2向 心 力\n1.牛顿第二定律的表达式为_____,若表达式中a是物体的加速度,则力F指_____________,该定律也指明了加速度a与力F的方向_____.2.向心加速度的方向始终指向_____,故向心加速度的方向时刻发生改变,向心加速度是_____(选填“恒量”或“变量”).3.向心加速度的表达式是a=____=_____,匀速圆周运动的向心加速度就是物体的合加速度.4.匀速圆周运动的加速度_____不变,_____时刻改变,是变量.F=ma物体的合外力相同圆心变量ω2r大小方向\n一、向心力1.定义：做匀速圆周运动的物体产生向心加速度的原因是它受到了指向_____的合力.这个力叫做向心力.2.方向：始终沿着_____指向_____.3.表达式：(1)Fn=_____；(2)Fn=_____.4.效果力：向心力是根据力的_________来命名的,凡是产生向心加速度的力,不管属于哪种性质,都是向心力.圆心mω2r作用效果半径圆心\n二、变速圆周运动和一般的曲线运动1.变速圆周运动:同时具有_____加速度和_____加速度的圆周运动.2.变速圆周运动的合力：变速圆周运动所受合外力_______向心力,合外力产生两个方向的效果.(1)跟圆周相切的分力Ft,只改变线速度的大小,产生_____加速度,此加速度描述线速度_________的快慢.(2)跟圆周切线垂直而指向圆心的分力Fn,只改变线速度的方向,产生_____加速度.向心切向不等于切向大小变化向心\n3.一般曲线运动的处理方法：一般的曲线运动中,可以把曲线分割成许多很短的小段,每一小段可看作一小段_____,研究质点在这一小段的运动时,可以采用圆周运动的处理方法进行处理.圆弧\n【思考辨析】1.判断正误：(1)匀速圆周运动的向心力是恒力.()(2)匀速圆周运动的合力就是向心力.()(3)任何圆周运动的合力都是向心力.()(4)向心力和重力、弹力一样,是性质力.()(5)向心力可以由重力或弹力等来充当,是效果力.()\n提示:(1)×.做匀速圆周运动的物体的向心力大小不变,方向不断变化.(2)√.匀速圆周运动的速度大小不变,表明合力在速度方向上没有分量,即合力一定沿半径方向,合力就是向心力.(3)×.对于匀速圆周运动,合力一定是向心力,但一般的圆周运动的合力不一定等于向心力.(4)×.向心力是根据作用效果命名的力.(5)√.向心力可以由某种性质的力或其分力充当,也可以由几个性质力的合力提供,是效果力.\n2.问题思考：(1)如图所示,物体在圆筒壁上随筒壁一起绕竖直转轴匀速转动,试问：物体受几个力作用？向心力由什么力提供？提示：物体受三个力,分别为重力、弹力和摩擦力.物体做匀速圆周运动,向心力等于以上三个力的合力,由于重力与摩擦力抵消,实际上向心力仅由弹力提供.\n(2)荡秋千是小朋友很喜欢的游戏,当秋千由上向下荡下时,①此时小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？②绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？提示：①秋千荡下时,速度越来越大,做的是变速圆周运动.②由于秋千做变速圆周运动,合外力既有指向圆心的分力,又有沿切向的分力,所以合力不指向悬挂点.\n一对向心力的理解1.大小：对于匀速圆周运动,向心力大小始终不变,但对于非匀速圆周运动(如用一根绳拴住小球绕固定圆心在竖直平面内做的圆周运动),其向心力大小随速率v的变化而变化,公式表述的只是瞬时值.\n2.方向：无论是否为匀速圆周运动,其向心力总是沿着半径指向圆心,方向时刻改变,故向心力是变力.3.向心力的作用效果：由于向心力始终指向圆心,其方向与物体运动方向始终垂直,故向心力不改变速度的大小,只改变线速度的方向.4.向心力的来源：物体做圆周运动时,向心力由物体所受力中沿半径方向的力提供.\n几种常见的实例如下：实例向心力示意图用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时若线的拉力为零,球的重力提供向心力,F=G用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动线的拉力提供向心力,F=T物体随转盘做匀速圆周运动,且相对转盘静止转盘对物体的静摩擦力提供向心力,F=f小球在细线作用下,在水平面内做圆周运动重力和细线的拉力的合力提供向心力,F=F合\n【特别提醒】(1)向心力不是具有特定性质的某种力,任何性质的力都可以作为向心力,受力分析时不分析向心力.(2)公式F=mω2r=既适用于匀速圆周运动,也适用于变速圆周运动.(3)匀速圆周运动中,合力提供向心力;非匀速圆周运动中,合力不一定指向圆心,合力沿半径方向的分力充当向心力.