第21章二次函数与反比例函数21.1二次函数【知识与技能】认识二次函数，知道二次函数自变量的取值范围，并能熟练地列出二次函数关系式．【过程与方法】通过对实际问题的探索，熟练地掌握列二次函数关系式和求自变量的取值范围.【情感态度】培养学生探索新知的能力，鼓励学生通过观察、猜想、验证，主动地获取知识.【教学重点】能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围.【教学难点】熟练地列出二次函数关系式.一、情景导入，初步认知1.什么叫函数？它有几种表示方法？2.什么叫一次函数？(y=kx+b)自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有k≠0的条件？k值对函数性质有什么影响？【教学说明】复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解.强调k≠0的条件，以便与二次函数中的a进行比较.二、思考探究，获取新知1.函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数.看下面两个例子中两个变量之间存在怎样的关系.问题1某水产养殖户用长40\n米的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗，要使围成的水面的面积最大，则它的边长应是多少米？设：围成的矩形的一边长为x米，那么，矩形水面的另一边长为（20-x)米，若面积是Sm2,则有：S=x(20-x)问题2有一玩具厂，如果安排装配工15人，那么每人每天可装配玩具190个，如果增加人数，那么每增加1人，可使每人每天少装配玩具10个，问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多？玩具总数最多是多少？设：增加x人，这时，共有（15+x)人，每人每天可少装配10x个玩具，因此，每人每天只装配（190-10x)个，所以，增加人数后，每天装配玩具总数y可表示为：y=（190-10x)（15+x)在问题1中函数的表达式可化简为：S=-x2+20x在问题2中函数的表达式可化简为：y=-10x2+40x+28502.教师引导学生观察问题1.问题1中的函数关系式，提出以下问题让学生思考回答；（1）这两个函数关系式的自变量各有几个?（2）多项式-2x2＋20x和-10x2＋40x＋2850分别是几次多项式?（3）这两个函数关系式有什么共同特点?（4）你能结合一次函数的概念，给这种函数下个概念吗？【归纳结论】表达式形如y=ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，其中x是自变量.a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫做常数项.3.想一想，在二次函数中自变量的取值范围有什么要求呢？说出问题1、问题2中自变量的取值范围.【归纳结论】二次函数自变量的取值范围一般都是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义.如问题1中，自变量x的取值范围为0＜x＜20.【教学说明】学生通过实际问题的分析，列出关系式，并观察、利用类比的思想总结出二次函数的概念.\n三、运用新知，深化理解1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)(A)【分析】紧抓二次函数的概念.2.m取哪些值时，函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是以x为自变量的二次函数？【分析】若函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是二次函数，须满足的条件是：m2-m≠0.解：若函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是二次函数，则m2-m≠0.解得m≠0且m≠1.因此，当m≠0且m≠1时，函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是二次函数.3.（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；【分析】（1）根据正方体表面积公式可得.（2）面积与半径有关，所以根据周长表示出半径就可求出面积.解：（1）S=6a2(a＞0).（2）y=(x＞0).4.正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子.(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积.解：（1）S2=152-4x2=225-4x2(0＜x＜)；（2）当x=3cm时，S=225-4×32=189（cm2）.5.已知二次函数y=x2+px+q,当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5.求这个二次函数的解析式.解：把x=1，y=4；x=2,y=-5分别代入y=x2+px+q，得方程组\n所以这个二次函数的表达式为y=x2-12x+15【教学说明】理论学习完二次函数的概念后，让学生在实践中感悟什么样的函数是二次函数，将理论知识应用到实践操作中.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.布置作业:教材“习题21.1”中第1、2、5题.本节课通过简单的实际问题，学生会很容易列出函数关系式，也很容易分辨出哪个是二次函数.通过复习类比，大部分同学对于二次函数的理解都比较好，会找自变量，会列简单的函数关系式，总体效果良好！
