简谐运动\n1.弹簧振子：把一个有孔的小球装在弹簧的一端,弹簧的另一端固定,小球穿在________杆上,能够自由滑动,两者之间的摩擦可以忽略,弹簧的质量与小球相比________忽略.把小球拉向右方,然后放开,它就左右运动起来,这样的系统称为弹簧振子.小球原来静止时的位置叫做________.2．振动：小球在平衡位置附近的________运动,是一种机械振动,简称________.\n3．简谐运动：如果质点的位移与时间的关系遵从________的规律,即它的振动图象(x－t图象)是一条________曲线,这样的振动叫做简谐运动.________的运动就是简谐运动.4．正弦函数的一般形式是y＝________.\n答案：1．光滑的 也可以 平衡位置2．往复 振动3．正弦函数 正弦 弹簧振子4．Asin(ωx＋φ)\n知识点1弹簧振子(1)弹簧振子弹簧振子是指小球和弹簧所组成的系统,这是一种理想化模型.如图11－1－1甲、乙所示装置,如果球与杆之间的摩擦可以忽略,且弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略,则该装置为弹簧振子.\n图11－1－1\n特点：①表现在构造上,是用一根没有质量的弹簧一端固定,另一端连接一个质点；②表现在运动上,没有任何摩擦和介质阻力.\n(2)平衡位置振动物体静止时的位置,叫平衡位置.(3)机械振动物体(或物体的一部分)在平衡位置附近的往复运动,叫机械振动,简称振动.注意：①物体振动时,轨迹可以是直线,也可以是曲线；②物体振动时,位移是指平衡位置到物体所在位置的有向线段的长度.\n【例1】关于机械振动的位移和平衡位置,以下说法中正确的是()A．平衡位置就是物体振动范围的中心位置B．机械振动的位移总是以平衡位置为起点的位移C．机械振动的物体运动的路程越大,发生的位移也越大D．机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移【答案】B\n【解析】平衡位置是物体可以静止时的位置,所以应与受力有关,与是否为振动范围的中心位置无关.如乒乓球竖直落在台上的运动是一个机械振动,显然其运动过程的中心位置应在台面上,所以A不正确；振动位移是以平衡位置为初始点,到质点所在位置的有向线段,振动位移随时间而变,振子偏离平衡位置最远时,振动物体振动位移最大,所以只有选项B正确.【思维点悟】位移和平衡位置是机械振动问题中非常重要的概念.位移的正负方向应该做出规定,平衡位置则是物体静止时所在的位置.\n知识点2弹簧振子的位移—时间图象(1)图象的建立：用横坐标表示振动物体运动的时间t,纵坐标表示振动物体运动过程中对平衡位置的位移x,建立坐标系,如图11－1－2所示.图11－1－2\n(2)图象意义：反映了振动物体相对于平衡位置的位移x随时间t变化的规律.(3)振动位移：通常以平衡位置为位移起点,所以振动位移的方向总是背离平衡位置的.如图11－1－2所示,在x－t图象中,某时刻质点位置在t轴上方,表示位移为正(如图中t1、t2时刻),某时刻质点位置在t轴下方,表示位移为负(如图中t3、t4时刻).(4)简谐运动的周期性,体现在振动图象上是曲线的重复性.\n注意：简谐运动是一种复杂的变速运动.但运动的特点具有周期性和对称性,所以用图象研究比用方程要直观、简便.任一时刻图线上过该点切线的斜率数值代表该时刻振子的速度大小,斜率正负表示速度的方向,斜率为正表示速度沿x轴正向,斜率为负表示速度沿x轴负向.如图11－1－3所示t1时刻斜率为负,表示速度沿x轴负向,t2时刻斜率为正,表示速度沿x轴正向.\n图11－1－3\n【例2】如图11－1－4甲所示为一弹簧振子的振动图象,规定向右的方向为正方向,试根据图象分析以下问题：图11－1－4\n(1)如图11－1－4甲所示的振子振动的起始位置是________,从初始位置开始,振子向________(填“右”或“左”)运动.(2)在图11－1－4乙中,找出图象中的O、A、B、C、D各对应振动过程中的哪个位置？即O对应________,A对应________,B对应________,C对应________,D对应________.(3)在t＝2s时,振子的速度的方向与t＝0时速度的方向________.(4)质点在前4s内的位移等于________.\n【答案】(1)平衡位置O右(2)EGEFE(3)相反(4)0【解析】由图象可知,起始位置位移为零,而位移是指由平衡位置指向振子所在位置的有向线段的长度,故起始位置应在平衡位置；O、B、D点位移为零,对应平衡位置E,A点为正向最大位移,对应位置为G,C点为负向最大位移,对应位置为F；t＝0时,切线斜率为正,说明振子向正方向运动,t＝2s时,切线斜率为负,说明振子向负方向运动,则两时刻速度方向相反；振子从平衡位置运动4s,恰好又回到平衡位置,故位移为零.