\n【典例1】在水平面上,小猴拉着小滑块做匀速圆周运动,O点为圆心,能正确地表示小滑块受到的牵引力及摩擦力Ff的图是()\n【解题探究】(1)小滑块受几个力作用?合力有何特点?提示:小滑块受四个力作用,它们是重力、支持力、拉力和摩擦力.其中重力与支持力抵消,拉力与摩擦力的合力提供向心力,即拉力与摩擦力的合力方向指向圆心.(2)滑动摩擦力的方向与物体_________________.相对运动方向相反\n【标准解答】选A.滑动摩擦力的方向与相对运动的方向相反,故滑动摩擦力的方向沿圆周的切线方向,B、D错误;小滑块做匀速圆周运动,其合外力提供向心力,故A正确,C错误.\n【总结提升】向心力与合外力判断方法(1)向心力是按力的作用效果来命名的,它不是某种确定性质的力,可以由某个力来提供,也可以由某个力的分力或几个力的合力来提供.(2)对于匀速圆周运动,合外力提供物体做圆周运动的向心力,对于非匀速圆周运动,其合外力不指向圆心,它既要改变线速度大小,又要改变线速度方向,向心力是合外力的一个分力.(3)无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动,物体所受各力沿半径方向分量的矢量和为向心力.\n【变式训练】下列关于向心力的说法中正确的是()A.物体受到向心力的作用才可能做圆周运动B.向心力是指向圆心方向的合力,是根据力的作用效果来命名的,但受力分析时应该画出C.向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力,也可以是其中某一种力或某几种力的合力D.向心力只改变物体运动的方向,不改变物体运动的快慢\n【解析】选C、D.向心力是一种效果力,实际中由某种或某几种性质力提供,受力分析时不分析向心力,A、B错,C对.向心力只改变物体线速度的方向,不改变线速度的大小,D对.\n【变式备选】如图所示,物体A、B随水平圆盘绕轴匀速转动,物体B在水平方向所受的作用力有()A.圆盘对B及A对B的摩擦力,两力都指向圆心B.圆盘对B的摩擦力指向圆心,A对B的摩擦力背离圆心C.圆盘对B及A对B的摩擦力和向心力D.圆盘对B的摩擦力和向心力\n【解析】选B.以A、B整体为研究对象,受重力、圆盘的支持力及圆盘对B的摩擦力,重力与支持力平衡,摩擦力提供向心力,即摩擦力指向圆心.以A为研究对象,受重力、B的支持力及B对A的摩擦力,重力与支持力平衡,B对A的摩擦力提供A做圆周运动的向心力,即方向指向圆心,由牛顿第三定律,A对B的摩擦力背离圆心,所以物体B在竖直方向受重力、圆盘的支持力、A的压力,在水平方向受圆盘指向圆心的摩擦力和A对B背离圆心的摩擦力,故B正确.\n二匀速圆周运动的处理方法1.匀速圆周运动的特点:线速度大小不变、方向时刻改变;角速度、周期、频率都恒定不变;向心加速度和向心力大小都恒定不变,但方向时刻改变.2.匀速圆周运动问题的解题思路:凡是做匀速圆周运动的物体一定需要向心力,而物体所受外力的合力充当向心力,这是处理该类问题的理论基础.\n3.匀速圆周运动问题的解题步骤：(1)明确研究对象,对研究对象进行受力分析,画出受力示意图.(2)确定向心力,求出所有力的合力就是向心力.有时利用正交分解法,求得的沿半径方向的合力就是向心力.(3)根据表达式Fn==mω2r=mvω=man列出方程.(4)解方程求出结果.\n【特别提醒】在解决匀速圆周运动问题的过程中,准确确定向心力,确定物体圆形轨道所在的平面,明确圆心和半径是解题的关键.\n【典例2】长为L的细线,拴一质量为m的小球,细线上端固定,让小球在水平面内做匀速圆周运动,如图所示,求细线与竖直方向成θ角时：(1)细线中的拉力大小；(2)小球运动的线速度的大小.\n【解题探究】(1)小球的受力特点:①小球仅受_____和_____作用;②小球做圆周运动的向心力由__________________提供.(2)小球做圆周运动的圆心位置在哪?半径多大?提示:小球做圆周运动的圆心在小球所在的水平面内,位于细线悬点的正下方.圆半径r=Lsinθ.重力弹力重力和弹力的合力\n【标准解答】(1)小球受重力及绳子的拉力两力作用,如图所示,竖直方向FTcosθ=mg,故拉力FT=(2)小球做圆周运动的半径r=Lsinθ,向心力Fn=FTsinθ=mgtanθ,而Fn=故小球的线速度v=答案：(1)(2)\n【总结提升】处理匀速圆周运动问题的基本原则(1)明白向心力的来源,即什么力来提供向心力,大小等于多少；(2)准确确定圆周运动的圆心位置、半径大小；(3)熟记向心力公式的各种表达式,在不同的情况下选用不同的表达式解题.\n【变式训练】如图所示,“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等,通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上.