21.3实际问题与一元二次方程第一课时第二课时第三课时人教版数学九年级上册
第一课时列一元二次方程解应用题返回
传染病，一传十,十传百……【想一想】有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？导入新知
素养目标1.能根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程.2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．
列一元二次方程解决实际问题有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？你能解决这个问题吗？探究新知知识点1
第2轮•••小明12x第1轮第1轮传染后人数x+1小明第2轮传染后人数x(x+1)+x+1【思考】不要忽视小明的二次传染探究新知【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人.传染源记作小明，其传染示意图如下：
根据示意图，列表如下：解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人.传染源人数第1轮传染后的人数第2轮传染后的人数11+x=(1+x)11+x+x(1+x)=(1+x)2列方程x+1+x(x+1)=121化简得x2+2x-120=0(x-10)(x+12)=0x1=10,x2=-12(舍)列方程x+1+x(x+1)=121提取公因式(x+1)(x+1)=121(x+1)2=121x+1=±11一定要进行检验x1=10,x2=-12(舍)有更简单的方法解这个方程吗？答:平均一个人传染了________个人.10注意:一元二次方程的解有可能不符合题意，所以舍去.探究新知
【想一想】如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?第2种做法以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一次后就是:121(1+x)=121(1+10)=1331人.第一轮传染后的人数第二轮传染后的人数第三轮传染后的人数(1+x)1(1+x)2【分析】第1种做法以1人为传染源,3轮传染后的人数是:(1+x)3=(1+10)3=1331人.(1+x)3探究新知
传染源新增患者人数本轮结束患者总人数第一轮11∙x=x1+x第二轮1+x(1+x)x1+x+(1+x)x=第三轮第n轮【思考】如果按这样的传染速度，n轮后传染后有多少人患了流感？(1+x)2(1+x)n(1+x)3经过n轮传染后共有(1+x)n人患流感.(1+x)2(1+x)2∙x(1+x)2+(1+x)2∙x=探究新知
例1某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?主干支干支干……小分支小分支……小分支小分支…………xxx1解:设每个支干长出x个小分支,则1+x+x2=91即x2+x-90=0解得x1=9,x2=－10(不合题意,舍去)答:每个支干长出9个小分支.列一元二次方程解传播问题素养考点1探究新知
1.在分析引例和例1中的数量关系时它们有何区别？每个树枝只分裂一次，每名患者每轮都传染.2.解决这类传播问题有什么经验和方法？（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；（2）可利用表格梳理数量关系；（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.【思考】探究新知
建立一元二次方程模型实际问题分析数量关系设未知数实际问题的解解一元二次方程一元二次方程的根检验运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？【归纳】探究新知
电脑勒索病毒的传播非常快，如果开始有6台电脑被感染，经过两轮感染后共有2400台电脑被感染.每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.答：每轮感染中平均一台电脑会感染19台电脑.解得=19或=-21(舍去)依题意6+6x+6x(1+x)=24006(1+x)²=2400巩固练习1.
例2一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共多少人？解：设这个小组共x人，根据题意列方程，得x(x-1)=72化简，得x2-x-72=0解方程，得x1=9，x2=-8（舍去）答：这个小组共9人.列一元二次方程解相互类问题素养考点2探究新知
生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，求全组有多少名同学？解：全组有x名同学，根据题意，得x（x-1）=182解得x1=14，x2=-13（不合题意，舍去）答：全组有14名同学.巩固练习2.
