2.3幂函数教学目的：1．通过实例，了解幂函数的概念．2．具体结合函数的图象，了解幂函数的变化情况．3．在归纳五个幂函数的基本性质时，应注意引导学生类比前面研究一般的函数、指数函数、对函数等过程中的思想方法，对研究这些函数的思路作出指导．教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质．教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难．一、新课导入先看五个具体的问题：（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p=w元，这里p是w的函数；（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积，这里是的函数；（3）如果立方体的边长为a，求立方体的体积，这里是a的函数；（4）如果一个正方形场地的面积为，那么这个正方形的边长，这里是的函数；（5）如果某人s内骑车进行了1km，那么他骑车的平均速度km/s，这里是的函数．讨论：以上五个问题中的函数具有什么共同特征？它们具有的共同特征：幂的底数是自变量，指数是常数．从上述函数中，我们观察到，它们都是形如的函数．二、师生互动，新课讲解：1、幂函数的定义一般地，函数叫做幂函数（powerfunction），其中是自变量，是常数．对于幂函数，我们只讨论时的情形．2、幂函数的图象在同一直角坐标系内作出幂函数；；；；的图象．\n观察以上函数的图象的特征，归纳出幂函数的性质．定义域RRR值域RR奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增增增公共点（1,1）3、幂函数的性质1）．五个具体的幂函数的性质（1）函数；；；和的图象都通过点（1，1）；（2）函数；；是奇函数，函数是偶函数；（3）在区间上，函数，，和是增函数，函数是减函数；（4）在第一象限内，函数的图象向上与轴无限接近，向右与轴无限接近．2）．一般的幂函数的性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数；>1时，图象向上，靠近y轴；0<<1，图景向上，靠近x轴；=1是条直线。（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴；（4）幂函数的图象，在第一象限内，直线的右侧，图象由下至上，指数由小到大；轴和直线之间，图象由上至下，指数由小到大．课堂练习：已知幂函数在第一象限内的图象如图所示，且分别取四个值，则相应于曲线的的值依次为．\n例1：（课本第78页例1）证明幂函数在上是增函数．变式训练1：利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：（1），；（2），；（3），；（4），．例2：求下列函数的定义域，并判断它们的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）解（1）函数的定义域是，它是奇函数；（2）函数即，其定义域是，它是偶函数；（3）函数即，其定义域是，它既不是奇函数，也不是偶函数；（4）函数即，其定义域是，它是奇函数．变式训练2：（1）.设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有值为（A）．(A)，(B)，(C)，(D)，，（2）.若函数，则函数在其定义域上是（B）．(A)单调递减的偶函数(B)单调递减的奇函数(C)单调递增的偶函数(D)单调递增的奇函数（3）若幂函数f(x)的图象经过点(3，)，则其定义域为( )A．{x|x∈R，x>0} B．{x|x∈R，x<0}C．{x|x∈R，且x≠0}D．R解析：设f(x)＝xα.∵图象过点(3，)，∴＝3α，即3－2＝3a，∴α＝－2，即f(x)＝x－2＝，∴x2≠0，即x≠0.答案：C例3：在同一坐标系作出函数y=x2与y=2x的图象。变式训练3：已知幂函数f(x)＝(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________.解析：∵幂函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，∴m2－2m－3<0，∴－1<m<3，又m∈N*，∴m＝1或2，当m＝1时，f(x)＝x－4，其图象关于y轴对称，符合；当m＝2时，f(x)＝x－3是奇函数，不符合，∴m＝1.\n答案：1布置作业：A组：1．下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是( )解析：注意到函数y＝x2≥0，且该函数是偶函数，其图象关于y轴对称，结合选项知，该函数图象应与②对应；y＝＝的定义域、值域都是[0，＋∞)，结合选项知，该函数图象应与③对应；y＝x－1＝，结合选项知，其图象应与④对应；图象①与y＝x3大致对应．综上述所述，选B.答案：B2．已知n∈{－1,0,1,2,3}，若(－)n>(－)n，则n＝__________.解析：可以逐一进行检验，也可利用幂函数的单调性求解．答案：－1或23．（课本P79习题2.3NO:1）已知幂函数的图象过点，试求出这个函数的解析式．4．(课本P79习题2.3NO:2)在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v（单位：cm3/s）与管道半径r(单位：cm)的四次方成正比．（1）写出气流流量速率v关于管道半径r的函数解析式；（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400cm3/s，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式；（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率（精确到1cm3/s）．5．讨论函数的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说出函数的单调性．6．已知函数f(x)＝－xm，且f(4)＝－.(1)求m的值；\n(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．解：(1)∵f(4)＝－，∴－4m＝－.∴m＝1.(2)f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减，证明如下：任取0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝(－x1)－(－x2)＝(x2－x1)(＋1)．∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，＋1>0.∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，即f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减．B组：1．如果幂函数f(x)＝(p∈Z)是偶函数．且在(0，＋∞)上是增函数．求p的值，并写出相应的函数f(x)的解析式．解析：∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴－p2＋p＋>0，即p2－2p－3<0.∴－1<p<3，又∵f(x)是偶函数且p∈Z.∴p＝1，故f(x)＝x2.
