第四章一次函数4.2一次函数与正比例函数\n1.掌握一次函数、正比例函数的概念.（重点）2.能根据条件求出一次函数的关系式．（难点）学习目标\n如果设蛤蟆的数量为x，y分别表示蛤蟆嘴的数量，眼睛的数量，腿的数量，扑通声，你能列出相应的函数解析式吗？y=xy=2xy=4xy=kx导入新课情境引入\n在现实生活当中有许多问题都可以归结为函数问题,大家能不能举一些例子?讲授新课一次函数与正比例函数知识点1\n(2)你能写出y与x之间的关系吗？y=3+0.5x情景一：某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克，弹簧长度y增加0.5cm.(1)计算所挂物体的质量分别为1kg,2kg,3kg,4kg，5kg时的长度，并填入下表：x/kg012345y/cm33.544.555.5\n情景二：某辆汽车油箱中原有油60L,汽车每行驶50km耗油6L.(1)完成下表：汽车行使路程x/km050100150200300油箱剩余油量y/L605448423630(2)你能写出y与x的关系吗?y=60－0.12x\n上面的两个函数关系式:(1)y=3+0.5x(2)y=60－0.12x若两个变量x、y之间的关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k不等于0）的形式，则称y是x的一次函数.（x为自变量，y为因变量.）当b=0时，称y是x的正比例函数.大家讨论一下,这两个函数关系式有什么关系?\n下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？(1)y＝－x－4;(2)y＝5x2－6；(3)y＝2πx;(6)y＝8x2＋x(1－8x)解：(1)是一次函数，不是正比例函数；(2)不是一次函数，也不是正比例函数；(3)是一次函数，也是正比例函数；(4)是一次函数，也是正比例函数；(5)不是一次函数，也不是正比例函数；(6)是一次函数，也是正比例函数．练一练\n方法总结1.判断一个函数是一次函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零；2.判断一个函数是正比例函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．\n典例精析例1：写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;解：由路程=速度×时间，得y=60x,y是x的一次函数,也是x的正比例函数.解：由圆的面积公式，得y=πx2,y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数.（2）圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系.\n解：这个水池每时增加5m3水，xh增加5xm3水，因而y=15+5x,y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.（3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，xh后这个水池有水ym3.\n例2：已知函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1.(1)若它是一次函数，求m的值；(2)若它是正比例函数，求m的值．解：(1)因为y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数，所以m2－24＝1且m－5≠0，所以m＝±5且m≠5，所以m＝－5.所以，当m＝－5时，函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数．\n(2)若它是正比例函数，求m的值．解：(2)因为y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数，所以m2－24＝1且m－5≠0且m＋1＝0.所以m＝±5且m≠5且m＝－1，则这样的m不存在，所以函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1不可能为正比例函数．【方法总结】函数是一次函数，则k≠0，且自变量的次数为1.当b＝0时，一次函数为正比例函数．\n变式训练(1)若是正比例函数，则m=；(2)若是正比例函数，则m=；-2-1m-2≠0，|m|-1=1，∴m=-2.m-1≠0，m2-1=0，∴m=-1.\n如图，△ABC是边长为x的等边三角形.（1）求BC边上的高h与x之间的函数解析式.h是x的一次函数吗？如果是，请指出相应的k与b的值.解:(1)∵BC边上的高AD也是BC边上的中线，∴BD=.在Rt△ABD中，由勾股定理，得即∴h是x的一次函数，且能力提升\n（2）当h=时，求x的值.（3）求△ABC的面积S与x的函数解析式.S是x的一次函数吗？解:（2）当h=时，有.解得x=2.（3）∵即∴S不是x的一次函数.\n1.判断:(1)y=2.2x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数.（）(2)y=80x+100，y是x的一次函数.（）√√2.在函数y=(m-2)x+(m2-4)中，当m时，y是x的一次函数；当m时，y时x的正比例函数.≠2=-2随堂练习\n3.已知函数y=(m-1)x｜m︱+1是一次函数，求m值.4.若函数y=(m-3)x+m2-9是正比例函数，求m的值.解：根据题意，得∣m∣=1,解得m=±1，但m-1≠0,即m≠1,所以m=-1.解：根据题意，得m2-9=0,解得m=±3，但m-3≠0,即m≠3,所以m=-3.\n5.已知y-3与x成正比例，并且x=4时，y=7，求y与x之间的函数关系式.解：依题意，设y-3与x之间的函数关系式为y-3=kx，∵x=4时，y=7，∴7-3=4k，解得k=1.∴y-3=x，即y=x+3.\n6.有一块10公顷的成熟麦田，用一台收割速度为0.5公顷每小时的小麦收割机来收割.（1）求收割的面积y（单位：公顷）与收割时间x（单位：时）之间的函数关系式；（2）求收割完这块麦田需用的时间.解：（1）y=0.5x；（2）把y=10代入y=0.5x中，得10=0.5x.解得x=20，即收割完这块麦田需要20小时.\n7.一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2m/s．（1）求小球速度v（单位：m/s）关于时间t（单位：s）的函数解析式;解：小球速度v关于时间t的函数解析式为v=2t.\n（2）求第2.5s时小球的速度；（3）时间每增加1s，速度增加多少，速度增加量是否随着时间的变化而变化？解：(2)当t=2.5时，v=2×2.5=5(m/s).(3)时间每增加1s，速度增加2m/s，速度增加量不随着时间的变化而变化.\n一次函数一次函数的概念正比例函数的概念函数关系式的确定课堂小结
