3.2立体几何中的向量方法--空间距离利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题．例１如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．分析：由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B且垂直于平面EFG的向量，它的长即为点B到平面EFG的距离．解：如图，设4i，4j，2k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系C－xyz．由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．∴ ，，，，．设平面EFG，M为垂足，则M、G、E、F四点共面，由共面向量定理知，存在实数a、b、c，使得，\n∴ ＝(2a+4b,－2b－4c,2c)．由平面EFG，得，，于是 ，．∴ 整理得：，解得．∴ ＝(2a+4b,－2b－4c,2c)＝．∴ 故点B到平面EFG的距离为．说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了．例2已知正方体ABCD－的棱长为1，求直线与AC的距离．分析：设异面直线、AC的公垂线是直线l，则线段\n在直线l上的射影就是两异面直线的公垂线段，所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解．解：如图，设i，j，k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系－xyz，则有，，，．∴ ，，．设n是直线l方向上的单位向量，则．∵ n，n，∴ ，解得或．取n，则向量在直线l上的投影为 n··．由两个向量的数量积的几何意义知，直线与AC的距离为．向量的内积与二面角的计算\n在《高等代数与解析几何》课程第一章向量代数的教学中，讲到几何空间的内积时，有一个例题（见[1]，p53）要求证明如下的公式：(1)其中点O是二面角P-MN-Q的棱MN上的点，OA、OB分别在平面P和平面Q内。，，。为二面角P-MN-Q（见图1）。图1公式（1）可以利用向量的内积来加以证明：以Q为坐标平面，直线MN为y轴，如图1建立直角坐标系。记xOz平面与平面P的交线为射线OD，则，得，，。分别沿射线OA、OB的方向上作单位向量，，则。由计算知，的坐标分别为\n，，于是，。公式（1）在立体几何计算二面角的平面角时是有用的。我们来介绍如下的两个应用。例1．立方体ABCD-A 1B 1C1D1的边长为1，E、F、G、H、I分别为A1D1、A1A、A1B1、B1C1、B1B的中点。求面EFG和面GHI的夹角的大小（用反三角函数表示）。解由于图2中所画的两平面EFG和GHI只有一个公共点，没有交线，所以我们可以将该立方体沿AB方向平移1个单位。这样就使平面EFG平移至平面。而就是二面角G-IH-（见图3）。利用公式（1），只要知道了，和的大小，我们就能求出。图2\n由已知条件，和均为等边三角形，所以，而。因此，图3，即。解得，。当然，在建立了直角坐标系之后，通过计算向量的外积可计算出两平面的法向量，利用法向量同样也可算出夹角来。例2．计算正十二面体的两个相邻面的夹角的大小。解我们知道正十二面体的每个面都是大小相同的正五边形，且在正十二面体的每个顶点上均有3个面围绕。设P和Q\n是两个相邻的面，MN是它们的交线（如图4），则公式（1）中的，，分别为：，，，因此它们均为正五边形的内角。所以。图4所以，由公式（1）知，或。因此，，或。如果不使用公式（1），要求出例2中的夹角的大小在计算上要复杂很多。\n利用例2的结果，我们可以容易地计算出单位棱长正十二面体的体积V。设单位棱长正十二面体的中心为O，则该十二面体可以切割成十二个全等的正五棱锥，每个五棱锥以该多面体的一个面为底面、以O为其顶点。设该正五棱锥为，从而可知：。再设的底面积为S、高为h，设为单位边长正五边形（即的底）的中心，A、B为该五边形的两个相邻的顶点，H为AB的中点，，则，，。仍设为正十二面体两相邻面的夹角，则。所以。但是，，从而\n，或
