14.2.2完全平方公式人教版数学八年级上册一块边长为a米的正方形实验田，因实际需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种.(如图)用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较.你有什么发现呢？导入新知1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释.素养目标3.体验归纳添括号法则.2.灵活应用完全平方公式进行计算.探究新知知识点1完全平方公式一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图).用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较.直接求：总面积=(a+b)(a+b)间接求：总面积=a2+ab+ab+b2你发现了什么？(a+b)2=a2+2ab+b2(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=.p2+2p+1(2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=.m2+4m+4(3)(p–1)2=(p–1)(p–1)=.p2–2p+1(4)(m–2)2=(m–2)(m–2)=.m2–4m+4(a+b)2=a2+2ab+b2..(a–b)2=a2–2ab+b2探究新知问题1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？问题2：根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？(a+b)2=a2+2ab+b2(a–b)2=..a2–2ab+b2也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中央”探究新知完全平方公式你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗?探究新知设大正方形ABCD的面积为S..S=(a+b)2=S1+S2+S3+S4a=2+b2+2abS1S2S3S4探究新知证明=+++a2ababb2.(a+b)2=a2+2ab+b2和的完全平方公式：探究新知几何解释a−ba−ba(a−b)2=a2−ab−b(a−b)=a2−2ab+b2.abb(a−b)bb(a−b)2.(a–b)2=a2–2ab+b2a差的完全平方公式：探究新知几何解释探究新知问题4：观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：(a+b)2=a2+2ab+b2.(a–b)2=a2–2ab+b2.说一说积的次数和项数.两个完全平方式的积有相同的项吗？与a，b有什么关系？两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与a，b有什么关系？它的符号与什么有关？公式特征：积为二次三项式；积中两项为两数的平方和；另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同.公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式.探究新知下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？(1)(x+y)2=x2+y2×(2)(x–y)2=x2–y2×(3)(–x+y)2=x2+2xy+y2×(4)(2x+y)2=4x2+2xy+y2×(x+y)2=x2+2xy+y2(x–y)2=x2–2xy+y2(–x+y)2=x22xy+y2(2x+y)2=4x2+4xy+y2探究新知想一想例1运用完全平方公式计算：(1)(4m+n)2；(a+b)2=a2=16m2解:(4m+n)2=(4m)2+2•(4m)•n+n2+2ab+b2+8mn+n2；素养考点1利用完全平方公式进行计算探究新知12(2)y2(a–b)2=a2–2ab+b2=y2–y+1.412+21y2–2•y•212解：y2=利用完全平方公式计算：(1)(5–a)2；(2)(–3m–4n)2；解(：3)((1–)3(a5＋–ab)22＝.25–10a＋a2；(2)(–3m–4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；(3)(–3a＋b)2＝9a2–6ab＋b2.巩固练习(1)1022；解：1022=(100+2)2=10000+400+4=10404.(2)992.992=(100–1)2=10000–200+1=9801.例2运用完全平方公式计算：方法总结：当一个数具备与整十、整百⋯⋯相差一个正整数时求它的平方，我们可以通过变形运用完全平方公式进行运算较简便．素养考点2利用完全平方公式进行简便计算探究新知利用乘法公式计算：(1)982–101×99；(2)20162–2016×4030＋20152.解：(1)原式＝(100–2)2–(100＋1)(100–1)＝1002–400＋4–1002＋1＝–395；(2)原式＝20162–2×2016×2015＋20152＝(2016–2015)2＝1.巩固练习例3已知x–y＝6，xy＝–8.求:(1)x2＋y2的值；(2)(x+y)2的值.解：(1)∵x–y＝6，xy＝–8，(x–y)2＝x2＋y2–2xy，∴x2＋y2＝(x–y)2＋2xy＝36–16＝20；(2)∵x2＋y2＝20，xy＝–8，∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy＝20–16＝4.素养考点3利用完全平方公式的变形求整式的值探究新知方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式：x2＋y2＝(x–y)2＋2xy＝(x+y)2–2xy，(x–y)2＝(x+y)2–4xy.对应训练.(1)已知x+y=10，xy=24，则x2+y25=2.(2)如果x2+kx+81是运用完全平方式得到的结果，则k=_1_8_或–_1_8_.(3)已知ab=2，(a+b)2=9，则(a–b)2的值为1.巩固练习添括号法则去括号：a+(b+c)=a+b+c;a–(b+c)=a–b–c.把上面两个等式的左右两边反过来，也就是添括号：a+b+c=a+(b+c);a–b–c=a–(b+c).知识点2探究新知探究新知添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号;如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号(简记为“负变正不变”).例运用乘法公式计算:(1)(x+2y–3)(x–2y+3);解:(1)原式=[x+(2y–3)][x–(2y–3)]=x2–(2y–3)2=x2–(4y2–12y+9)=x2–4y2+12y–9.(2)(a+b+c)2.(2)原式=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.素养考点4添括号法则的应用探究新知计算：(1)(a–b＋c)2；(2)(1–2x＋y)(1＋2x–y)．解：(1)原式＝[(a–b)＋c]2＝(a–b)2＋c2＋2(a–b)c＝a2–2ab＋b2＋c2＋2ac–2bc；(2)原式＝[1–(2x–y)][1＋(2x–y)]＝12–(2x–y)2＝1–4x2＋4xy–y2.巩固练习B．9.52=(10+0.5)(10–0.5)D．9.52=92+9×0.5+0.521.将9.52变形正确的是(C)A．9.52=92+0.52C．9.52=102–2×10×0.5+0.522.若x2+2(m–3)x+16是关于x的完全平方式，则m=–1或7．连接中考A．(a–b)2C．–(a＋b)2B．(–a–b)2D．–(a–b)2A．a2–4a+4C．a2–4B．a2–2a+4D．a2–4a–42.下列计算结果为2ab–a2–b2的是(D)基础巩固题1.运用乘法公式计算(a–2)2的结果是(A)课堂检测；.3.运用完全平方公式计算:(1)(6a+5b)2=3_6_a_2_+_6_0a_b_+_2_5_b_2；(2)(4x–3y)21=6x2–24xy+9y2(3)(2m–1)2=_4_m2–_4_m_+_1；(4)(–2m–1)24=m2+4m+14.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝．2_5课堂检测能力提升题计算:(1)(3a＋b–2)(3a–b＋2)；(2)(x–y–m＋n)(x–y＋m–n)．解：(1)原式＝[3a＋(b–2)][3a–(b–2)]＝(3a)2–(b–2)2＝9a2–b2＋4b–4.(2)原式＝[(x–y)–(m–n)][(x–y)＋(m–n)]＝(x–y)2–(m–n)2＝x2–2xy＋y2–m2＋2mn–n2.课堂检测拓广探索题1.若a+b=5，ab=–6，求a2+b2，a2–ab+b2.解：a2+b2=(a+b)2–2ab=52–2×(–6)=37；a2–ab+b2=a2+b2–ab=37–(–6)=43.2.已知x+y=8，x–y=4，求xy.解：∵x+y=8，∴(x+y)2=64，即x2+y2+2xy=64①;∵x–y=4，∴(x–y)2=16，即x2+y2–2xy=16②;由①–②得4xy=48∴xy=12.课堂检测完全平方公式法则注意(a±b)2=a2±2ab+b21.项数、符号、字母及其指数2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行常用结论3.弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构特点及结果两方面)a2+b2=(a+b)2–2ab=(a–b)2+2ab;4ab=(a+b)2–(a–b)2.课堂小结课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习谢谢观看ThankYou
