3.9弧长及扇形的面积1．了解扇形的概念，理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用；(重点)2．通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长l＝和扇形面积S扇＝的计算公式，并应用这些公式解决一些问题．(难点) 一、情境导入如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°.你能求出这段铁轨的长度吗(π取3.14)?我们容易看出这段铁轨是圆周长的，所以铁轨的长度l≈＝157(米).如果圆心角是任意的角度，如何计算它所对的弧长呢？二、合作探究探究点一：弧长公式【类型一】求弧长如图，某厂生产横截面直径为7cm的圆柱形罐头盒，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面．为了获得较佳视觉效果，字样在罐头盒侧面所形成的弧的度数为90°，则“蘑菇罐头”字样的长度为( )A.cmB.cmC.cmD．7πcm解析：∵字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，∴此弧所对的圆心角为90°.由题意可得R＝cm，则“蘑菇罐头”字样的长＝＝(cm)．故选B.方法总结：解答本题关键是根据题意得出圆心角及半径，代入弧长公式进行计算．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
【类型二】利用弧长公式求半径或圆心角(1)已知扇形的圆心角为45°，弧长等于，则该扇形的半径是________；(2)如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为________．解析：(1)若设扇形的半径为R，则根据题意，得＝，解得R＝2；(2)根据弧长公式得＝，解得n＝60，故扇形圆心角的大小为60°.故答案分别为2；60°.方法总结：逆用弧长的计算公式可求出相应扇形的圆心角和半径．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题与第4题【类型三】圆的切线与弧长公式的综合如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D.(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)当BC＝4，AB＝8时，求劣弧AC的长．解析：(1)连接BC，由AB是⊙O的直径，根据半圆(或直径)所对的圆周角是直角，可得∠ACB＝90°，又由∠EAC＝∠D，则可得AE是⊙O的切线；(2)首先连接OC，易得∠ABC＝60°，则可得∠AOC＝120°，由弧长公式，即可求得劣弧AC的长．(1)证明：如图，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠BAC＋∠ABC＝90°.又∵∠EAC＝∠D，∠B＝∠D，∴∠BAC＋∠CAE＝90°，即BA⊥AE，∴AE是⊙O的切线；(2)解：如图，连接OC，∵△ABC是直角三角形，∴sin∠BAC＝＝＝，∴∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠AOC＝120°.∴劣弧AC的长＝＝.方法总结：此题考查了切线的判定、圆周角定理以及弧长公式等知识．注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．探究点二：扇形的面积公式【类型一】求扇形面积一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为________(结果保留π)．解析：把圆心角和半径代入扇形面积公式S＝＝＝3π.故答案为3π.方法总结：公式中涉及三个字母，只要知道其中两个，就可以求出第三个．扇形面积还有另外一种求法S＝lr，其中l是弧长，r是半径．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
【类型二】求阴影部分的面积如图，扇形AOB中，半径OA＝2，∠AOB＝120°，C是的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分的面积是( )A.－2B．2π－2C.－D.－解析：连接OC，过O作OM⊥AC于M，∵∠AOB＝120°，C为中点，∴∠AOC＝∠BOC＝60°.∵OA＝OC＝OB＝2，∴△AOC、△BOC是等边三角形，∴AC＝BC＝OA＝2，AM＝1，∴△AOC的边AC上的高OM＝＝，△BOC边BC上的高为，∴阴影部分的面积是(－×2×)×2＝－2.故选A.方法总结：本题考查了扇形的面积、三角形的面积、等边三角形的判定和性质，解决此题要利用扇形的面积公式求出各部分的面积．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型三】求不规则图形的面积如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为( )A．4π－2B．2π－2C．4π－4D．2π－4解析：连接AB，由题意得阴影部分面积＝2(S扇形AOB－S△AOB)＝2(－×2×2)＝2π－4.故选D.方法总结：关键是需要同学们仔细观察图形，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题三、板书设计弧长及扇形的面积
1．弧长公式：l＝2．扇形的面积公式：S扇形＝＝lR本节课的授课思路是：复习圆周长公式，推出弧长公式，由圆面积公式类比导出扇形面积公式．使学生在经历数学知识发生、发展、形成的“再创造”活动中，获取广泛的数学活动经验，进而促进自身的主动发展.