不考虑空气阻力的影响,当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时,下列说法正确的是()A.A的速度比B的大B.A与B的向心加速度大小相等C.悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等D.悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小\n【解析】选D.在转动过程中,A、B两座椅的角速度相等,但由于B座椅的半径比较大,故B座椅的速度比较大,向心加速度也比较大,A、B项错误;A、B两座椅所需向心力不等,而重力相同,故缆绳与竖直方向的夹角不等,C项错误;根据F=mω2r判断A座椅的向心力较小,所受拉力也较小,D项正确.\n【变式备选】一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直水平面,圆锥筒固定,有质量相同的小球A和B沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动,如图所示,A的运动半径较大,则()A.A球的角速度必小于B球的角速度B.A球的线速度必小于B球的线速度C.A球的运动周期必大于B球的运动周期D.A球对筒壁的压力必大于B球对筒壁的压力\n【解析】选A、C.两个小球均受到重力mg和筒壁对它的弹力FN的作用,其合力必定在水平面内时刻指向圆心.由图可知,筒壁对球的弹力FN=向心力Fn=mgcotθ,其中θ为圆锥顶角的一半.对于A、B两球,因质量相等,θ角也相等,所以A、B两小球受到筒壁的弹力大小相等,A、B两小球对筒壁的压力大小相等,D错误.由牛顿第二定律知,mgcotθ==mω2r所以,小球的线速度v=角速度ω=周期T=由此可见,小球A的线速度必定大于小球B的线速度,B错误.小球A的角速度必小于小球B的角速度,小球A的周期必大于小球B的周期,A、C正确.\n三变速圆周运动和一般曲线运动的处理方法1.变速圆周运动：(1)定义：速率大小发生变化的圆周运动.(2)受力特点：变速圆周运动中的合外力并不指向圆心,合力F可以分解为互相垂直的两个力：\n(3)向心加速度、向心力公式仍适用：变速圆周运动中,某一点的向心加速度和向心力仍可用an==ω2r,Fn==mω2r公式求解,只不过v、ω都是指那一点的瞬时速度.2.一般曲线运动的处理方法：一段曲线运动轨迹可以分割成许多不同半径的极短一小段圆弧,这样一般曲线运动可以采用圆周运动的分析方法.\n【特别提醒】变速圆周运动中合力不再与速度垂直,若合力与速度的方向夹角为θ,则当θ<90°时线速度变大；θ>90°时,线速度减小.\n【典例3】一般的曲线运动可以分成很多小段,每小段都可以看成圆周运动的一部分,即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替.如图甲所示,曲线上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆,在极限情况下,这个圆就叫做A点的曲率圆,其半径ρ叫做A点的曲率半径.现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出,如图乙所示.则在其轨迹最高点P处的曲率半径是()\n\n【解题探究】(1)斜上抛运动通常可以看作是哪两种运动的合运动？提示：斜上抛运动通常可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直上抛运动.(2)物体到达最高点P时具有什么特点？①受力特点：_____________；②运动特点：_______________.只受重力作用速度沿水平方向\n【标准解答】选C.物体做斜上抛运动,最高点速度即为斜上抛的水平速度vP=v0cosα,最高点重力提供向心力mg=由两式得\n【变式训练】如图所示,一小球用细绳悬挂于O点,将其拉离竖直位置一个角度后释放,则小球以O点为圆心做圆周运动,运动中小球所需的向心力是()A.绳的拉力B.重力和绳的拉力的合力C.重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力D.绳的拉力和重力沿绳方向的合力\n【解析】选C、D.小球仅受重力和绳子拉力作用,向心力是指向圆心方向的合力.因此,它可以是小球所受合力沿绳方向的分力,也可以是各力沿绳方向的分力的合力,故C、D正确.\n【典例】小球A和B用细线连接,可以在光滑的水平杆上无摩擦地滑动,已知它们的质量之比m1∶m2=3∶1,当这一装置绕着竖直轴做匀速转动且A、B两球与水平杆达到相对静止时,如图所示,A、B两球做匀速圆周运动的()A.