27.2相似三角形27.2.2相似三角形的性质学习目标：1.理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比，并运用其解决问题.(重点、难点)2.理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并运用其解决问题.(重点)自主学习一、知识链接1.相似三角形的判定方法有哪几种？2.三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素?合作探究一、要点探究探究点1：相似三角形对应线段的比思考如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？,证明如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，求它们对应边BC和B′C′上的高之比．试一试仿照求高的比的过程，当△ABC∽△A′B′C′，相似比为k时，求它们对应中线的比、对应角平分线的比.【要点归纳】相似三角形对应高的比等于相似比.类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.【典例精析】例1已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别是△ABC和△DEF的角平分线，BC=6cm，EF=4cm，BG=4.8cm.求EH的长.【针对训练】1.如果两个相似三角形的对应高的比为2:3，那么对应角平分线的比是，,对应边上的中线的比是.2.已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为3:4，若BC边上的高AD＝12cm，则B'C'边上的高A'D'＝.思考如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，它们的周长比也等于相似比吗？为什么？【要点归纳】相似三角形周长的比等于相似比.探究点2：相似三角形面积的比思考如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们的面积比是多少？证明分别作BC，B′C′边上的高AD和A′D′.由前面的结论，我们有，，【要点归纳】由此得出：相似三角形面积的比等于相似比的平方．【针对训练】1.已知两个三角形相似，请完成下列表格：,相似比2 k……周长比……面积比10000……2.把一个三角形变成和它相似的三角形，(1)如果边长扩大为原来的5倍，那么面积扩大为原来的_____倍；(2)如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的_____倍.3.两个相似三角形的一对对应边分别是35cm、14cm，(1)它们的周长差为60cm，这两个三角形的周长分别是______；(2)它们的面积之和是58cm2，这两个三角形的面积分别是.例2如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D.若△ABC的边BC上的高为6，面积为，求△DEF的边EF上的高和面积.【针对训练】如果两个相似三角形的面积之比为2:7，较大三角形一边上的高为7，则较小三角形对应边上的高为______.例3如图，D，E分别是AC，AB上的点，已知△ABC的面积为100cm2，且，求四边形BCDE的面积.,【针对训练】如图，△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，EF∥AB.当D点为AB中点时，求S四边形BFED:S△ABC的值.二、课堂小结当堂检测,1.判断：(1)一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5倍()(2)一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍()2.在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，AP，DQ是中线，若AP＝2，则DQ的值为()A．2B．4C．1D.3.连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于___________.4.两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，则较小三角形的周长是__________cm，面积为__________cm2.5.△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面积分别为4和9，求△ABC的面积.6.如图，△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB、AC于点D、E，S△ADE＝2S△DCE，求S△ADE∶S△ABC.【分析】从题干分析可以得到△ADE∽△ABC，要证明它们面积的比，直接的就是先求出相似比，观察得到△ADE与△DCE是同高，得到AE与CE的比，进而求解.参考答案,自主学习一、知识链接解：（1）定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似（2）平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三角形与原三角形相似（3）三边成比例的两个三角形相似（4）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（5）两角分别相等的两个三角形相似（6）一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似解：还有高，中线，平分线等等合作探究一、要点探究探究点1：相似三角形对应线段的比证明解：如图，分别作出△ABC和△A'B'C'的高AD和A'D'．则∠ADB=∠A'D'B'=90°.∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B'.∴△ABD∽△A'B'D'.∴.【典例精析】例1解：∵△ABC∽△DEF，∴(相似三角形对应角平分线的比等于相似比)，∴，解得EH=3.2.∴EH的长为3.2cm.【针对训练】1.2:32:32.16cm思考解：等于，如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么，因此AB＝kA'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，从而.探究点2：相似三角形面积的比【针对训练】1.相似比2100 k……,周长比2100k……面积比410000……2.(1)25(2)103.(1)100cm，40cm(2)50cm2,8cm2例2解：在△ABC和△DEF中，∵AB=2DE，AC=2DF，∴.又∵∠D=∠A，∴△DEF∽△ABC，相似比为.∵△ABC的边BC上的高为6，面积为，∴△DEF的边EF上的高为×6=3，面积为.【针对训练】例3解：∵∠BAC=∠DAE，且，∴△ADE∽△ABC.∵它们的相似比为3:5，∴面积比为9:25.又∵△ABC的面积为100cm2，∴△ADE的面积为36cm2.∴四边形BCDE的面积为100－36=64(cm2).【针对训练】解：∵DE∥BC，D为AB中点，∴△ADE∽△ABC，∴，即相似比为1:2，面积比为1:4.又∵EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，相似比为，∴面积比为1:4.设S△ABC=4，则S△ADE=1，S△EFC=1，S四边形BFED=S△ABC－S△ADE－S△EFC=4－1－1=2，∴S四边形BFED:S△ABC=2:4=.当堂检测,1.(1)√(2)×2.C3.1:21:44.145.解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴△ADE∽△ABC，∠ADE=∠EFC，∠A=∠CEF，∴△ADE∽△EFC.又∵S△ADE:S△EFC=4:9，∴AE:EC=2:3，则AE:AC=2:5，∴S△ADE:S△ABC=4:25，∴S△ABC=25.6.解：过点D作AC的垂线，垂足为F，则，∴.又∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴，即S△ADE:S△ABC＝4:9.
