第七讲第七讲多笔画问题知识站牌五年级暑假四年级秋季棋盘中的数学操作类智巧趣题三年级秋季多笔画问题二年级秋季一笔画游戏一年级秋季火柴棒游戏通过一笔画问题引出多笔画问题，能够将多笔画与一笔画进行转换，利用多笔画和一笔画之间的转换解生活中出现的问题，可培养学生处理问题的能力。漫画释义第5级下优秀A版教师版1\n课堂引入同学们，试试下面的简笔画可以一笔画出吗？能一笔画出的图形有什么共同特点？教学目标1.会判断图形是否可以一笔画2.学会将多笔画问题转化成一笔画问题3.学会将实物图转化成简笔画（即点线图），进而转化成一笔画问题来解决经典精讲一笔画，是指从图的一点出发，笔不离纸，走过每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复.我们在过去学过如何判断一个几何图形能否一笔画的法则——欧拉定理：2第5级下优秀A版教师版\n第七讲首先，判断该几何图形是不是连通图.所谓连通图是指某个几何图形上任意两点间都有一条通路.能一笔画的图必须是连通图，但一个图形是连通图，不一定能一笔画；然后，判断该几何图中的每一个点是奇点还是偶点，并计算奇点个数.当奇点个数为0个或2个时，该图形即可一笔画成.具体来说：（1）当图形有0个奇点时，可以从任意一个偶点出发，一笔画后再回到出发的那个偶点；（2）当图形有2个奇点时，可以从其中一个奇点出发，经过一笔画后到达另一个奇点.几个重要的解题要点：1、连通图中的奇点个数必为偶数：当有2n个奇点时，这个图形最少要用n笔画成；2、将不能一笔画成的图形改造成一笔画的图形的方法主要有两个：（1）加边；（2）去边.无论是加边还是去边，其基本思想都是减少奇点个数至0个或2个；3、我们会遇到许多应用型问题，这些问题中给出的图形未必是几何中的图形，在应用一笔画判定法则之前，需先将其转化成几何中的图，即只由点和线构成，其中的线表示可通过的路径.例题思路例1：一笔画问题例2：多笔画问题例3：将多笔画转化成一笔画问题例4：七桥问题例5：解决实际问题例1判断下列各图中，哪些图形可以一笔画出，哪些不能一笔画出？能一笔画出的，请用一笔把它们画出来．(1)(2)(3)第5级下优秀A版教师版3\n(5)(6)［分析］图⑵、⑶所有点都是偶点，可以一笔画，图⑴、⑹中只有两个奇点，也可以一笔画，画法如下：(1)图⑷中有6个奇点，图⑸是非连通图，所以图⑷、图⑸不能一笔画．【对应学案】［学案1］［拓展］判断下列各图能否一笔画？BAEADGBHFFHFENICMACBGCDDE图a图b图c［分析］图a中九个点全是偶点，因此可以一笔画，其中一种画法为：AFBGCHDEHIFGIEA．图b中ABC、、、D四个点均为奇点，故不可以一笔画．图c中，只有A，C为奇点，故可一笔画．其中一种画法为：ADECHNGMFABC．［拓展］下图中的三个图形哪个图形能一笔画，为什么？请把能一笔画出的图形的画法用字母和箭头表示出来？ABABCDABCDCGFEDHGFEHGFE①②③［分析］图①能一笔画，因为该图中所有的点全是偶点．它的一个画法是：ABCDEFGEBGA．4第5级下优秀A版教师版\n第七讲图②能一笔画，因为该图中只有两个奇点．它的一个画法是：CDEFGHABGCBF图③不能一笔画，因为该图中奇点的个数超过两个．例2请你看图填写下表．①②③④⑤⑥图①②③④⑤⑥奇点数最少笔画数【分析】奇点的个数与笔画数的关系可列如下表．图①②③④⑤⑥奇点数446688最少笔画数223344［想想练练］观察下面的图，看各至少用几笔画成？AHGIBFCDE()(2)(1)(2)(3)［分析］⑴图中有8个奇点，因此需用4笔画成．⑵图中有12个奇点，需6笔画成．⑶图是无奇点的连通图，可一笔画成．【对应学案】［学案2］［巩固］下列各图至少要用几笔画完？第5级下优秀A版教师版5\n(1)(2)(3)(4)(5)(6)［分析］⑴4笔⑵4笔⑶2笔⑷1笔⑸1笔⑹1笔欧拉，瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了47年。欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作：他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。即使在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。欧拉永远是我们可敬的老师。欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。19世纪伟大的数学家高斯（Gauss，1777-1855）曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f(x)等等，至今沿用。欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题，还解决了使牛顿头痛的月离问题。对著名的“哥尼斯堡七桥问题”的完美解答开创了“图论”的研究。欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总有关系V+F-E=2，此式称为欧拉公式。V+F-E即欧拉示性数，已成为“拓扑学”的基础概念。例3在下列的各个图中，加一条线或去一条线后，一笔画出每个图形．6第5级下优秀A版教师版\n第七讲【分析】本题四个图形均各有四个奇点，为了把图形变成能够一笔画成，必须设法减去奇点个数，使奇点个数变为两个．为此，可以添加(或去掉)这样一条连接两奇点的曲线，使这条曲线两端连接的两个奇点全变成偶点．由以上分析，可行的操作方法具体如下图所示:⑴去掉一条线：⑵添加一条线：⑶去掉一条线：(4)添加一条线：（答案不唯一）［想想练练］判断下面的图能否一笔画成；若不能，你能用什么方法把它改成一笔画？ADBC［分析］图中共有4个奇点，因此，显然无法一笔画成.要想改为一笔画，关键在于减少奇点的数目(把奇点的个数减少到0或2)，具体方法有两种：⑴去边.即将多余的两奇点间的边去掉.⑵添边.即在多余的两奇点间添上一条边.本题中，可以在奇点AC、间添上边AC.添边的方法适用于任意多笔画的图.ADADBCBC(1)(2)【对应学案】［学案3］［巩固］判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法，若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形．第5级下优秀A版教师版7\nAHGGHBFAFIIJBKLECDECD图a图b［分析］图a：原图有四个奇点，所以不能一笔画，在BD,两点之间加一条线后，图中只有两个奇点，故可以一笔画出，如图d所示(答案不唯一)．画法：HABCDEFIDBIHGF图b：原图有四个奇点，所以不能用一笔画．去掉K、L两点之间的连线，图中只有两个奇点，故可以一笔画出，如图e所示(答案不唯一)．画法：BCDEFJHGIABKIJLE注意：ab、两个图都是连通的图形，但由于每个图的奇点个数均超过两个，所以都不能一笔画．HAGGHIBFAIJFBEKLECDCD图d图e［拓展］图中不能一笔画的图形能改成一笔画吗？如能，请你把图(b)、(c)、(d)改成一笔画［分析］可以改成一笔画，关键是把奇点的个数减少到2个，办法是在两个奇点之间加一条线．加线的方法是比较多的，只要是在两个奇点之间加线，斜线、折线都可以．答案如图：例418世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A和一座半岛D，人们在这里建了一座公园，公园中有8第5级下优秀A版教师版\n第七讲七座桥把河两岸和两个岛连接起来(如图a)．