第2章三角形2.3等腰三角形第2课时\n1.掌握等腰三角形和等边三角形的判定定理；（重点）2.进一步理解、体会推理论证的方法；3.掌握等腰三角形和等边三角形的判定定理的运用.（重点、难点）学习目标\nABC如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？导入新课情境引入\n已知：如图，在△ABC中,∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系?建立数学模型：CAB做一做：画一个△ABC，其中∠B=∠C=30°，请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？AB=AC你能验证你的结论吗？讲授新课等腰三角形的判定\n如图，在△ABC中，∠B=∠C.沿过点A的直线把∠BAC对折，得∠BAC的平分线AD交BC于点D，得∠1=∠2.又∠B=∠C，由三角形内角和的性质得：∠ADB=∠ADC.D12活动探究\n沿AD所在直线折叠，由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2，所以射线DB与射线DC重合，射线AB与射线AC重合.从而点B与点C重合，于是AB=AC.\n∴AC=AB.()即△ABC为等腰三角形.∵∠B=∠C，()知识要点等腰三角形的判定方法有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.已知等角对等边在△ABC中，应用格式：BCA((\nABCD21∵∠1=∠2,∴BD=DC（等角对等边）.∵∠1=∠2,∴DC=BCABCD21（等角对等边）.错，因为都不是在同一个三角形中.辨一辨：如图,下列推理正确吗?\n例1已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.求证：△ADE为等腰三角形.证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴∠ADE=∠AED.∴△ADE为等腰三角形.典例精析\n例2已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB=ADBADC证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD.总结：角平分线+平行线=等腰三角形\n∴∠EDB=∠EBD，∴BE=DE，△EBD是等腰三角形.如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？BCADE变式训练是由折叠可知，∠EBD=∠CBD，∵AD∥BC，∠EDB=∠CBD，\n练一练：1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是（）A.∠A＝50°，∠B＝70°B.∠A＝70°，∠B＝40°C.∠A＝30°，∠B＝90°D.∠A＝80°，∠B＝60°B2.如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于_______.3cm\n例3如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．\n例4如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.探究EF、BE、FC之间的关系.解：EF=BE+CF.理由如下：∵EF∥BC,∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO.∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO，∴∠EOB＝∠ABO，∠FOC＝∠ACO，∴BE＝OE，CF=OF，∴EF=EO+FO＝BE+CF.ABCOEF若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？结论还成立吗？\n定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.由等腰三角形的判定定理可以直接得到：等边三角形的判定定理\n证明定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.证明:如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC由三角形内角和定理得:∠A+∠B+∠C=180°.如果顶角∠A=60°，则∠B+∠C=180°-60°=120°.又AB=AC，∴∠B=∠C.∴∠B=∠C=∠A=60°.∴△ABC是等边三角形.如果是底角∠B=60°（或∠C=60°）呢？\n辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.（1）（2）（6）（5）不是是是是是（4）（3）不一定是\n例5如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC,求证：△ADE是等边三角形.ACBDE证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE//BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等边三角形.\n变式1若点D、E在边AB、AC的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠B=∠D，∠C=∠E．∴∠EAD=∠D=∠E．∴△ADE是等边三角形．ADEBC\n变式2：上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE,△ADE还是等边三角形吗?试说明理由.ACBDE证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵AD=AE,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等边三角形.\n1.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠DBA=_____，∠BDC=_____，图中的等腰三角形有_______________________.36°72°△ABC、△DBA、△BCDABCD当堂练习\n2.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18cm,EC=2cm,则△ADE的周长是cm.ACBDE123.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为_____.9第2题图第3题图\n4.在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度数是（ ）A．10°B．15°C．20°D．25°B\n5.已知：如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D.求证：BC＝CD.证明：连接BD.∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB.∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB，即∠DBC=∠BDC，∴BC=CD.\n6.如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，∴∠ABC=∠ACB=60°．∠DBC=30°(等腰三角形三线合一)．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE(等角对等边)．\n课堂小结等腰(边)三角形的判定等腰三角形的判定等角对等边注意是指同一个三角形中等边三角形的判定1.三个角都相等的三角形是等边三角形.2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