1.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）A．9人B．10人C．11人D．12人连接中考巩固练习连接中考C2.某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（ ）A．4B．5C．6D．7C
1.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（）A.x2=1980B.x(x+1)=1980C.x(x-1)=1980D.x(x-1)=1980D课堂检测基础巩固题
2.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为（）A.1+x+x(1+x)=73B.1+x+x2=73C.1+x2=73D.(1+x)²=73B课堂检测基础巩固题
3.早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝.在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上甲肝，则x的值为（）？A.10B.9C.8D.7D课堂检测基础巩固题
1.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有111个人参与了传播活动，则n=______.10课堂检测能力提升题
2.某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间共比赛了6场，求初三有几个班？解：初三有x个班，根据题意列方程，得化简，得x2-x-12=0解方程，得x1=4，x2=-3（舍去）答：初三有4个班.课堂检测能力提升题
分析：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌6060x60(1+x)60(1+x)60(1+x)x3.某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？课堂检测传染源本轮分裂成有益菌数目本轮结束有益菌总数第一轮第二轮第三轮能力提升题
解：设每个有益菌一次分裂出x个有益菌60+60x+60(1+x)x=24000x1=19，x2=-21（舍去）因此每个有益菌一次分裂出19个有益菌.三轮后有益菌总数为24000×(1+19)=480000.课堂检测能力提升题
列一元二次方程解应题与列一元一次方程解决实际问题基本相同：审题、设元、列方程、解方程、检验、作答.不同的地方是要检验根的合理性.传播问题数量关系：第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度）第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2数字问题相互问题1相互问题2关键要设数位上的数字，要准确地表示出原数.甲和乙握手与乙和甲握手在同一次进行，所以总数要除以2.甲送乙照片与乙送甲照片是要两张照片，故总数不要除以2.步骤类型课堂小结
第二课时增长(下降)率问题返回
两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?【思考】有关增长/下降率问题，应该如何解答呢？导入新知
素养目标1.能正确列出关于增长率问题的一元二次方程.2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．
有关增长/下降率的问题两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?【思考】下降率是什么意思？它与原成本、终成本之间有何数量关系？探究新知知识点1
【分析】甲种药品成本的年平均下降额为乙种药品成本的年平均下降额为乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率.(5000-3000)÷2=1000(元)(6000-3600)÷2=1200(元)解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为元,两年后甲种药品成本为元,5000（1-x）5000（1-x）2依题意得：5000（1-x）²=3000解方程,得：答:甲种药品成本的年平均下降率约22.5%.探究新知
设乙种药品成本的年平均下降率为y,一年后乙种药品成本为元，两年后乙种药品成本为元依题意得，，解方程得，6000（1-y）6000（1-y）26000（1-y）2=3600答:乙种药品成本的年平均下降率约为.y1≈0.225,y1≈-1.77522.5%探究新知
【思考】为什么选择22.5％作为答案？比较两种药品成本的年平均下降率.经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗?应怎样全面地比较对象的变化状况?答：经过计算,甲乙两种药品的平均下降率相同.成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.探究新知
类似地这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的量是a,增长(或降低)n次后的量是A,则它们的数量关系可表示为其中增长取“+”,降低取“－”探究新知【归纳】=A
例4某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为x.根据题意，得解这个方程，得答：每次降价的百分率为29.3%.列一元二次方程解答增长率问题素养考点1探究新知
某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒.求平均每次降价的百分率？解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得：36（1-x）2=25解得答：平均每次约降价16.7%.巩固练习1.
1.某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）A．80（1+x）2=100B．100（1﹣x）2=80C．80（1+2x）=100D．80（1+x2）=100A巩固练习连接中考
2.某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ）A．2%B．4.4%C．20%D．44%C巩固练习连接中考
1.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程()A.500(1+2x)=720B.500(1+x)2=720C.500(1+x2)=720D.720(1+x)2=500B课堂检测基础巩固题
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为课堂检测2（1+x）+2（1+x）2=8基础巩固题
受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”倡议等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计：2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元.（1）求该企业从2014年到2016年的平均增长率.（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？解：（1）设年平均增长率为x，依题意得：2(1+x)2=2.88.课堂检测能力提升题解得：x=0.2,所以该企业2017年的利润能超过3.4亿元.(2)该企业2017年的利润为2.88×（1+20%）=3.456（亿元）.因为3.456＞3.4.所以该企业从2014年到2016年的平均增长率为20%.