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功？这个有趣的问题引起了著名数学家欧拉的注意，他证明了七桥问题中提到的走法根本不存在．下面，我们考虑如下两个问题：⑴如果再架一座桥，游人能否走遍所有这八座桥？若能，这座桥应架在何处？若不能，请说明理由．⑵架设几座桥可以使游人走遍所有的桥回到出发地？【分析】⑴图a中，用A，D表示两个小岛，点B，C表示河的左右两岸，若用连接两点的线表示桥，从而得到一个由四个点和七条线组成的图形．在图a中，点ABC、、、D四个点均为奇点，显然不能一笔画出这个图形．若将其中的两个奇点改成偶点，即在某两个奇点之间连一条线，这样奇点个数由四个变为两个，此时，图形可以一笔画出．如我们可以选择奇点BD、，在BD、，之间连一条线(架一座桥)，如图b．在图b中只有点A和C两个奇点，那么我们可以以A为起点，C为终点将图形一笔画出．其中一种画法为：ACABADBDC．所以，如果在河岸B与小岛D之间架一座桥，游人就可以不重复地走遍所有的桥．⑵在⑴的基础上，再在另外两个奇点A与C之间连一条线(即架一座桥)，使这两个奇点也变成偶点，如图c．那么ABC、、、D四个点均为偶点，所以图c可以一笔画出，并且可以以任意点为起点，最后仍回到这个点．其中一种画法为：ACACDABDBA．这表明：在河岸B与半岛D之间架一座桥后，再在小岛A与河岸C之间架一座桥，共架设两座桥，就可以使游人不重复地走遍所有的桥并回到出发地．CCCAAADDDBBB图a图b图c例5一个邮递员投递信件要走的街道如下图所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局．怎样走才能使所走的行程最短？全程多少千米？第5级下优秀A版教师版9\n［分析］图中共有8个奇点，必须在8个奇点间添加4条线，才能消除所有奇点，成为能从邮局出发最后返回邮局的一笔画．在距离最近的两个奇点间添加一条连线，如左下图中虚线所示，共添加4条连线，这4条连线表示要重复走的路，显然，这样重复走的路程最短，全程30千米．走法参考右下图(走法不唯一)．[想想练练]农技站有一块试验田（如图），用纵横田埂划分成九个农作物实验区，农技员从A处进入后能不能不走重复的路，把试验田的田埂走一遍？若不能，请找出一条走重复路线最少的路径来．△△△△△△A△△［分析］农技员从A处去试验田，然后还要回到A处，就是图中起点和终点都为A点，如果要想不重复地走遍试验田的田埂，途经的各点必须全都是偶顶点，但图中△处共有8个奇顶点，显然不重复地走遍全部田埂是不可能的．图中有8个奇顶点，农技员从A处进入，A处出来，要走遍所有田埂，必须走4段重复路，由此得出走遍全部田埂的四种方案，如下图．可见图①就是重复路线最少的路径．△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△AAAA△△△△△△△△①②③④10第5级下优秀A版教师版\n第七讲【对应学案】［学案4］［巩固］下图是某小区的街道分布图，街道长度如图所示(单位：公里)，图中各字母表示不同楼的代号．一辆垃圾清扫车从垃圾站(垃圾站位于C楼与D楼之间的P处)出发要清扫完所有街道后仍回到垃圾站，问怎样走路线最短，最短路线是多少公里？M1L2H4G2F3ABCPDE［分析］要求最短路线，根据一笔画原理，我们知道一笔画路线就是最短路线．本题要求清扫车从P点出发，仍回到P点．通过观察上图可知，图中有六个奇点，根据一笔画规律可知，清扫车想清扫完所有街道而又不走重复的路是不可能的．要使清扫车从P点出发，最后仍回到P点，就必须把图中所有的奇点都变成偶点，即在两奇点之间添加一条线．在实际问题中，就是清扫车在哪些街道上重复走的问题，由于每条街道的长度不同，因此需要我们考虑清扫车重复走哪条街道才使总路线最短．为使六个奇点都变成偶点，我们可以有下图中的四种方法表示清扫车所走的重复路线，其中填虚线的地方表示的是重复路线．