\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n一、描述简谐运动的物理量之间的关系\n1.对全振动的理解正确理解全振动的概念,应注意把握振动的五个特征.(1)振动特征:一个完整的振动过程.(2)物理量特征:位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同.(3)时间特征:历时一个周期.(4)路程特征:振幅的4倍.(5)相位特征:增加2π.\n2.简谐运动中振幅和几个常见量的关系(1)振幅和振动系统的能量关系对一个确定的振动系统来说,系统能量仅由振幅决定,振幅越大,振动系统的能量越大.(2)振幅与位移的关系振动中的位移是矢量,振幅是标量.在数值上,振幅与振动物体的最大位移的大小相等,但在同一简谐运动中振幅是确定的,而位移随时间做周期性的变化.\n(3)振幅与路程的关系振动中的路程是标量,是随时间不断增大的.其中常用的定量关系是:一个周期内的路程为4倍的振幅,半个周期内的路程为2倍的振幅.(4)振幅与周期的关系在简谐运动中,一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的,与振幅无关.\n(1)一次全振动是指物体的位移和速度的大小和方向连续两次完全相同所经历的过程(振子将除最大位移处所有可能到达的位置都到达了两次)．(2)四分之一个周期内的路程可以等于一个振幅，可以大于一个振幅，也可以小于一个振幅．\n【典例1】一个做简谐运动的质点，其振幅是4cm，频率是2.5Hz，该质点从平衡位置经过2.5s后的位移大小和路程是()A．4cm，24cmB．4cm，100cmC．0，24cmD．0，100cm\n【解题指导】先作出简谐运动的模型(如图所示)(1)根据频率与周期的关系计算周期；(2)根据题中给出的运动时间2.5s找出振子所在的位置及时间与周期的关系．\n【标准解答】选B．因为质点做简谐运动的频率是2.5Hz，所以周期是0.4s，质点从平衡位置经过2.5s是周期，因此位移大小是4cm，路程是4×4×(6+)cm=100cm．\n【变式训练】弹簧振子从距离平衡位置5cm处由静止释放,4s内完成5次全振动.(1)这个弹簧振子的振幅为_____cm,振动周期为_____s,频率为_____Hz.(2)4s末振子的位移大小为多少?4s内振子运动的路程为多少?(3)若其他条件不变,只是使振子改为在距平衡位置2.5cm处由静止释放,该振子的周期为多少秒?\n【解析】(1)根据题意,振子从距平衡位置5cm处由静止释放,说明弹簧振子在振动过程中离开平衡位置的最大距离是5cm,即振幅为5cm.振子在4s内完成5次全振动，则T=0.8s,又因为f=，则f=1.25Hz.(2)4s内完成5次全振动,即振子又回到原来的初始点,因而位移大小为5cm,振子做一次全振动的路程为20cm,则5次全振动路程为100cm.(3)弹簧振子的周期是由弹簧的劲度系数和振子的质量决定的，其固有周期与振幅大小无关，故周期仍为0.8s.答案：(1)50.81.25(2)5cm100cm(3)0.8s\n二、对简谐运动表达式的理解1．简谐运动的表达式：x=Asin(ωt+)式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移；t表示振动的时间；A表示振动质点偏离平衡位置的最大距离，即振幅.\n2．各量的物理含义(1)圆频率：表达式中的ω称做简谐运动的圆频率，它表示简谐运动物体振动的快慢．与周期T及频率f的关系：ω==2πf；(2)表示t=0时，简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相.ωt+代表做简谐运动的质点在t时刻处在一个运动周期中的哪个状态，所以代表简谐运动的相位．3．从运动方程中得到的物理量:振幅、周期和圆频率、初相位，因此可应用运动方程和ω==2πf对两个简谐运动比较周期、振幅和计算相位差.\n(1)相位 是时间t的线性函数，即=ωt+0，相位随时间的增加而单调地增大，时间t在振动的表达式中是自变量．(2)相位能够统一地表述简谐运动的状态和振动的周期性．\n【典例2】(2011·南昌高二检测)物体A做简谐运动的振动位移为xA=3cos(100t+)m，物体B做简谐运动的振动位移为xB=5cos(100t+)m．