初中数学9年级上册同步培优专题题库（北师大版）专题2.3用公式法求解一元二次方程姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020•怀化）已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（ ）A．k＝4B．k＝﹣4C．k＝±4D．k＝±2【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＝0，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值．【解析】∵一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣k）2﹣4×1×4＝0，解得：k＝±4．故选：C．2．（2020•沈阳）一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解析】由题意可知：△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，故选：B．3．（2020•雅安）如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（ ）A．k≥94B．k≥-94且k≠0C．k≤94且k≠0D．k≤-94【分析】根据关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，知△＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0且k≠0，解之可得．【解析】∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0且k≠0，解得k≤94且k≠0，第9页/共9页
故选：C．4．（2020•潍坊）关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【分析】先计算判别式，再进行配方得到△＝（k﹣1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．【解析】△＝（k﹣3）2﹣4（1﹣k）＝k2﹣6k+9﹣4+4k＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4，∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．故选：A．5．（2020•攀枝花）若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，则m的值可以为（ ）A．﹣1B．-14C．0D．1【分析】根据关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，判断出△＜0，求出m的取值范围，再找出符合条件的m的值．【解析】∵关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，∴△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣m）＝1+4m＜0，解得：m＜-14，故选：A．6．（2020春•蜀山区期末）方程2x2﹣4x+2＝0根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．无法确定【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况即可．【解析】∵△＝（﹣4）2﹣4×2×2＝0，∴方程有两个相等的实数根．故选：C．第9页/共9页
7．（2020•鹿邑县二模）关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣3）﹣p2＝0的根的情况是（ ）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．两个不相等的实数根D．条件不足，无法计算【分析】先把方程化为一般式，再计算判别式的值得到△＝16+4p2＞0，然后根据判别式的意义进行判断．【解析】原方程整理为：x2﹣2x﹣（3+p2）＝0，∵△＝（﹣2）2+4（3+p2）＝16+4p2＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．8．（2020•广西）一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（ ）A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【分析】先根据方程的一般式得出a、b、c的值，再计算出△＝b2﹣4ac的值，继而利用一元二次方程的根的情况与判别式的值之间的关系可得答案．【解析】∵a＝1，b＝﹣2，c＝1，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝4﹣4＝0，∴有两个相等的实数根，故选：B．9．（2020•荆州）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【分析】利用新定义得到（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用△＞0可判断方程根的情况．【解析】∵x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，∵△＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）第9页/共9页
＝4k2+5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．10．（2020•安徽）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）A．x2+1＝2xB．x2+1＝0C．x2﹣2x＝3D．x2﹣2x＝0【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．【解析】A、△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，有两个相等实数根；B、△＝0﹣4＝﹣4＜0，没有实数根；C、△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，有两个不相等实数根；D、△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，有两个不相等实数根．故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020•吉林）一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为 13 ．【分析】根据一元二次方程根的判别式△＝b2﹣4ac即可求出值．【解析】∵a＝1，b＝3，c＝﹣1，∴△＝b2﹣4ac＝9+4＝13．所以一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为13．故答案为：13．12．（2019秋•新安县期中）方程3x2+x﹣1＝0的解是 x=-1±136 ．【分析】根据公式法即可求出答案．【解析】∵3x2+x﹣1＝0，∴a＝3，b＝1，c＝﹣1，∴△＝1+12＝13，∴x=-1±136故答案为：x=-1±136．13．（2019秋•上海月考）方程x2-3x﹣6＝0的解为 x＝23或x=-3 ．【分析】根据公式法即可求出答案．第9页/共9页