重复的路程分别为：图a：2237，图b：34211，图ｃ：339，图d：36215．显然，重复走的路线最短，总路程就最短．从上述计算中就可找到最短路线图，即下面四个图中的图a．M1L2H4G2FM1L2H4G2F33ABCPDEABCPDE图a图bM1L2H4G2FM1LHGF24233ABCPDEABCPDE图c图d在图a中，所有点均为偶点，是一笔画图形．清扫车可按如下路径走：PDGDEFGHLHCBL，MABCP全程为：(1242)23522340(公里)．［巩固］下图的每条线都表示一条街道，线上的数字表示这条街道的千米数．邮车从邮局出发，要第5级下优秀A版教师版11\n走遍各条街道，最后回到邮局．问：邮车应怎样走，路线才最合理?20邮局31514［分析］邮车走的路程最短，路线就最合理．邮车从邮局出发回到邮局，没有奇数点是最理想的．但是利用一笔画的知识去分析图，我们发现图中一共有8个奇数点，所以邮车一定会重复走某些路线．根据多笔画改为一笔画的方法可知：重复走的路线的端点一定为奇数点．这样，我们就从8个奇数点中选择最短的那些路线作为重复路线．如下图(图中弧线为重复行走的路线)．当邮车按此路线行走时，重复的路程最短，全程共走了206(31514)2141202841484152(千米)．其中“148千米为所有街道的总长，“4千米”为重复走的路线．邮局［拓展］一只木箱的长、宽、高分别是5、4、3厘米(如图)，有一只甲虫从A点出发沿棱爬行，每条棱不允许重复，则甲虫回到A点时，最多能爬行多少厘米？345【分析】图中有8个点是奇点，故至少要少爬4条棱．少爬3厘米的棱和4厘米的棱各两条是最合理的，（如图）最多爬行34厘米．杯赛提高右图是某博物馆的平面图，相邻两个展厅之间有一扇门相通，每一个展厅都有一门通往馆外．问参观者能否不重复地一次穿过每一扇门？若能，请找出一条可行路径，若不能，请说明理由．如果允许关闭某一扇门，问参观者能否不重复地穿过每一扇开着的门？（出发点未必在博物馆外）12第5级下优秀A版教师版\n第七讲FABFFCDEF【分析】我们把展厅ABCDE，，，，及馆外F看成某个图中的点，把两个展厅之间的门看作是连接表示这两个展厅的点的线．根据题中条件知，馆外F与ABCDE，，，，各展厅相通，这样将点F与点ABC、、、DE、用线连接，展厅A与展厅BC、、D相通，将点A与点BC、、D用线连接，展厅B除与A相通外，它还与DE，展厅相通，将B与DE，连接，除此之外，展厅CD，相通，展厅DE，相通，将点CD，连接，再将点DE，连接(如图a)．于是本题要解决的问题就变成了能否将图a一笔画的问题．可以看出：图a中共有六个点，其中有四个奇点，它们分别为CDEF，，，，由一笔画的规律可知，图a不能一笔画．也就是说，参观者不能够不重复地一次穿过每一扇门．如果允许关闭某一扇门，这相当于在图a中去掉一条线，那么参观者就有可能不重复地一次穿过每一扇门．我们知道，在图a中有四个奇点CDEF，，，，为了把图a改成一笔画图形，我们设法减少奇点个数，使奇点数变为两个．为此，我们可以去掉一条连接两个奇点的线，如去掉E与F间的连线，相应的图a就变成了图b．在图b中，除了原来的C和D是奇点外，其余点全部是偶点，故图b可以一笔画．其中一种画法为：CFDEBFABDACD．BBEEFFAADDCC图a图b上面的分析表明，如果关闭连接E、F两展厅之间的门，参观者就可以不重复地一次穿过每一扇开着的门．本题与七桥问题类似，只是将行人过桥换成了参观者穿过每一扇门．我们将这个问题转化为一笔画问题来研究．第5级下优秀A版教师版13\n三兄弟从剧场回家，走到电车站，准备一有车来就跳上去。可是，车子一直没有露面。哥哥的意见是等着。“干嘛在这儿等着，”老二说，“还不如往前走呢！等车赶上咱们再跳上去，等的时间已经可以走出一段路程了，这样可以早点到家。”“要是走，”弟弟反对说，“那就不要往前走，而往后走，这样我们就可更快地遇到迎面开来的车子，咱们也就可以早点到家。”