第十二章 全等三角形直角三角形全等的判定
教学目标：1．探索并理解“HL”判定方法．2．会用“HL”判定方法证明两个直角三角形全等．学习重点：理解并运用“HL”判定方法．学习难点：直角三角形判定方法的综合运用。
1：如图:(1)△ABC≌△DEF，指出它们的对应顶点、对应角、对应边。ADBECF2：我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些？AB——DEAC——DFBC——EF∠A——∠D∠B——∠DEF∠ACB——∠F（SSS）、（SAS）、（ASA）、（AAS）一、复习引入
3、思考：（1）如图：Rt△ACB、与Rt△A1C1B1中，∠C与∠C1是直角，用我们已经学过的知识，除了两直角相等以外，你还能补充哪些条件就能使这两个直角三角形全等？ABCA1B1C1（2）如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？
对于两个直角三角形，除了直角相等的条件外，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？讨论ABCDEF由三角形全等的条件判断，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？如果满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？
二、问题引领：阅读课本第42页至第43页练习，思考以下问题：1、在探究5所画的直角三角形与原三角形之间满足哪些对应相等的关系？如何利用尺规作图画出这个直角三角形？2、由探究5的作图可以得出什么样的结论？3、在例5的证明中利用HL判定两个三角形全等要求必需具备的条件是什么？在书写格式上有哪些要求？
ABC1.画∠MC′N=90°；2.在射线C′M上取B′C′=BC；3.以B′为圆心，AB为半径画弧.交射线C＇N于点A＇；4.连接A′B′．现象：两个直角三角形能重合．说明：这两个直角三角形全等．A＇NMC＇任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C′使∠C′=90°.B′C′=BC，A′B′=AB，然后把画好的Rt△A′B′C′剪下来放到Rt△ABC上，你发现了什么？B′画法：
符号语言:在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中,AB=A′B′,BC=B′C′,∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）．文字语言:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．(简写成“斜边、直角边”或“HL”)斜边、直角边判定方法：
在使用“HL”时,应注意什么?“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.注意分别相等.“HL”仅适用直角三角形.书写格式应为:在Rt△ABC与Rt△DEF中，AB=DE，AC=DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).ABCDEF
问题3、在例5的证明中利用HL判定两个三角形全等要求必需具备的条件是什么？在书写格式上有哪些要求？知解决问题例5：如图，AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C,AC=BD．求证:BC=AD．证明：∵AC⊥BC,BD⊥AD，∴∠C与∠D都是直角在Rt△ABC与Rt△BAD中,AB=BA,AC=BD,∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）．∴BC=AD．若图中AC,BD相交于点E,图中还有全等三角形吗?怎样证明?E
变式1如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证△ABC≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由．（1）（）；（2）（）；（3）（）；（4）（）．AD=BCAC=BD∠DAB=∠CBA∠DBA=∠CABHLHLAASAAS“HL”判定方法的运用ABCD
答:D,E与路段AB的距离相等．理由是:由题意可知:DC=EC．∵DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠A与∠B都是直角．∵C是路段AB的中点,∴AC=BC．在Rt△ACD与Rt△BCE中,DC=EC,AC=BC,∴Rt△ACD≌Rt△BC（HL）．∴AD=BE．1．如图,C是路段AB的中点,两人从C同时出发,以相同的速度分别沿两条直线行走,并同时到达D,E两地,DA⊥AB，EB⊥AB，D,E与路段AB的距离相等吗?为什么?四、练习：
2．如图,AB=CD,AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E,F,CE=BF．求证:AE=DF．证明:∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB与∠DFC都是直角．又∵CE=BF,∴BE=CF．在Rt△ABE与Rt△DCF中,AB=DC,BE=CF,∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）．∴AE=DF．
AFCEDB如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF求证：BF=DE变式1：BD平分EF吗？G
AFCEDB如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF想一想：BD平分EF吗?G变式2：
答：∠ABC+∠DFE=90°例2如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？为什么？证明：∵AC⊥AB，DE⊥DF，∴∠CAB和∠FDE都是直角.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．∴ ∠ABC=∠DEF（全等三角形对应角相等）．∵ ∠DEF+∠DFE=90°∴∠ABC+∠DFE=90°BC=EF,AC=DF.
提高练习1、判断题：（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。（）（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等（）（3）一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等（）（4）两直角边对应相等的两个直角三角形全等（）（5）两边对应相等的两个直角三角形全等（）（6）两锐角对应相等的两个直角三角形全等（）（7）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等（）（8）一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（）
AFCEDB1.如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE.
【证明】在Rt△ABF和Rt△CDE中,∵AE=CF,∴AF=CE.又∵AB=CD,∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL),∴BF=DE.ABCDEF
2.如图，两根长度为12m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由.BD=CD.∵∠ADB=∠ADC=90°,AB=ACAD=AD∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)，∴BD=CD.【解析】
1.（温州·中考）如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】选D.在矩形ABCD中，△CDA、△BAD、△DCB都和△ABC全等，又∠ABC=∠DCE=90°，DE∥AC,所以∠DEC=∠ACB;又AB=DC,所以△DCE也和△ABC全等．
2.如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？CDAB在Rt△ACB和Rt△ADB中,AB=AB,AC=AD.∴Rt△ACB≌Rt△ADB(HL).∴BC=BD(全等三角形对应边相等).【解析】
例1．已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC.求证：（1）AB＝CD；（2）AD∥BC．证明:（1）∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD=∠CDB=90°.在Rt△ABD和Rt△CDB中，AD=CB，BD=DB，∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）.∴AB=CD.（2）∵Rt△ABD≌Rt△CDB，∴∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC.
BACD例2．已知，如图，AC⊥BC，BD⊥AD.（1）已知∠CAB=∠DBA，求证：BC=AD.（2）已知AC=BD，求证：BC=AD.证明：（1）∵AC⊥BC,BD⊥AD，∴∠D=∠C=90°.在△ABC和△BAD中，∠D=∠C，∠CAB=∠DBA，AB=BA，∴△ABC≌△BAD(AAS).∴BC=AD.（2）∵AC⊥BC,BD⊥AD，∴∠D=∠C=90°.在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB=BA，AC=BD，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴BC=AD.
例3．已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：AD＝BC.证明：连接DC.∵AD⊥AC，BC⊥BD，∴∠A=∠B=90°.在Rt△ADC和Rt△BCD中，DC=CD，AC=BD，∴Rt△ADC≌Rt△BCD(HL).∴AD=BC.
证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，∴∠EAD=∠ABC=90°.在Rt△EAD和Rt△ABC中，ED=AC，EA=AB，∴Rt△EAD≌Rt△ABC(HL).∴∠AED=∠BAC.∵∠EAF+∠BAC=90°，∴∠EAF+∠AED=90°，∴∠EFA=90°，∴ED⊥AC.例4.已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC．
ABDC第1题图第2题图第3题图1.如图，△ABC中，AB＝AC，AD是高，则_____≌______，依据是____,由全等得出BD＝____,∠BAD=____.2．如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF，则△ABC≌_____，全等的根据是_____．3．如图，已知AB⊥CF，DE⊥CF，垂足分别为B、E，AB＝DE．请添加一个适当条件，使△ABC≌△DEF，并说明理由添加条件：___________，理由是：_______________．
（1）“HL”判定方法应满足什么条件？与之前所学的四种判定方法有什么不同？（2）判定两个直角三角形全等有哪些方法？课堂小结
教科书习题12.2第6、7、8题．布置作业
