圆的切线性质与判定 <br />一、知识结构 <br />考点一 点、直线与圆的位置关系 <br />1．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种，分别是 、 和 ． <br />2．直线与圆的位置关系 <br /> <br />相交 <br />相切 <br />相离 <br />公共点的个数 <br /> <br /> <br /> <br />公共点名称 <br /> <br /> <br /> <br />直线名称 <br /> <br /> <br /> <br />3.直线和圆的位置关系的性质与判定 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么： <br />(1)直线l和⊙O相交⇔ ；(2)直线l和⊙O相切⇔ ；(3)直线l和⊙O相离⇔ . <br />考点二 切线的判定和性质 <br />1．切线的判定方法(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； <br />(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的 ；(3)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． <br />2．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 ； <br />考点三 三角形的外接圆和内切圆 <br />名称 <br />三角形的外接圆 <br />三角形的内切圆 <br />圆心名称 <br /> <br /> <br />描述 <br />经过三角形三顶点的圆，外心是 的交点 <br />与三角形三边都相切的圆，内心是 的交点 <br />图形示例 <br /> <br /> <br />性质 <br />三角形外心到三角形三个顶点的距离相等 <br />三角形内心到三角形三边的距离相等 <br /> <br />【基础演练】 <br />1．已知⊙O的半径为4 cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5 cm，那么直线l和⊙O的位置关系是( ) <br />A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 <br />2．如图，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA，OB. 若∠ABC＝70°，则∠A等于( ) <br />A．15° B．20° C．30° D．70° <br />3．如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．试说明CE是⊙O的切线； <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />二、典型例题 <br />1、如图，AB与⊙O相切于C，∠A＝∠B，⊙O的半径为6，AB＝16，求OA的长． <br />解：在△OAB中， ∠A＝∠B，∴OA＝OB. 连接OC，则OC⊥AB，OC＝6，AC＝BC＝8，∴OA＝＝＝10. <br />方法总结： <br /> <br />已知圆的切线，若图中没有连接切点的半径，可连接切点与圆心构造直角三角形，在直角三角形中利用勾股定理或直角三角形的两锐角互余解答问题. <br />2、如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED＝EA. (1)求证：ED是⊙O的切线；(2)当OA＝3，AE＝4时，求BC的长度． <br />解：(1)证明：如图，连接OD， <br /> OD＝OA，EA＝ED，∴∠3＝∠4，∠1＝∠2. <br />∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠ODE＝∠OAE. AB⊥AC，∴∠OAE＝90°，∴∠ODE＝90°， <br />∴DE是⊙O的切线． <br />(2) OA＝3，AE＝4，∴OE＝5.又 AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC. <br />∴∠1＋∠5＝90°，∠2＋∠6＝90°.又 ∠1＝∠2，∴∠5＝∠6，∴DE＝EC. <br />∴E是AC的中点． ∴OE∥BC且OE＝BC.∴BC＝10. <br />方法总结： <br />证明圆的切线分为三种情况：有过切点的半径，证垂直；有切点，无半径，连半径，证垂直；无切点，作垂直，证相等. <br />三、题组训练 <br />1、如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D， <br />连接BD，∠C＝40°，则∠ABD的度数是( ) <br />A．30° B．25° C．20° D．15° <br />2、如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C的直线与ED的延长线交于点P，PC＝PG. 求证：PC是⊙O的切线； <br />四、课后作业 <br />1、Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以C为圆心，r为半径作圆，若⊙C与直线AB相切，则r的值为( ) A．2 cm B．2.4 cm C．3 cm D．4 cm <br />2、如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝25°，则∠C的大小等于( ) A．20° B．25° C．40° D．50° <br />3、如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB，AC于点E，D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2，则FG的长为( ) <br />A．4 B．3 C．6 D．2 <br />4、如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF...