兄弟三人谁也不能说服别人，只好各走各的：大哥留在车站等车，老二顺着车行方向向前走去；弟弟则向后走去。哥儿三个谁先回到家里？谁做的最聪明？【分析】弟弟向后走了一会儿，就看见迎面驶来的电车，跳了上去。这辆车驶到大哥等车的车站，大哥跳了上来。过了不久，这辆车赶上了二弟，也让他上了车。兄弟三人都坐在同一辆车上，当然也是同时回到家里。可是最聪明的是大哥，他安逸地留在原站上等着，比两个弟弟少走了一段路。附加题1．数一数，填一填．①②③④⑤⑥图①②③④⑤⑥奇点数偶点数14第5级下优秀A版教师版\n第七讲［分析］图①中有2个奇点，2个偶点．图②中有8个奇点，4个偶点．图③中有4个奇点，4个偶点．图④中有2个奇点，3个偶点．图⑤中有2个奇点，6个偶点．图⑥中有2个奇点，4个偶点．2．图中的线段代表小路，请你考虑一下，能够不重复地爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎样爬？甲甲乙乙［分析］这个问题实际是从甲点或乙点出发能否一笔画的问题，观察图知：甲点是奇点，乙点是偶点．根据一笔画的原理，必须以一个奇点为起点，而另一个奇点为终点，才能将此图一笔画成．因此，能够不重复爬遍每条小路的是甲蚂蚁，具体走法如图：3．图中的线段代表公园的通道．小宁和小军两人分别站在点A、B两处，他们约定以相同的速度同时从各自所在的位置出发，走遍公园中的每一条小路，最后到达C点．问：谁最先到达C点？BCA【分析】图中只有A和C两个奇点，从A点出发的人可以不重复地走遍每一条路，从B点出发的人至少有一条路要重复走，又因为两人的速度是相同的，所以从A点出发的小宁最先走完．4．园林工人张大伯为花圃浇水，怎样走才能不重复地走遍每条小路？ADBC［分析］因为图中只有A、D两点是奇点，要想一次不重复地走过，应将入口设在奇点上，所以张大伯可以由A点或D点进入．第5级下优秀A版教师版15\n5．图中是一个公园的道路平面图，要使游客走遍每一条路且不重复，则出、入口应在哪里？IAHBGFCDE［分析］这道题实际上是一笔画问题，先找出图中奇点和偶点的个数，然后按照一笔画原理确定出口和入口的位置．图中有A、B、C、D、E、F、G、H、I九个点，其中D和F两个点是奇点，其余的点是偶点，这样入口设在D点，出口设在F点，或入口设在F点，出口设在D点．6．某展览馆的平面图如图所示，参观者能否无重复地穿过展室的每一扇门？如果能的话，他应该选择从哪个展室开始参观？［分析］关键问题是将展览馆的平面图化为一笔画图形．将各展室和馆外看做一个个的点，将展厅的每扇门与各点的联系看做线段，判断图中奇顶点的个数．此图有两个奇顶点，参观者能不重复地穿过各展厅的门，并可选择从D室或E室开始，如从D室开始，路线是：DBFACDABEDFE．7．下图中A，B，C，D是4个防空洞，相邻防空洞之间有地道相通，能否找到一条路线可不重复地走遍所有地道？EABCDABCD【分析】A，B，C，D表示防空洞，地面用字母E表示．两个防空洞有地道相通时，在相应的字母间用线连接，于是问题就转化为能否一笔画的问题．从图中可知，只有B，C两个奇点，此图可以一笔画出：BAEBCDEC．8．如图是某餐厅的平面图，共有五个小厅，相邻两厅之间有门相通，并且设有入口．请问你能否从入口进入一次不重复地穿过所有的门．如果可以，请指明穿行路线，如果不能，应关闭哪个门就可以办到？16第5级下优秀A版教师版\n第七讲［分析］可以将图中的五个小厅以及厅外的部分都抽象成点，为方便解题，给它们分别编号．这时，连通厅与厅之间的门就相当于各点之间的连线．于是题目中餐厅的平面图就抽象成为一个连通的图形，求穿形路线的问题就转化成一笔画的问题．在抽象出的图形中，我们可以找到四个奇点，即①、④、③和厅外，所以图形不能一笔画出也就是说，从入口进入不可能一次不重复的穿过所有的门．