某电脑公司2001年的各项经营，一月份的营业额为200万元，一、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率。分析：设这个增长率为x，一月份的营业额200万元，二月份的营业额是万元、三月份的营业额万元，由三月份的总营业额列出等量关系．200(1+x)200(1+x)2解：设平均增长率为x,得200+200(1+x)+200(1+x)2=950整理，得200x2+600x=350解得x1≈0.5，x2≈-3.5（舍去）答:这个增长率是50%.拓广探索题课堂检测
增长(下降)率问题增长率问题下降率问题基数为a,平均增长/下降率为x第一次增长第二次增长第n次增长第一次下降第二次下降第n次下降a(1+x)a(1+x)2a(1+x)na(1－x)a(1－x)2a(1－x)na(1±x)n课堂小结
第三课时几何图形与一元二次方程问题返回
【思考】通过上节课的学习，请谈谈列方程解应用题的一般步骤是怎样的？关键是什么？步骤：①审题；②设元；③列式；④解答；⑤验根；⑥答案.导入新知
【思考】现有长19cm，宽为15cm长方形硬纸片，将它的四角各剪去一个同样大小的正方形后，再折成一个无盖的长方形纸盒，要使纸盒的底面积为77cm²，问剪去的小正方形的边长应是多少?解：设剪去的小正方形的边长为xcm，则纸盒的长为（19-2x），宽为（15-2x）cm，依题意得（19-2x）（15-2x）=77；整理得：x²-17x+52=0；解方程，得：（x-13）（x-4）=0；解得：x1=4，x2=13（舍去）；因此剪去的小正方形的边长应为3cm.导入新知
素养目标1.能正确利用面积关系列出关于几何图形的一元二次方程.2.进一步深入体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．
几何图形的面积问题如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？27cm21cm探究新知知识点1
解法一：依据题意知，中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，由此可以判定:上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意得：中央矩形的长为cm，宽为cm．因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的______,则中央矩形的面积是封面面积的____．(27-18x)(21-14x)所以可列方程得：（27-18x）（21-14x）=×27×21整理，得16x2-48x+9=0解方程，得x=，x1≈2.8cm，x2≈0.2所以，9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．探究新知
解法二:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm，列方程得：解得x2.6上、下的边衬的宽为（27-92.6）0.5=1.8cm左、右的边衬的宽为（21-72.6）0.5=1.4cm探究新知
例1有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）解：设四周垂下的宽度为x尺时，则台布的长为（2x+6）尺，宽为（2x+3）尺，依题意得：（6+2x）（3+2x）=2×6×3整理方程得：2x²+9x-9=0解得：x1≈0.84，x2≈-5.3（不合题意，舍去）因此：台布的长为：2×0.84+6≈7.7（尺）台布的宽为：2×0.84+3≈4.7（尺）即这块台布的长约为7.7尺，宽约为4.7尺.利用一元二次方程解答一般面积问题素养考点1探究新知
1.要为一幅长29cm,宽22cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框的宽度应是多少厘米(结果保留小数点后一位）？解：设镜框的宽为xcm，根据题意，得整理得8x2+204x-319=0,解得.∴x1=,x2=(不合题意，舍去).∴x=≈1.5.答：镜框的宽度约为1.5cm.巩固练习
例2如右图是长方形鸡场的平面示意图.一边靠墙，另三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m.（1）若所围的面积为150m²，试求此长方形鸡场的长和宽；ABCD解：设BC=xcm,则AB=CD=（35-x），依题意可列方程：(35-x)x=150.整理得：x2-35x+300=0,解方程，得（x-20）(x-15)=0即：x1=20，x2=15.当BC=x=20m时，AB=CD=7.5m，当BC=15m时，AB=CD=10m，即这个长方形鸡场的长与宽分别为20m和7.5m或15m和10m。靠墙问题的解答素养考点2探究新知
（2）如果墙长为18m，则（1）中长方形鸡场的长和宽分别是多少？解：当墙长为18m时，显然BC=20m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽值能是15m和10m.点拨：在寻找关系式时，切记三边之和等于总长，而不是四边之和等于总长.探究新知
（3）能围成面积为160m²的长方形鸡场吗？说说你的理由。解：不能围成面积为160m²的长方形鸡场，理由如下：设BC=xm，由（1）知AB=(35-x)，从而有(35-x)x=160，方程整理为x²-35x+320=0.此时Δ=35²-4×1×320=-55＜0，原方程没有实数根，从而知用35m的篱笆按图示方式不能围成面积为160m²的鸡场。探究新知
