． <br />A．①和 B．⑨和⑩ C．⑨和 D．⑩和 <br />2．（2011 广东高考，文 11）已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的 <br />公比 q＝__________． <br />3．（2010 重庆高考，文 2）在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则 a5 的值为（ ）． <br />A．5 B．6 <br />C．8 D．10 <br />对等差、等比数列的概念与性质及其运用的考查，多以选择、填空题的形式出现，突出 <br />“小巧、灵活、善变”的特点，在高考题中，数列常常与函数、不等式、三角、解析几何、 <br />概率、充要条件相结合，在知识交汇处命题．以考查等差中项、等比中项、单调性等性质为 <br />主． <br />热点一 等差、等比数列的判定与证明 <br />判断一个数列是否为等差（等比）数列或证明一个数列是等差（等比）数列，最基本的 <br />方法是根据等差（等比）数列的定义，另外，还可使用中项公式，通项公式，或者前 n 项和 <br />公式等；若已知数列的递推关系求通项时，常对递推关系变形，构造一个新的等差（等比） <br />数列，从而进一步求原数列的通项公式，进而判断或证明． <br />【例 1】 数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＋Sn＝n．求证：数列{an－1}是等比数列． <br />思路点拨：利用定义证an＋1－1 <br />an－1 (或 an－1 <br />an－1－1n ≥ 2)为常数． <br />判定或证明数列{an}为等差数列或等比数列的四种基本方法： <br />（1）定义法：an＋1－an＝d（d 为常数） <br />⇔{an}为等差数列； <br />an＋1 <br />an ＝q（q 为非零常数）⇔{an}为等比数列． <br />（2）中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2（n∈N*）⇔{an}为等差数列； <br />a 2n＋1＝an·an＋2（an≠0，n∈N*）⇔{an}为等比数列． <br />（3）通项公式法：an＝pn＋q（p，q 为常数）⇔{an}为等差数列； <br />an＝cqn（c，q 为非零常数，n∈N*）⇔{an}为等比数列． <br />（4）前 n 项和公式法：Sn＝an2＋bn＋c（a，b，c 都是常数），c＝0⇔{an}为等差数列； <br />Sn＝k（qn－1），k 为常数，且 q≠0，1⇔{an}为等比数列． <br />提醒：①前两种方法是证明等差（等比）数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、 <br />填空中的判定； <br />②若要判定一个数列不是等差（等比）数列，则只需判定存在连续三项不成等差（等比） <br />即可． <br />拓展延伸在数列{an}中，an＋1＋an＝2n－44（n∈N*），a1＝－23．是否存在常数 λ 使数 <br />列{an －n＋λ}为等比数列，若存在，求出 λ 的值及数列的通项公式；若不存在，请说明理 <br />由． <br />热点二 由递推公式到通项公式 <br />（1）通过递推关系求得数列类型（等差或等比），进而求得通项公式； <br />（2）观察递推关系的特点，选择适当方法求得．一般常利用“化归法”、“累加法”、“累 <br />乘法”等． <br />【例 2】 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋ 1 <br />nn＋1 <br />．求数列{an}的通项公式． <br />思路点拨：由题意 an＋1－an＝ 1 <br />nn＋1 <br />＝1 <br />n－ 1 <br />n＋1，故可用累加法求 an． <br />1．已知 Sn，求 an 可用分段函数 an＝ <br />Error!求解． <br />2．累加法：数列递推关系形如 an＋1＝an＋f（n），其中{f（n）}要可求和．这种类型的 <br />数列求通项公式时，常用累加法（叠加法）． <br />3．累乘法：数列递推关系形如 an＋1＝g（n）an，其中{g（n）}要可求积，此数列求通 <br />项公式一般采用累乘法（叠乘法）． <br />4．构造法：递推关系形如： <br />（1）an＋1＝pan＋q（p，q 为常数），可化为 an＋1＋ q <br />p－1＝p(an＋ q <br />p－1)（p≠1）的形式， <br />利用{an＋ q <br />p－1}是以 p 为公比的等比数列求解； <br />（2）递推关系形如 an＋1＝pan＋qpn＋1（p，q 为常数）可化为an＋1 <br />pn＋1－an <br />pn＝q（p≠1）的形 <br />式． <br />5．数列递推关系形如 an＋1＝parn（p，r 为常数，且 p>0，an>0），求通项公式时一般采 <br />用递推关系式两边取对数的方法． <br />6 ．若 an ＝an ...