但根据一笔画问题的知识，只要关闭B（或A）门，把③、④（或①、④）变为偶点，就可以办到，可行路线如下图：［小结］从一个奇点出发走完全程到另一个奇点结束．9．已知长方体木块的长是80厘米，宽40厘米，高80厘米(如右图)，并且要求蜘蛛在爬行过程中只能前进，不能后退，同一条棱不能爬两次．请问这只蜘蛛最多要爬行多少厘米？GF40HE80DCA80B［分析］图中八个顶点均为奇点，所以不能一笔画，要使其能一笔画，至少要去掉三条棱，使上图只有两个奇点，就可以满足一笔画的条件．长方体的棱长总和一定，(808040)4800(厘米)，因此去掉的三条棱越短，蜘蛛爬过的距离就越远．所以我们去掉三条棱长为40厘米的棱，于是可知，蜘蛛爬行的最远距离为：800403680(厘米)．蜘蛛的爬行路径为：GFCDGHABEH(如右图)．第5级下优秀A版教师版17\nGF40HE80DCA80B注意：这是一个立体图形，它有八个顶点，我们把长方体的棱看作顶点与顶点之间的连线，蜘蛛只能前进不能后退，并且每一条棱不能爬两次，这实质上是一个一笔画问题．10．右图是某地区街道的平面图，图上的数字表示那条街道的长度(单位：千米)．清晨，洒水车从A出发，要洒遍所有的街道，最后再回到A．问：如何设计洒水路线最合理？HGFE12347IJ2K33ABCD［分析］这又是一个最短路线的问题．通过分析可以知道：在洒水路线中，K是奇点，因此必须成为偶点，这样洒水车必须重复走KC这条边(如下左图)．至此，奇点的个数并未减少，仍是6个．容易得出，洒水车必须重复走的路线有：GF、IJ、BC．即洒水路线如下右图．全程453654(千米)．11．有一个城市的街道图是由一些矩形所构成，如下图．一位警察要从A点出发巡逻，行经每一条路段至少一次后回到A点．请问他至少要行走多少米？50m60m70mA300m100m400m【分析】本题实质上是一个一笔画问题，图中有若干个奇数点，奇数点部分都是需要重复经过的地方，也就是我们通过增加连线将奇数点变成偶数，最终一笔将所有路程全部走完．于是这个警察走过的最短路程是：18第5级下优秀A版教师版\n第七讲(300100400506070)460601001004240(米)．50m60m70mA300m100m400m图1知识点总结判断一笔画：（1）当图形有0个奇点时，可以从任意一个偶点出发，一笔画后再回到出发的那个偶点；（2）当图形有2个奇点时，可以从其中一个奇点出发，经过一笔画后到达另一个奇点.几个重要的解题要点：1.连通图中的奇点个数必为偶数：当有2n个奇点时，这个图形最少要用n笔画成；2.将不能一笔画成的图形改造成一笔画的图形的方法主要有两个：（1）加边；（2）去边.无论是加边还是去边，其基本思想都是减少奇点个数至0个或2个；3.我们会遇到许多应用型问题，这些问题中给出的图形未必是几何中的图形，在应用一笔画判定法则之前，需先将其转化成几何中的图，即只由点和线构成，其中的线表示可通过的路径.家庭作业1.图中哪个图能一笔画成？哪个不能一笔画成？BA①②③【分析】图①奇点的个数为4个，超过2个，不能一笔画成，需要2笔才能画成；图②能一笔画成；图③奇点的个数也超过两个，不能一笔画成，需要3笔才能画成．第5级下优秀A版教师版19\n2.请你填一填．至少＿＿＿笔画成至少＿＿＿笔画成至少＿＿＿笔画成至少＿＿＿笔画成【分析】图⑴中有8个奇点，需要4笔画成．图⑵中有8个奇点，需要4笔画成．图⑶中有4个奇点，需要2笔画成．图⑷中有10个奇点，需要5笔画成．3.判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法，若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形．ABEFGHCD【分析】原图有四个奇点，所以不能用一笔画．在BC、两点之间加一条线后，图中只有两个奇点，故可以一笔画出，如图所示画法：AEDHABFCGBCDABEFGHCD图4.