第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题
复习引入线段公理：两点之间，线段最短.垂线段性质：垂线段最短.AB最短路径问题BAl
问题1：如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？两点之间,线段最短①②③
问题2：两点在一条直线异侧已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。P连接AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求。
思考？？？为什么这样做就能得到最短距离呢？根据：两点之间线段最短.
问题3如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？思考：你能把这个问题转化为数学问题吗？ABl
lABCC转化为数学问题当点C在直线l的什么位置时，AC与BC的和最小？分析：ABl
如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？联想：两点之间，线段最短.？lABC
（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？（2）我们能否把A、B两点转化到直线l的异侧呢？转化需要遵循的原则是什么？（3）利用什么知识可以实现转化目标？分析：lABClABC
lABCB′如下左图，作点B关于直线l的对称点B′.当点C在直线l的什么位置时，AC与CB′的和最小？如上右图，在连接AB′两点的线中，线段AB′最短.因此，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求.lABCB′
在直线l上任取另一点C′，连接AC′、BC′、B′C′．∵直线l是点B、B′的对称轴，点C、C′在对称轴上，∴BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′．在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，∴AC+BC<AC′+B′C′，即AC+BC最小．lABCB′C′证明：如图.
运用新知练习2如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的M处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．ABCPM山河岸大桥
运用新知基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PM，线段PM为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，M在直线BC的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与MR的和最小”．ABCPM山河岸大桥
归纳lABClABCB′lABC抽象为数学问题用旧知解决新知联想旧知解决实际问题ABl
如图，A为马厩，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到马厩.请你帮他确定这一天的最短路线.草地小河A问题3
已知：如图，在l1、l2之间有一点A.求作：分别在l1、l2上确定一点M、N，使AM+MN+NA最小.l1l2AMN
l1l2如图，作点A关于l1和l2的对称点A1、A2，连接A1A2，交l1于M点，交l2于N点.连接AM和AN，则AM+MN+NA最小.因此，那天这样走路线最短.MNA1AA2
如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B，请画出最短路径.作法：1.作点A关于直线MN的对称点点C,2.作点B关于直线ON的对称点点D,3.连接CD分别交直线MN、ON于点G、H，则AG+GH+BH最短MNOB.·ACDGH问题4：两点在两条直线内部
ABA/B/PQ最短路线：APQBlMN
问题5（造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）思考：你能把这个问题转化为数学问题吗？
如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么折线AMNB在什么情况下最短呢？分析：aBAbMN由于河宽是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.
分析：lABCaBAbMNA'如左图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A′，使AA′等于河宽，则AA′=MN，AM=A′N，问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决.
如图，沿垂直于河岸的方向平移A到A′，使AA′等于河宽，连接A′B交河岸于点N，在点N处造桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.aBAbMNA'解：
另任意造桥M′N′，连接AM′、BN′、A′N′.由平移性质可知，AM＝A′N，AM′＝A′N′，AA′＝MN＝M′N′.∴AM+MN+BN＝AA′+A′B，AM′+M′N′+BN′＝AA′+A′N′+BN′.在△A′N′B中，由线段公理知A′N′+BN′＞A′B，∴AM′+M′N′+BN′＞AM+MN+BN.证明：aBAbMNA'N′M′
归纳抽象为数学问题用旧知解决新知联想旧知解决实际问题lABC
小结归纳lABClABCB′转化轴对称变换平移变换两点之间，线段最短.
