21.6综合与实践获取最大利润\n学习目标1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.（重点）2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.（难点）\n导入新课情境引入在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？\n一个制造商制造一种产品，它的成本可以分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品建造厂房购置设备培训工人等费用，如果没有更换产品，我们将它看为常数；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力材料包装运输等费用。例如，生产一种收音机的成本（单位：元）可以近似的表述为其中C表示生产t台收音机的总成本，当t=0时C=120t+1000①C成本=120×0+1000=10001000元是固定成本，由此可知①式中120t表示可变成本如何定价利润最大讲授新课\n制造商出售产品得到的年总收入等于出售产品的年销售量t和产品的销售单价x的乘积，设R表示年总收入，则R年总收入=t·x②制造商的年利润是出售产品的年收入和生产这些产品的总成本之间的差额，通常设为p表示年利润P利润=R年总收入-C成本∴P利润=R-C=t·x-c③\n问题①当一个工厂在决定是否要生产某种产品时，往往向市场分析专家咨询该产品的销路，一种产品的销售量通常与销售单价有关，当单价上涨时，销售量就下降。假设某市场分析专家提供了下列数据销售单价x/元50100150300年销售量t/件5000400030000设生产t件该产品的成本为C=50t+1000\n(1)在右图中，描出上述表格中各组数据对应的点4000100020003000500050100150200250300x/元t/件O····销售单价x/元50100150300年销售量t/件5000400030000C=50t+1000\n4000100020003000500050100150200250300x/元t/件O····（2）描出的这些点在一条直线吗？求t和x之间的函数关系式解：由右图可知：这些点在一条直线上，设函数的解析式为：t=kx+b任意选取两点代入求得：k=-20,b=6000∴t=-20x+6000\n（3）销售单价x和年销售量t各为多少时，年利润P最大？=-20x²+6000x-50t-1000解：∵R年总收入=t·x∴R年总收入=(-20x+6000)·x∴P利润=R年总收入-C成本=t·x-c∴P利润=(-20x+6000)·x-(50t+1000)=-20x²+6000x-50(-20x+6000)-1000=-20x²+7000x-301000由公式可得：当x=时即x=175,P最大=P=311500元.∴t=-20x+6000=2500，\n例：某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.（1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？解：由题意得：当40≤x≤50时，Q=60(x－30)=60x－1800∵y=60>0，Q随x的增大而增大∴当x最大=50时，Q最大=1200答：此时每月的总利润最多是1200元.\n（2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？解：当50≤x≤70时，设y与x函数关系式为y=kx+b,∵线段过(50，60)和(70，20).50k+b=6070k+b=20∴∴y=－2x+160（50≤x≤70）解得：k=－2b=160\n∴y=－2x+160（50≤x≤70）∴Q=(x－30)y=(x－30)(－2x+160)=－2x2+220x－4800=－2(x－55)2+1250(50≤x≤70)∵a=－2＜0，图象开口向下，∴当x=55时，Q最大=1250∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.\n解：∵当40≤x≤50时，Q最大=1200＜1218当50≤x≤70时，Q最大=1250＞1218∴售价x应在50~70元之间.∴令：－2(x－55)2+1250=1218解得：x1=51，x2=59当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160=58(件)当x2=59时，y2=－2x+160=－2×59+160=42(件)∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件.（3）若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？\n变式：(1)若该商品售价在40～70元之间变化，根据例题的分析、解答，直接写出每月总利润Q与售价x的函数关系式；并说明，当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？解：Q与x的函数关系式为：60x－1800（40≤x≤50）－2(x－55)2+1250（50≤x≤70）Q=由例3可知：若40≤x≤50，则当x=50时，Q最大=1200若50≤x≤70，则当x=55时，Q最大=1250∵1200＜1250∴售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.\n（2）若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试确定该商品的售价x的取值范围；解：①当40≤x≤50时，∵Q最大=1200＜1218，∴没有此情况60x－1800（40≤x≤50）－2(x－55)2+1250（50≤x≤70）Q=\n②当50≤x≤70时，Q最大=1250>1218，令Q=1218，得－2(x－55)2+1250=1218解得：x1=51，x2=59由Q=－2(x－55)2+1250的图象和性质可知:当51≤x≤59时，Q≥1218∴若该商品所获利润不低于1218元，则售价x的取值范围为51≤x≤59.xQ055121859511250\n（3）在（2）的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款不低于1620元，则售价x为多少元时，利润最大，最大利润是多少元？解：由题意得：51≤x≤5930(－2x+160)≥1620解得：51≤x≤53\n∵Q=－2(x－55)2+1250的顶点不在51≤x≤53范围内，又∵a=－2＜0，∴当51≤x≤53时，Q随x的增大而增大∴当x最大=53时，Q最大=1242∴此时售价x应定为53元，利润最大，最大利润是1242元.xQ05512425351\n制造商为了获得最大利润，进行了市场调查，取得了该种电子产品销售单价x和年销售量t之间的一组数据问题②年销售量t/件7503000509685009417销售单价x/元38503400300023002100设生产t件某种电子产品的成本（单位：元）可以近似的表示为：C=1000t+2000000\n（1）在图中，描出上述表格中各组数据对应的点35002000250030004000100020003000400070008000t/件x/元050006000900010000·····年销售量t/件7503000509685009417销售单价x/元38503400300023002100\n（2）假如该企业高薪聘你，请你分析，当年销售量t和销售单价x分别是多少时，年利润P最大？并说说你有几种求解方法？与同学进行交流.请同学们发散思维\n解：通过图像可以观察：这些点几乎在一条直线上，不妨设解析式为：x=kt+b将点（3000，3400）和点（8500，2300）代入x=kt+b中可得∵R年总收入=t·x∴P利润=R年总收入-C成本=t·x-c\n∴x=2500由公式t=-时，t=7500=9250000\n1.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为.每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为.(以上关系式只列式不化简）.y=2000-5(x-100)w=[2000-5(x-100)](x-80)当堂练习\nx(元)152030…y(件)252010…若日销售量y是销售价x的一次函数.（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式； （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？2.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下:\n（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元.则产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元.则解得k=－1，b＝40,解：（1）设此一次函数解析式为.所以一次函数解析为.\n课堂小结最大利润问题建立函数关系式总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本.确定自变量取值范围涨价:要保证销售量≥0；降件：要保证单件利润≥0.确定最大利润利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.