下图是儿童乐园的平面图，出入口应设在＿＿＿点或＿＿＿点，才能不重复地走遍每条路？CDAB【分析】由于四个点中，只有A、D两点是奇数点，因此出入口应设在A点或D点．20第5级下优秀A版教师版\n第七讲5.右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个入口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？入口出口［分析］把每个展室看作一个点，整个展厅的外部也看作一个点，两室之间有门相通，可以看作两点之间有线相连．这样，展厅的平面图就转化成b图，一个实际问题也就转化为这个图能否一笔画成的问题了，即能否从A出发，一笔画完此图，最后再回到A．图(b)中，所有的点都是偶点，因此，一定可以以A作为起点和终点而一笔画完此图．即游人可以从入口进，一次不重复地穿过所有的门，最后从出口出来．下面仅给出一种参观路线：AEBCEFCDFA．BCDBCDEFEFAA(a)(b)6.右图中每个小正方形的边长都是100米．小明沿线段从A点到B点，不许走重复路，他最多能走多少米？B［分析］这道题大多数同学都采用试画的方法，实际上可以用一笔画原理求解．首先，图中有8个奇点，在8个奇点之间至少要去掉4条线段，才能使这8个奇点变成偶点；其次，从A点出发到B点，A，B两点必须是奇点，现在A，AB都是偶点，必须在与A，B连接的线段中各去掉1条线段，使A，B成为奇点．所以至少要去掉6条线段，也就是最多能走1800米，走法如图:第5级下优秀A版教师版21\n学案［学案1］图中的图形是否都能一笔画成？如果都能一笔画成，画法上有什么不同？①②③［分析］每个图形都能一笔画成．图①④奇点的个数为0，可以从任意一点起笔，最后与起点重合，即终点与起点重合，图②与图③都有两个奇点，必须从其中一个奇点起笔，最后以另一个奇点为终点，才能一笔画成．［学案2］下图的每一个图形，最少需要几笔画出？［分析］⑴依据前面所得到的结论，“凡是只有两个奇点的图形，一定可以一笔画出”．因为图(a)中只有2个奇点，所以它最少需要一笔画出．图(b)中有4个奇点，它不能一笔画．把图中的(b)和(a)比较，可知(b)比(a)多了一条线段，所以，可先一笔画出(a)，再画多的那条线段，因此可知图(b)最少需要2笔画出．图(c)中有6个奇点，它可在图(b)的基础上再画一笔，所以，图(c)最少需要3笔画出．图(d)中有8个奇点，它可在图(c)的基础上再画一笔，所以，图(d)最少需要4笔画出．⑵根据推得的公式，图(a)中只有2个奇点，所以它最少需要一笔画出；图(b)中有4个奇点，它需要422笔画出；图(c)中有6个奇点，它需要623笔画出；图(d)中有8个奇点，它需要824笔画出．[学案3]将下图改为一笔画．FAEBCD(1)［分析］图⑴中有6个奇点，因此可添上两条(或3条)边后改为一笔画．又因为这个图中，把这6个奇点任意分为3对后，最多只有两对奇点间有边相连，因此，也可去掉两条边后改为一笔画，举例如图⑶～⑹．22第5级下优秀A版教师版\n第七讲图⑵中有4个奇点，因此，可添上两条(或1条)边后改为一笔画，又因为把奇点按A与BC、与D(或A与DB，与C)分为两对后，每对间均有边相连，因此，可去掉两条(或1条)边后改为一笔画．举例如图⑺～⑻．FFAAEEBCDBCD(3)(4)FFAEAEBCDBCD(5)(6)注意：图⑹运用了两种方法，去掉边BC，添上边AE与DF．ABDC(7)(8)［学案4］一辆清洁车清扫街道，每段街道长1公里，清洁车由A出发，走遍所有的街道再回到A．怎样走路程最短，全程多少公里？111111A［分析］清洁车走的路径为：ABCNPBCDEFMNEFG．HOLMHOIJKPLJKA即：清洁车必须至少重复走4段1公里的街道，如图．最短路线全程为28公里．IOHGJLMFKPNEABCD第5级下优秀A版教师版23