比较A、B的运动()A．振幅是矢量，A的振幅是6m，B的振幅是10mB．周期是标量，A、B周期相等为100sC．A振动的频率fA等于B振动的频率fBD．A振动的频率fA大于B振动的频率fB【解题指导】解答此题要明确以下几个要点：(1)从表达式中找出振幅、初相、圆频率；(2)利用关系式ω=和f=分析求解.\n【标准解答】选C．振幅是标量，A、B的振动范围分别是6m、10m，但振幅分别是3m、5m，选项A错误；周期是标量，A、B的周期T==6.28×10-2s,选项B错误；因为TA=TB，故fA=fB，选项C正确，选项D错误．\n【规律方法】用简谐运动表达式解决振动问题的方法应用简谐运动的表达式x=Asin(ωt+)解决简谐运动问题时,首先要明确表达式中各物理量的意义,找到各物理量对应的数值,根据ω==2πf确定三个描述振动快慢的物理量间的关系,有时还需要画出其振动图象来解决有关问题.对于同一质点的振动,不同形式的简谐运动位移表达式初相位并不相同.\n【互动探究】A、B两个振动的相位差是多少？【解析】由简谐运动的方程得AO=100t+,BO=100t+，由此得到：Δ=AO-BO=答案：\n【变式备选】如图所示为A、B两个简谐运动的位移—时间图象.\n请根据图象写出:(1)A的振幅是_____cm,周期是_____s;B的振幅是_____cm,周期是_____s.(2)这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式.(3)在时间t=0.05s时两质点的位移分别是多少?\n【解析】(1)由图象知:A的振幅是0.5cm,周期是0.4s;B的振幅是0.2cm,周期是0.8s.(2)由图象知:A中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了周期,=π,由T=0.4s,得ω==5π.则简谐运动的表达式为xA=0.5sin(5πt+π)cm.B中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了周期,=,由T=0.8s得ω==2.5π,则简谐运动的表达式为xB=0.2sin(2.5πt+)cm.\n(3)将t=0.05s分别代入两个表达式中得:xA=0.5sin(5π×0.05+π)cm=xB=0.2sin(2.5π×0.05+)cm=0.2sinπcm.答案：(1)0.50.40.20.8(2)xA=0.5sin(5πt+π)cm,xB=0.2sin(2.5πt+)cm(3)xA=xB=0.2sinπcm\n【典例】物体做简谐运动,通过A点时的速度大小为v,经1s后物体第一次以相同大小速度v通过B点,再经过1s物体又通过B点,已知物体在2s内所走过的总路程为12cm.则该简谐运动的周期和振幅分别是多少?【解题指导】(1)物体通过A点时速度方向可能向左也可能向右.(2)画出运动轨迹图,注意速度、位移、时间的对称性.\n【标准解答】物体通过A点和B点的速度大小相等,A、B两点一定关于平衡位置O对称.依题意作出物体的振动路径图如图甲所示,物体从A点向右运动到B,即图甲中从1运动到2,时间为1s,从2运动到3,又经过1s,从1到3共经历了0.5T,即0.5T=2s,T=4s,2A=12cm,A=6cm.\n如果物体从A先向左运动,则振动路径如图乙所示,当物体第一次以相同的速度通过B点时,即图乙中从1运动到2时,时间为1s,从2运动到3,又经过1s,同样A、B两点关于O点对称,从图中可以看出1到3共经历了1.5T,即1.5T=2s,T=4/3s,1.5×4A=12cm,A=2cm.答案：简谐运动的周期和振幅分别为T=4s,A=6cm或T=4/3s,A=2cm\n一、选择题1.如图所示，弹簧振子以O为平衡位置在BC间做简谐运动，则()A．从B→O→C为一次全振动B．从O→B→O→C为一次全振动C．从C→O→B→O→C为一次全振动D．从D→C→O→B→O为一次全振动\n【解析】选C．选项A对应的过程路程为2倍的振幅，选项B所述过程路程为3倍振幅，选项C所述过程路程为4倍的振幅，选项D对应的过程路程大于3倍振幅，小于4倍振幅，因此选项A、B、D均错误，选项C正确．\n2.关于简谐运动的频率，下列说法正确的是()A．频率越高，振动质点运动的速度越大B．频率越高，单位时间内速度的方向变化的次数越多C．