第3章一次方程与方程组3.2一元一次方程的应用第1课时等积变形和行程问题\n学习目标1.会用一元一次方程解决等积变形和行程问题.（重点、难点）2.分清有关数量关系，能正确找出作为列方程依据的主要等量关系.(难点）3.掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.(重点)\n导入新课情景引入一支牙膏出口处直径为5mm,小明每次刷牙都挤出1cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次。该品牌牙膏现推出新包装，只是将出口直径改为6mm,小明还是按习惯每次挤出1cm长的牙膏，这样，这只牙膏能用多少次？直径为5mm直径为6mm1cm长的牙膏\n讲授新课☆等积变形问题例1：如图，用直径为200毫米的圆钢，锻造一个长、宽、高分别为300毫米、300毫米和90毫米的长方体毛坯底板，应截取圆钢多少（圆柱的体积公式：体积=底面积高线长.计算时取3.14.要求结果误差不超过1毫米）？200x90300300\n问题1：题目中有哪些已知量和未知量？如何表示未知量？想一想已知：圆钢直径（200mm）、长方体毛胚的长宽高（300mm、300mm、90mm）未知：圆钢的高设未知数：设应截取圆钢x毫米.问题2：分析题意，你能找到什么等量关系？等量关系：圆钢体积=长方体毛胚的体积\n问题3：如何根据等量关系“圆钢体积=长方体毛胚的体积”列出方程？根据等量关系列出方程，得：解方程，得：答：应截取258mm长的圆柱体钢.等积变形就是无论物体怎么变化都存在一个等量关系，即物体变化前后面积或体积不变\n归纳总结列方程解应用题的一般步骤：1:弄清题意和题中数量关系，用字母（如x,y)表示问题中的未知数；2:分析题意，找出相等关系；3:根据相等关系，列出需要的代数式，并列出方程；4:解这个方程，求出未知数的值；5:检查所得值是否正确和符合实际情形，并写出答案（包括单位名称）.设未知数找等量关系列出方程解方程检验作答\n☆行程问题例2：为了适应经济发展，铁路运输再次提速.如果客车行驶的平均速度增加40km/h,提速后由合肥到北京1110km的路程只需行驶10h.那么，提速前，这趟客车平均每时行驶多少千米？分析：行程问题中常涉及的量有路程、平均速度和时间，它们之间的基本关系为：路程=平均速度×时间；\n解：设提速前客车平均每小时行驶xkm,那么提速后客车每小时行驶（x+40)km,客车行驶路程为1110km,平均速度为（x+40)km/h,所需时间是10h.根据题意，得10（x+40)=1110解方程，得x=71.答：提速前这趟客车的平均速度为71km/h.\n例3甲、乙两站相距480千米，一列慢车从甲站开出，每小时行90千米，一列快车从乙站开出，每小时行140千米．(1)慢车先开出1小时，快车再开，两车相向而行．问快车开出多少小时后两车相遇？\n解：(1)设快车开出x小时后两车相遇．等量关系：慢车行驶距离+快车行驶距离=甲乙两地的距离.依题意，得：90×1+90x+140x=480.解方程，得：\n(2)设相背而行y小时两车相距600千米．等量关系：慢车行驶距离+快车行驶距离+甲乙两地的距离=600km.依题意，得：90y+480+140y=600.解方程，得：(2)两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距600千米？\n(3)设z小时后快车与慢车相距600千米，等量关系：快车行驶距离+甲乙两地的距离-慢车行驶距离=600km.依题意，得：140z+480-90z=600.解方程，得：(3)两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600千米？\n(4)设m小时后快车追上慢车，等量关系：慢车行驶距离+甲乙两地的距离=快车行驶距离.依题意，得：90m+480=140m.解方程，得：答：略(4)两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？\n行程问题中一般涉及“路程”“速度”“时间”这三个量，且路程＝速度×时间．行程问题分同向而行和相向而行两种情况，找等量关系时可以画线段示意图帮助分析．归纳总结\n例4：汽船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙地逆水开往甲地少1.5小时.已知船在静水的速度为18千米/小时，水流速度为2千米/小时，求甲、乙两地之间的距离？分析：本题是行程问题，故有：路程=平均速度×时间；时间=路程÷平均速度.但涉及水流速度，必须要掌握：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速－水速.\n解：设甲、乙两地的距离为x千米，等量关系：逆水所用时间－顺水所用时间=1.5依题意，得解方程，得x=120答：甲乙两地之间的距离为120千米.方法一直接设元法想一想，这道题是不是只有这一种解法呢？\n方法二解设汽船逆水航行从乙地到甲地需x小时，则汽船顺水航行的距离是(18+2)(x－1.5)千米,逆水航行的距离是(18－2)x千米.等量关系：汽船顺水航行的距离=汽船逆水航行的距离(18－2)×7.5=120答:甲、乙两地距离为120千米。依题意，得：(18+2)(x－1.5)=(18－2)xx=7.5解方程，得：间接设元法\n问题1：操场一周是400米，小明每秒跑5米,小华骑自行车每秒10米,两人绕跑道同时同地同向而行，他俩能相遇吗？环形跑道问题\n问题2：操场一周是400米，小明每秒跑5米,小华骑自行车每秒10米,两人绕跑道同时同地同向而行，经过几秒钟两人第一次相遇？分析小华小明同时同地同向而行拓展训练：经过几秒钟两人第三次相遇？\n变式训练：操场一周是400米，小明每秒跑5米,小华骑自行车每秒10米，两人绕跑道同时同地相背而行，则两个人何时相遇？分析小华小明同时同地相背而行\n当堂练习1.一个宽为3cm的长方形与一个边长为6cm的正方形面积相等，则这个长方形的周长为（）A.12.5千米/时B.15千米/时C.17.5千米/时D.20千米/时2.甲、乙两人骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时相遇，若甲比乙每小时多骑2.5千米，则乙的时速是（）A.12cmB.18cmC.24cmD.30cmDB\n3．一个底面直径为16厘米的圆柱形木桶内装满水，水中淹没着一个底面直径为8厘米、高为15厘米的铁质小圆柱体．当铁质小圆柱体取出后，木桶内水面下降了多少？[解析]木桶内水面下降的圆柱体体积＝铁质小圆柱体体积．解：设木桶内水面下降xcm.由题意得：解方程得：答：木桶内水面下降\n4.一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时.已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的速度.解：设船在静水中的平均速度为x千米/时，则顺流速度为(x+3)千米/时，逆流速度为(x-3)千米/时.根据题意，得2(x+3)=2.5(x-3)解方程，得x=27答：船在静水中的平均速度为27千米/时.\n课堂小结用一元一次方程解决问题步骤应用1.设未知数；2.找等量关系；3.列方程；4.解方程；5.检验作答.等积变形：变形前后的面（体)积相等行程问题：路程=时间×平均速度直接设元简接设元\n问题的已知条件解决行程问题的基本步骤：画出线段图找出等量关系列方程并求解作答同向追及问题同地不同时：同时不同地：甲路程＋路程差＝乙路程；甲路程＝乙路程相向相遇问题甲的路程＋乙的路程=总路程课堂小结