【解析】∵x2-3x﹣6＝0，∴a＝1，b=-3，c＝﹣6，∴△＝3+24＝27，∴x=3±332，∴x＝23或x=-3，故答案为：x＝23或x=-314．（2020•丹东）关于x的方程（m+1）x2+3x﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是 m≥-134且m≠﹣1 ．【分析】根据方程有两个实数根，得到此方程为一元二次方程且根的判别式大于等于0，确定出m的范围即可．【解析】∵关于x的方程（m+1）x2+3x﹣1＝0有两个实数根，∴△＝9+4（m+1）≥0，且m+1≠0，解得：m≥-134且m≠﹣1．故答案为：m≥-134且m≠﹣1．15．（2020•烟台）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＞0且m≠1 ．【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且△＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【解析】根据题意得m﹣1≠0且△＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＞0，解得m＞0且m≠1．故答案为：m＞0且m≠1．16．（2020•颍州区一模）用公式法解一元二次方程，得：x=-5±52-4×3×12×3，则该一元二次方程是 3x2+5x+1＝0 ．【分析】根据求根公式确定出方程即可．【解析】根据题意得：a＝3，b＝5，c＝1，则该一元二次方程是3x2+5x+1＝0，故答案为：3x2+5x+1＝0第9页/共9页
17．（2020•娄底）一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝ 1 ．【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＝0，建立关于c的方程，求出c的值即可．【解析】∵一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4c＝0，解得c＝1．故答案为1．18．（2020•淄博）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 m＜18 ．【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．【解析】∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣1，c＝2m∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×2m＞0，解得m＜18，故答案为m＜18．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•滨江区期末）解一元二次方程：（1）x2+2x＝29；（2）2x2-2x﹣1＝0．【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）利用公式法求解可得．【解析】（1）∵x2+2x＝29，∴x2+2x+1＝29+1，即（x+1）2＝30，则x+1＝±30，∴x1＝﹣1+30，x2＝﹣1-30；（2）∵a＝2，b=-2，c＝﹣1，∴△＝（-2）2﹣4×2×（﹣1）＝10＞0，第9页/共9页
则x=2±104，即x1=2+104，x2=2-104．20．（2020春•文登区期中）解下列方程：（1）3x2﹣5x+1＝0（配方法）；（2）（x+3）（x﹣1）＝5（公式法）．【分析】（1）根据配方法即可求出答案；（2）利用公式法求解即可．【解析】（1）3x2﹣5x+1＝0，方程整理得：x2-53x=-13，配方得：x2-53x+2536=-13+2536，即（x-56）2=1336，开方得：x-56=±136，∴x1=5+136，x2=5-136；（2）（x+3）（x﹣1）＝5，方程整理得：x2+2x﹣8＝0，∴a＝1，b＝2，c＝﹣8，则△＝22﹣4×1×（﹣8）＝36＞0，∴x=-2±362，∴x1＝﹣4，x2＝2．21．（2020•怀柔区模拟）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m为正整数时，取一个合适的值代入求出方程的解．【分析】（1）根据方程有实数根可得△≥0，列式即可得到结果．（2）根据（1）可得m的取值范围，根据m是正整数的要求分别计算即可．【解析】（1）∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝4﹣4m+8＝12﹣4m．∵12﹣4m≥0，∴m≤3，m≠2．第9页/共9页
（2）∵m≤3且m≠2，∴m＝1或3，∴当m＝1时，原方程为﹣x2﹣2x+1＝0．x1＝﹣1-2，x2＝﹣1+2．当m＝3时，原方程为x2﹣2x+1＝0．x1＝x2＝1．22．（2020春•高邮市期末）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m﹣2）x﹣2＝0（m≠0）．（1）求证：方程一定有实数根；（2）若此方程有两个不相等的整数根，求整数m的值．【分析】（1）计算判别式的值得到△＝（m+2）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式计算出两根，然后利用有理数的整除性确定整数m的值．【解答】（1）证明：∵m≠0，△＝（m﹣2）2﹣4m×（﹣2）＝m2﹣4m+4+8m＝m2+4m+4＝（m+2）2≥0，∴方程一定有实数根；（2）x=m-2±(m+2)2m，∴x1＝1，x2=-2m，当整数m取±1，±2时，x2为整数，∵方程有两个不相等的整数根，∴整数m为﹣1，1，2．23．（2020春•海淀区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k﹣1＝0．（1）当k＝1时，求此方程的根；（2）若此方程有两个实数根，求k的取值范围．【分析】（1）先写k＝1时的方程，然后利用因式分解法解方程；（2）利用判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4（k﹣1）≥0，然后解不等式即可．【解析】（1）当k＝1时，x2﹣3x＝0，x（x﹣3）＝0，第9页/共9页
x＝0或x﹣3＝0，所以x1＝0，x2＝3；（2）根据题意得△＝（﹣3）2﹣4（k﹣1）≥0，解得k≤134．24．（2020春•玄武区期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）若该方程有一个根为4，求m的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝4＞0，由此即可证出：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）将x＝4代入原方程，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】（1）证明：（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0，原方程可化为x2﹣（2m﹣2）x+m2﹣2m＝0，∵a＝1，b＝﹣（2m﹣2），c＝m2﹣2m，∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0，∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）解：将x＝4代入原方程，得：（4﹣m）2+2（4﹣m）＝0，即m2﹣10m+24＝0，解得：m1＝4，m2＝6．故m的值为4或6．第9页/共9页