线速度大小相等B.角速度相等C.向心力的大小之比为F1∶F2=3∶1D.半径之比为r1∶r2=1∶3\n【标准解答】选B、D.当两小球随轴转动达到稳定状态时,把它们联系在一起的同一根细线为A、B两小球提供的向心力大小相等;同轴转动的角速度相等;两小球的圆周轨道半径之和为细线的长度;两小球的线速度与各自的轨道半径成正比.v=ωr,m1ωr1=m2ωr2,r1∶r2=m2∶m1=1∶3,F1∶F2=1∶1,故B、D正确.\n匀速圆周运动和变速圆周运动的区别1.从速度的角度看:匀速圆周运动的线速度大小不变,方向不断变化;变速圆周运动的线速度大小、方向都变化.2.从加速度的角度看:匀速圆周运动中只有向心加速度,向心加速度表示速度方向变化的快慢;变速圆周运动中既有向心加速度又有切向加速度,向心加速度表示速度方向变化的快慢,切向加速度表示速度大小变化的快慢.3.从受力情况看:匀速圆周运动中,合力全部用来提供向心力,合力指向圆心;变速圆周运动中,合力沿着半径方向的分量提供向心力,合力通常不指向圆心.\n【案例展示】如图所示,长为L的悬线固定在O点,在O点正下方有一钉子C,OC距离为把悬线另一端的小球m拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放,小球运动到悬点正下方时悬线碰到钉子,则小球的()A.线速度突然增大为原来的2倍B.角速度突然增大为原来的2倍C.向心加速度突然增大为原来的2倍D.悬线拉力突然增大为原来的2倍\n【标准解答】选B、C.悬线与钉子碰撞前后,线的拉力始终与小球运动方向垂直,小球的线速度不变,A错；当半径减小时,由ω=知ω变大为原来的2倍,B对；再由an＝知向心加速度突然增大为原来的2倍,C对；而在最低点F-mg=故碰到钉子后合力变为原来的2倍,悬线拉力变大,但不是原来的2倍,D错.\n【易错分析】本题常见错误选项及错误原因分析如下易错选项错误原因A误认为悬线碰到钉子时,小球的速度会发生突变,出错原因是对力的作用效果认识不够.碰撞前后,小球水平方向上不受力,水平方向上的运动状态不变D没有认真审题,将悬线的拉力误认为是小球的合力\n1.(基础理论辨析题)下列关于向心力的说法中,正确的是()A．做圆周运动的物体受到一个向心力的作用B．做匀速圆周运动物体所受的合外力提供向心力C．匀速圆周运动的向心力是恒力D．匀速圆周运动向心力的大小一直在变化E.向心加速度决定向心力的大小F.向心力只改变物体运动的方向\n【解析】选B、F.向心力是效果力,它可以由某种性质的力或其分力充当,也可以由几个性质力的合力提供,受力分析时不分析向心力,A错.匀速圆周运动物体所受的合外力等于向心力,B对.匀速圆周运动的向心力大小不变,方向时刻改变,C、D错.向心加速度的大小由向心力决定,E错.向心力只改变线速度的方向,不改变其大小,F对.\n2.如图所示,小物体A与圆盘保持相对静止,跟着圆盘一起做匀速圆周运动,则A的受力情况是()A.受重力、支持力B.受重力、支持力和指向圆心的摩擦力C.重力、支持力、向心力、摩擦力D.受重力、支持力和与运动方向相反的摩擦力\n【解析】选B.物体A在水平圆盘上,受重力竖直向下,支持力竖直向上,且两力是一对平衡力,若只在两力作用下物体不可能做匀速圆周运动,A错;由于A随圆盘一起做匀速圆周运动,必须有力提供向心力,重力与支持力相互抵消,A受到摩擦力作用,且此摩擦力方向指向圆心,大小等于A所需的向心力,故B正确、D错误;向心力是效果力,不是物体实际受到的力,C错误.\n3.物体做匀速圆周运动时,关于受力情况,以下说法中正确的是()A.必须受到恒力的作用B.物体所受合力必须等于零C.物体所受合力大小可能变化D.物体所受合力大小不变,方向不断改变【解析】选D.当物体所受合力等于零时,物体将保持静止状态或匀速直线运动状态.当物体受到恒力时,物体将做匀变速运动.物体做匀速圆周运动时,所受合外力大小不变,方向始终沿着半径方向(或垂直于速度方向).\n4.如图所示,天车下吊着两个质量都是m的工件A和B,系A的吊绳较短,系B的吊绳较长.若天车运动到P处突然停止,则两吊绳所受的拉力FA和FB的大小关系为()A.FA>FBB.FA<FBC.FA=FB=mgD.FA=FB>mg\n【解析】选A.设天车原来的速度大小为v,天车突然停止运动,A、B工件都处于圆周运动的最低点,线速度均为v.由于F-mg=故拉力F=mg+又由于rA<rB,所以FA>FB,A正确.\n5.一位链球运动员在水平面内旋转质量为4kg的链球,链球每1s转一圈,转动半径为1.5m,求:(1)链球的线速度;(2)链球做圆周运动需要的向心力.\n【解析】(1)链球的角速度ω=故线速度v=rω==3πm/s=9.42m/s(2)根据向心力公式F=可得F==236.6N答案：(1)9.42m/s(2)236.6N
