3.3.2 简单的线性规划问题2导入新课师前面我们学习了目标函数、线性目标函数、线性规划问题、可行解、可行域、最优解等概念.师同学们回忆一下用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤.生（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）;（2）设t=0，画出直线l0;(3)观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解;(4)最后求得目标函数的最大值及最小值.推进新课师【例1】已知x、y满足不等式组试求z=300x+900y的最大值时的整点的坐标及相应的z的最大值.师分析：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z=300x+900y取最大值时的整点.解：如图所示平面区域AOBC，点A（0，125），点B（150，0），点C的坐标由方程组\n得C（,），令t=300x+900y，即,欲求z=300x+900y的最大值，即转化为求截距t[]900的最大值，从而可求t的最大值，因直线与直线平行，故作的平行线，当过点A（0，125）时，对应的直线的截距最大，所以此时整点A使z取最大值，zmax=300×0+900×125=112500.师【例2】求z=600x+300y的最大值，使式中的x、y满足约束条件3x+y≤300，x+2y≤250，x≥0,y≥0的整数值.师分析：画出约束条件表示的平面区域即可行域再解.解：可行域如图所示.\n四边形AOBC，易求点A（0，126），B（100，0）,由方程组得点C的坐标为（,).因题设条件要求整点（x,y)使z=600x+300y取最大值，将点（69，91），（70，90）代入z=600x+300y，可知当x=70,y=90时，z取最大值为zmax=600×70+300×900=69000.师【例3】已知x、y满足不等式求z=3x+y的最小值.师分析：可先找出可行域，平行移动直线l0:3x+y=0找出可行解，进而求出目标函数的最小值.解：不等式x+2y≥2表示直线x+2y=2上及其右上方的点的集合；不等式2x+y≥1表示直线2x+y=1上及其右上方的点的集合.可行域如右图所示.\n作直线l0:3x+y=0，作一组与直线l0平行的直线l:3x+y=t(t∈R).∵x、y是上面不等式组表示的区域内的点的坐标.由图可知：当直线l:3x+y=t通过P（0，1）时，t取到最小值1，即zmin=1.师评述：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.师课堂练习：请同学们通过完成练习来掌握图解法解决简单的线性规划问题.\n（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件［教师精讲］师（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件解：不等式组表示的平面区域如右图所示：当x=0,y=0时，z=2x+y=0，点（0，0）在直线l0:2x+y=0上.作一组与直线l0平行的直线l:2x+y=t,t∈R.可知在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（2，-1）的直线所对应的t最大.所以zmax=2×2-1=3.\n（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件解：不等式组所表示的平面区域如右图所示.从图示可知直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（,）的直线所对应的t最大.所以zmin=3×(-2)+５×(-1)=-11,zmax=3×+5×=14.［知识拓展］某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t，需耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品需耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利润是600元，每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过360t、B种矿石不超过200t、煤不超过300t，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1t），能使利润总额达到最大？师分析：将已知数据列成下表：\n消耗量产品资源甲产品（1t）乙产品(1t)资源限额（t）A种矿石（t）104300B种矿石(t)54200煤(t)利润（元）493606001000解：设生产甲、乙两种产品分别为xt、yt，利润总额为z元，那么目标函数为z=600x+1000y.作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域.作直线l:600x+1000y=0,\n即直线:3x+5y=0,把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=600x+1000y取最大值.解方程组得M的坐标为x=≈12.4,y=≈34.4.答：应生产甲产品约12.4t，乙产品34.4t，能使利润总额达到最大.课堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.（2）设t=0，画出直线l0.（3）观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.（4）最后求得目标函数的最大值及最小值.以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.\n当然也要注意问题的实际意义布置作业课本第105页习题3.3A组3、4.板书设计简单线性规划问题例1课堂小结例3例2