2.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？住房墙1m解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为xm，由题意得x(25-2x+1)=80整理，得x2-13x+40=0解方程，得（x-5）（x-8）=0即：x1=5,x2=8当x=5时，26-2x=16>12(舍去）;当x=8时，26-2x=10<12故所围矩形猪舍的长为10m,宽为8m.则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m.巩固练习
2032xx解：设道路的宽为x米，依题意得例3如图，在一块宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求道路的宽为多少？还有其他方法吗？修路问题的图形面积20×32-32x-20x+x2=540素养考点3探究新知
解：设道路的宽为x米2032xx20-x32-x(32-x)(20-x)=540整理，得x2-52x+100=0解方程，得（x-50)(x-2）=0即x1=2,x2=50当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去.∴取x=2答：道路的宽为2米.方法二探究新知
在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求这种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为x米(32-x)(20-x)=540可列方程为变式一探究新知
2032xxx20-x如图，在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为x米(32-2x)(20-x)=540可列方程为变式二32-2x探究新知
2032xxxx20322x2x32-2x20-2x如图，在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为x米(32-2x)(20-2x)=540可列方程为变式三探究新知
在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑四条道路,余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3：2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一,求道路的宽为多少？变式四探究新知
小路所占面积是矩形面积的四分之一剩余面积是矩形面积的四分之三解:设横、竖小路的宽度分别为3x、2x，于是可列方程(30-4x)(20-6x)=×20×3020㎝30㎝3x2x30-4x20-6x3x2x6x4x30-4x20-6x探究新知
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出结果，至于实际施工，仍可按原图的位置进行）.方法点拨探究新知
3.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?巩固练习
解:设道路宽为x米，依题意得整理得，x2-36x+35=0其中的x=35超出了原矩形的宽，应舍去.答:道路的宽为1米.（32-2x）（20-x）=570解方程，得（x-35）（x-1）=0即：x1=35，x2=1巩固练习
公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ ）A．（x+1）（x+2）=18B．x2﹣3x+16=0C．（x﹣1）（x﹣2）=18D．x2+3x+16=0巩固练习连接中考C
1.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）A．x2+130x-1400=0B．x2+65x-350=0C．x2-130x-1400=0D．x2-65x-350=0B课堂检测基础巩固题
2.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000cm3，求铁板的长和宽．解：设铁板的宽为xcm,则有长为2xcm，依题意得：5(2x-10)(x-10)=3000；整理得：x2-15x-250=0；解方程，得：（x-25）（x+10）=0；即：x1=25x2=-10(舍去）；所以2x=50答：铁板的长50cm,宽为25cm.课堂检测基础巩固题
解：设AB长是xm，依题意得：(100-4x)x=400整理得：x2-25x+100=0解方程得：（x-20）（x-5）=0即x1=5，x2=20x=20,100-4x=20<25；x=5,100-4x=80>25x=5(舍去)答：羊圈的边长AB和BC的长各是20m,20m.如图：要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB和BC的长各是多少米？DCBA25米课堂检测能力提升题
4.如图，要设计一个宽20cm,长为30cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2∶3，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？解：设横向彩条的宽度2xcm,竖彩条的宽度3xcm，依题意得：(20-6x)(30-4x)=400整理得：6x2-65x+50=0解方程得：课堂检测拓广探索题答：每个横竖彩条的宽度分别是cm,cm.
几何图形与一元二次方程问题几何图形常见几何图形面积是等量关系.类型课本封面问题彩条/小路宽度问题常采用图形平移能聚零为整关系一同了解，从而列方程课堂小结
作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习课后作业
