第24章单元测试一、选择题(每小题3分，共24分)1．cos60°的值等于（）A.B.C.D.2．已知sinA＝，则锐角A的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则sinA的值为（）A.B.C.D.4．在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，则cos的值是（）A.B.C.D.5．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2B.C.D.第5题图6．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为（）A．26米B．28米C．30米D．46米第6题图7．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100m到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB为（）A．50mB．51mC．(50＋1)mD．101m第7题图8．如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tanB＝，则tan∠9\nCAD的值为（）A.B.C.D.二、填空题(每小题3分，共30分)9．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则cosA＝.10．在△ABC中，若cosB＝，tanA＝，且∠A，∠B为锐角，则△ABC是三角形．11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝.第11题图第14题图12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，CD＝4，AC＝6，则sinB的值是．13．在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA＋sinB＝，则sinA－sinB＝.14．如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB＝12m，则旗杆AB的高为m.15．长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°，作业时调整成60°(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了m.第15题图16．观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°.已知楼房高AB约是45m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是m.9\n第16题图17．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，如果AB：AD＝2：3，那么tan∠EFC值是．第17题图18．如图，小华站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若小华的眼睛与地面的距离是1.6米，BG＝0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡i＝4∶3，坡长AB＝8米，点A、B、C、D、F、G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离CA的长为米(结果保留根号)．三、解答题(共66分)19．(8分)计算：(1)10sin30°－|3tan30°－1|＋sin245°；(2)－5tan230°＋2.20．(8分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝，AD＝1.(1)求BC的长；(2)求tan∠DAE的值．9\n21.(6分)如图，在教学实践课中，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，AC＝22米，求旗杆CD的高度(结果精确到0.1米，参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62)．22．(8分)如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°.如果这时气球的高度CD为90米，且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．23．(8分)已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋＝0.(1)试判断△ABC的形状；(2)求(1＋sinA)2－2－(3＋tanC)0的值．9\n24．(8分)如图①是“东方之星”救援打捞现场图，小红据此构造出一个如图②所示的数学模型．已知：A、B、D三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A＝30°，∠CBD＝75°，AB＝60m.(1)求点B到AC的距离；(2)求线段CD的长度．25．(8分)如图，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i＝1∶，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC＝25米，与凉亭距离CE＝20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．