\n【思维点悟】振子的位移—时间图象反映了振子相对于平衡位置x随时间t的变化,具有周期性；另外要注意图象不是振子的运动轨迹,要学会结合图象处理实际模型问题.\n知识点3简谐运动及其图象(1)如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律,即它的振动图象(x－t图象)是一条正弦曲线,这样的振动叫做简谐运动.(2)简谐运动是最简单、最基本的振动,其运动过程关于平衡位置对称.(3)弹簧振子的振动是简谐运动.(4)振动图象的应用：心电图仪、地震曲线绘制装置等.\n【例3】如图11－1－5所示是某质点做简谐运动的图象,根据图象中的信息,回答下列问题：图11－1－5\n(1)质点离开平衡位置的最大距离有多大？(2)在1.5s和2.5s两个时刻,质点向哪个方向运动？(3)质点在第2s末的位移是多少？在前4s内的路程是多少？【答案】(1)10cm(2)向平衡位置运动 背离平衡位置运动(3)040cm\n【解析】由图象上的信息,结合质点的振动过程可作出以下回答：(1)质点离开平衡位置的最大距离就是x的最大值10cm；(2)在1.5s以后的时间质点位移减少,因此是向平衡位置运动,在2.5s以后的时间位移增大,因此是背离平衡位置运动；(3)质点在2s时在平衡位置,因此位移为零.质点在前4s内完成一个周期性运动,其路程10×4cm＝40cm.\n【思维点悟】分析此类问题时,首先要理解好图象与振动的物体的实际振动过程的对应,然后才能正确地做出解答.\n对应练习1．一弹簧振子沿x轴振动,振幅为4cm,振子的平衡位置位于x轴上的0点.如图11－1－6所示中的a、b、c、d为四个不同的振动状态,黑点表示振子的位置,黑点上的箭头表示运动的方向.如图11－1－7给出的①②③④四条振动曲线,可用于表示振子的振动图象的是()图11－1－6\n图11－1－7\nA．若规定状态a时t＝0,则图象为①B．若规定状态b时t＝0,则图象为②C．若规定状态c时t＝0,则图象为③D．若规定状态d时t＝0,则图象为④\n解析：振子在状态a时t＝0,此时的位移为3cm,且向规定的正方向运动,故选项A正确；振子在状态b时t＝0,此时的位移为2cm,且向规定的负方向运动,相应的图中初始位置不对.振子在状态c时t＝0,此时的位移为－2cm,且向规定的负方向运动,相应的图中运动方向及初始位移均不对.振子在状态d时t＝0,此时的位移为－4cm,速度为零,故选项D正确.答案：A、D\n1.理解简谐运动的对称性如图11－1－8所示,物体在A与B间运动,O点为平衡位置,C和D两点关于O点对称,则有：11－1－8\n(1)时间的对称：tOD＝tDO＝tOC＝tCO,tDB＝tBD＝tAC＝tCA.(2)速度的对称：①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等,方向相反；②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)的速度大小相等,方向可能相同,也可能相反.\n【例4】一质点做简谐运动的图象如图11－1－9所示,下列说法正确的是()图11－1－9\nA．质点振动频率是4HzB．在10s内质点经过的路程是20cmC．第4s末质点的速度为零D．在t＝1s和t＝3s两时刻,质点位移大小相等、方向相同【答案】B\n\n2．关于振动图象的讨论简谐运动的图象不是振动质点的轨迹.做简谐运动的质点其轨迹是质点往复运动的那一段线段(如弹簧振子)或那一段圆弧(如第4节的单摆).而简图11－1－10\n谐运动的位移—时间图象,就是以x轴上纵坐标的数值表示质点对平衡位置的位移,以t轴横坐标数值表示各个时刻,这样在x－t坐标系内,可以找到各个时刻对应质点位移坐标的点,即位移随时间分布的情况——振动图象.例如在图11－1－10中P1的坐标是(t1,x1)并不表示t1时刻质点在P1点,而是表示在t1时刻质点离开平衡位置在正方向上的位移是x1,所以振动图象并不是质点的运动轨迹.\n图象可以表示各种情况下物理量之间的关系.图象可以利用物理量间的函数关系直接画出来,也可以利用描点法,通过实验数据画出来.振动图象也可以用在振动物体上固定一个记录装置的办法画出.由图象,我们可以直接观察出振子的最大位移和周期及某时刻振子所处的位置.\n【例5】如图11－1－11所示为某物体做简谐运动的图象,下列说法中正确的是()图11－1－11\nA．由P→Q位移在增大B．由P→Q速度在增大C．由M→N位移是先减小后增大D．由M→N位移始终减小【答案】A、C【解析】物体经过平衡位置向正方向运动,先后经过P、Q两点,故位移增大,速度减小；物体从正方向最大位移处向负方向运动,先后经过M、N两点,且N点在平衡位置另一侧,故从M→N位移先减小后增大.
