人教A版高中数学必修二：《4.1.1 圆的标准方程》精选教案

4.1.1圆的标准方程（一）教学目标1．知识与技能（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.（2）会用待定系数法求圆的标准方程.2．过程与方法进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力.3．情感态度与价值观通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.（二）教学重点、难点重点：圆的标准方程难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程.（三）教学过程教学设计教学内容师生互动环节意图在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？设置复习由学生回答，然后引入在平面直角坐标系中，任何一条情境引入引入课题直线都可用一个二元一次方程课题来表示，那么圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程具有什么特征？确定圆的基本条件为圆心引导学生自己证明(x和半径，设圆的圆心坐标为A(a，–a)2+(y–b)2=r2为圆b)，半径为r(其中a、b、r都是的方程，得出结论.通过常数，r＞0)设M(x，y)为这个圆方程②就是圆心为A学生自己概念上任意一点，那么点M满足的条(a，b)半径为r的圆的方程，证明培养形成件是(引导学生自己列出)P=我们把它叫做圆的标准方学生的探{M|MA|=r}，由两点间的距离公程.究能力.式让学生写出点的坐标适合的条件,22(xa)(yb)r①化简可得：(x–a)2+(y–b)2=r2②6––4–A–2–M––5–5–2–––4–––例1写出圆心为A(2，–引导学生分析探究3)半径长等于5的圆的方程，并从计算点到圆心的距离入手.M(5,1)判断点M1(5，–7)，2例1解：圆心是是否在这个圆上.A(2，–3)，半径长等于5的分析探求：可以从计算点到圆的标准方程是(x+3)22+圆心的距离入手.(y+3)2=25.通过探究：点M(x0，y0)与圆(x把M1(5，–7)，M2实例引导–a)2+(y–b)2=r2的关系(5，–1)的坐标代入方应用学生掌握的判断方法：程(x–2)2+(y+3)2=25，左举例求圆的标（1）(x0–a)2+(y0–右两边相等，点M1的坐标准方程的b)2＞r2，点在圆外.适合圆的方程，所以点M2两种方法.（2）(x0–a)2+(y0–在这个圆上；把M2(5，b)2=r2，点在圆上.–1)的坐标代入方程(x–（3）(x0–a)2+(y0–2)2+(y+3)22=25，左右两b)2＜r2，点在圆内.边不相等，点M2的坐标不适合圆的方程，所以M2不在这个圆上,例2△ABC的三个顶点的师生共同分析：从圆的坐标是A(5，1)，B(7，–3)，C(2，标准方程(x–a)2+(y––8).求它的外接圆的方程.b)2=r2可知，要确定圆的标例2解：设所求圆的方程准方程，可用待定系数法确是(x–a)2+(y–b)2=r2.定a、b、r三个参数，(学生①自己运算解决)因为A(5，1)，B(7，–3)，C(2，–8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①.于是222(5a)(1b)r222(7a)(3b)r222(2a)(8b)r解此方程组，得a2b32r25所以，△ABC的外接圆的方程是(x–2)2+(y+3)2=25.22222例3已知圆心为C的圆C.师生共同分析：如图确经过点A(1，1)和B(2，–2)，且定一个图只需确定圆心位置圆心在与半径大小.圆心为C的圆l:x–y+1=0上，求圆经过点A(1，1)和B(2，–2)，心为C的圆的标准方程.由于圆心C与A、B两点的,比较例(2)、例（3）可得出距离相等，所以圆心C在线△ABC外接圆的标准方程的两段AB的垂直平分线m上，种求法：又圆心C在直线l上，因此①根据题设条件，列出关于圆心C是直线l与直线m的a、b、r的方程组，解方程组得交点，半径长等于|CA|或到a、b、r得值，写出圆的根据|CB|.(教师板书解题过程)确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，A然后再写出圆的标准方程.mC练习：课本P127第1、3、B4题例3解：因为A(1，1)，B(2，–2)，所以线段3AB的中点D的坐标为(2，12)，直线AB的斜率21kAB=21=–3，因为线段AB的垂直平分线l′的方程是113(x)y+232，即x–3y–3=0.圆心C的坐标是方程组x3y30xy10的解.解此方程组，得x3y2所以圆心C的坐标是(–3，–2).圆心为C的圆的半径长r,22(13)(12)=|AC|==5.所以，圆心为C的圆的标准方程是(x+3)22+(y+2)2=25.1．圆的标准方程.2．点与圆的位置关系的判归纳教师启发，学生自己比形成断方法.总结较、归纳.知识体系3．根据已知条件求圆的标准方程的方法.课外布置作业：见习案4.1第一巩固学生独立完成作业课时深化备选例题例1写出下列方程表示的圆的圆心和半径（1）x2+(y+3)2=2；（2）(x+2)2+(y–1)2=a2(a≠0)【解析】（1）圆心为(0，–3)，半径为2；（2）圆心为(–2，1)，半径为|a|.例2圆心在直线x–2y–3=0上，且过A(2，–3)，B(–2，–5)，求圆的方程.解法1：设所求的圆的方程为(x–a)2+(y–b)2=r2222(2a)(3b)r222(2a)(5b)ra2b30由条件知a1b22r10解方程组得即所求的圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=101kAB解法2：2，AB的中点是(0，–4)，所以AB的中垂线方程为2x+y+4=0x2y30x12xy40y2由得22r(21)(32)10因为圆心为(–1,–2)又.所以所求的圆的方程是(x+1)2+(y+2)2=10.例3已知三点A(3，2)，B(5，–3)，C(–1，3)，以P(2，–1)为圆心作一个圆，,使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.【解析】要使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是|PA|、|PB|、|PC|中的中间值.|PA|10,|PB|13,|PC|25.因为|PA|＜|PB|＜|PC|r|PB|13所以圆的半径.故所求的圆的方程为(x–2)2+(y+1)2=13.