9\n26．(12分)在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验．如图，表盘是△ABC，其中AB＝AC，∠BAC＝120°.在点A处有一束红外光线AP，从AB开始，绕点A逆时针匀速旋转，每秒钟旋转15°，到达AC后立即以相同旋转速度返回AB，到达后立即重复上述旋转过程．小明通过实验发现，光线从AB处旋转开始计时，旋转1秒，此时光线AP交BC于点M，BM的长为(20－20)cm.(1)求AB的长；(2)从AB处旋转开始计时，若旋转6秒，此时光线AP与BC边的交点在什么位置？若旋转2014秒，交点又在什么位置？请说明理由．参考答案：1．A 2.A 3.D 4.B 5.D 6.D 7.C8．D 解析：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E.∵tanB＝，即＝，∴设AD＝5x，则AB＝3x.∵∠CDE＝∠BDA，∠CED＝∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴＝＝＝，∴CE＝x，DE＝x，∴AE＝x，∴tan∠CAD＝＝.故选D.9. 10.直角 11.2 12. 13.±9\n14．9 15.2(－) 16.135 17.18．(8－5.5) 解析：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG.∵i＝＝，AB＝8米，∴BE＝米，AE＝米．∵DG＝1.6米，BG＝0.7米，∴DH＝DG＋GH＝1.6＋＝8(米)，AH＝AE＋EH＝＋0.7＝5.5(米)．在Rt△CDH中，∵∠C＝∠FDC＝30°，DH＝8(米)，tan30°＝＝，∴CH＝8(米)．又∵CH＝CA＋5.5，即8＝CA＋5.5，∴CA＝(8－5.5)米．19．解：(1)原式＝10×－＋·＝5－(－1)＋＝6－＋；(4分)(2)原式＝＋1－5×＋2×＝＋1－＋2－＝.(8分)20．解：(1)在△ABC中，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，∴DC＝AD＝1.(2分)在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝，AD＝1，∴AB＝＝3，∴BD＝＝2，∴BC＝BD＋DC＝2＋1；(5分)(2)∵AE是BC边上的中线，∴CE＝BC＝＋.∴DE＝CE－CD＝－，∴tan∠DAE＝＝－.(8分)21．解：过B作BE⊥CD交CD于E.(1分)在Rt△DBE中，BE＝AC＝22米，∠DBE＝32°，∴DE＝BE·tan32°≈22×0.62＝13.64(米)，(4分)∴CD＝AB＋DE＝1.5＋13.64＝15.14≈15.1(米)．(6分)22．解：由已知，得∠ECA＝30°，∠FCB＝60°，CD＝90，EF∥AB，CD⊥AB于点D.9\n∴∠A＝∠ECA＝30°，∠B＝∠FCB＝60°.(2分)在Rt△ACD中，∠CDA＝90°，tanA＝，∴AD＝＝＝90×＝90(米)．(4分)在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，tanB＝，∴DB＝＝＝30.(6分)∴AB＝AD＋BD＝90＋30＝120(米)．(7分)答：建筑物A、B间的距离为120米．(8分)21．解：(1)∵(1－tanA)2＋＝0，∴tanA＝1，sinB＝，(2分)∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC是锐角三角形；(4分)(2)∵∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，(3)∴原式＝－2－1＝.(8分)22．解：(1)过点B作BE⊥AC于点E，在Rt△AEB中，AB＝60m，sinA＝，∴BE＝60×＝30(m)，即B到AC的距离是30m；(4分)(2)∵cosA＝，∴AE＝60×＝30(m)．在Rt△CEB中，∠ACB＝∠CBD－∠A＝75°－30°＝45°，∴BE＝CE＝30m，∴AC＝AE＋CE＝(30＋30)m.(6分)在Rt△ADC中，sinA＝，则CD＝(30＋30)×＝(15＋15)(m)．(8分)23．解：过点E作EF⊥BC于点F，EN⊥AB于点N.∵建筑物AB后有一座假山，其坡度为i＝1∶，∴设EF＝x米，则FC＝x米，(2分)∵CE＝20米，∴x2＋(x)2＝400，解得x＝10，则FC＝10米．(4分)∵BC＝25米，∴BF＝NE＝(25＋10)米，∴AB＝AN＋BN＝NE＋EF＝10＋25＋10＝(35＋10)(米)．(7分)答：建筑物AB的高为(35＋10)米．(8分)24．解：(1)如图，过A作AD⊥BC，垂足为D.∵AB＝AC，∠BAC＝120°，9\n∴∠BAD＝∠CAD＝60°，∠ABD＝30°.(2分)∵∠BAM＝15°，∴∠MAD＝45°.则设AD＝MD＝xcm，在△ABD中，tan∠ABD＝＝＝，解得x＝20.即MD＝AD＝20cm，AB＝2AD＝40cm.答：AB的长为40cm；(5分)（2）如图，旋转6秒时，设交点为N，∴∠BAN＝6×15°＝90°，∴∠DAN＝30°，∴DN＝AD＝cm.∴BN＝BM＋MD＋DN＝(20－20)＋20＋＝(cm)．(7分)∴旋转6秒，光线AP与BC边的交点在距点Bcm处．因＝8(秒)，则AP从AB旋转到AC再返回到AB需2×8＝16(秒)，2014＝125×16＋14，即AP旋转2014秒与旋转14秒时和BC的交点是同一点Q，如图．(9分)易求得CQ＝cm，BC＝40cm.∴BQ＝BC－CQ＝40－＝(cm)．∴光线AP旋转2014秒，与BC的交点Q在距点Bcm处．(12分)9