频率是50Hz时，1s内振动物体速度方向改变100次D．弹簧振子的固有频率与物体通过平衡位置时的速度大小有关\n【解析】选B、C．简谐运动的频率与物体运动的快慢没有关系，描述物体运动的快慢用速度，假如说物体振动过程中最大速度越大，也不能说明它的频率越大．振动的越快和运动的越快意义是不同的，故A错误；简谐运动的物体在一个周期内速度的方向改变两次，频率越高，单位时间内所包含的周期个数越多，速度方向变化的次数就越多，故B、C正确；弹簧振子的固有频率与物体通过平衡位置的速度没有关系，它由振动系统的固有量振子的质量m和弹簧的劲度系数k决定,故D错误．\n3.一个做简谐运动的弹簧振子，周期为T，振幅为A，设振子第一次从平衡位置运动到x=处所经历的时间为t1，第一次从最大位移处运动到x=所经历的时间为t2，关于t1与t2，以下说法正确的是()A．t1＝t2B．t1＜t2C．t1＞t2D．无法判断\n【解析】选B．用图象法，画出x﹣t图象，从图象上，我们可以很直观地看出：t1＜t2，因而正确答案为B.\n4.(2011·银川高二检测)如图所示,弹簧振子的频率为5Hz,让它从B位置开始振动,并开始计时,则经过0.12s时()A.小球位于BO之间,运动方向向右B.小球位于BO之间,运动方向向左C.小球位于CO之间,运动方向向右D.小球位于CO之间,运动方向向左\n【解析】选C.周期T==0.2s,则即t=0.6T,所以小球位于CO之间,运动方向向右,C正确.\n5.一弹簧振子在光滑的水平面上做简谐运动，它的周期T=2.4s，当振子从平衡位置向右运动并开始计时，则下列说法正确的是()A．经过1.6s，振子正向右运动，速度将不断变小B．经过1.6s，振子正向左运动，速度将不断变小C．经过1.9s，振子正向右运动，速度将不断变大D．经过1.9s，振子正向左运动，速度将不断变大【解析】选B、C．1.6s是个周期，所以振子正向左运动，速度将不断变小，因此A错误，B正确；1.9s大于个周期，所以振子正向右运动，速度将不断变大，D错误，C正确．\n6.如图甲是演示简谐运动图象的装置，当沙漏下面的薄木板N被匀速地拉出时，振动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系．板上的直线OO1代表时间轴，乙图中是两个摆中的沙在各自板上形成的曲线，若板N1和板N2拉动的速度v1和v2的关系为v2=2v1，则板N1、N2上曲线所代表的周期T1和T2的关系为()\nA．T2=T1B．T2=2T1C．T2=4T1D．T2=T1\n【解析】选D．由题图可知，薄木板被匀速拉出的距离相同，且v2=2v1，则木板N1上时间轴单位长度代表的时间t1是木板N2上时间轴单位长度代表的时间t2的两倍，由图线可知，T1=t1，T2=t2，因而得出T1=4T2．D正确．\n7.将一个力电传感器接到计算机上，可以测量快速变化的力.用这种方法测得的某单摆摆动过程中悬线上拉力大小随时间变化的曲线如图所示.由此图线提供的信息做出下列判断：①t＝0.2s时刻摆球正经过最低点；②t＝1.1s时摆球正处于最高点；③摆球摆动过程中机械能时而增大时而减小；④摆球摆动的周期约是T＝0.6s.上述判断中正确的是()\nA．①③B．②④C．①②D．③④\n【解析】选C.注意这是悬线上的拉力的图象，而不是振动图象.当摆球到达最高点时，悬线上的拉力最小；当摆球到达最低点时，悬线上的拉力最大.因此①②正确.从图象中看出摆球到达最低点时的拉力一次比一次小，说明速率一次比一次小，反映出振动过程摆球一定受到阻力作用，因此机械能应该一直减小.在一个周期内，摆球应该经过两次最高点和两次最低点，因此周期应该约是T＝1.2s.因此③、④错误.本题应选C.\n8.某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x=Asint，则质点()A.第1s末与第3s末的位移相同B.第1s末与第3s末的速度相同C.3s末至5s末的位移方向都相同D.3s末至5s末的速度方向都相同\n【解析】选A、D.由表达式x=Asint知，ω=，简谐运动的周期T==8s.表达式对应的振动图象如图所示.质点在1s末的位移x1=Asin(×1)=A\n质点在3s末的位移x3=Asin(×3)=A，故A正确；由前面计算可知t=1s和t=3s质点连续通过同一位置，故两时刻质点速度大小相等，但方向相反，B错误；由x﹣t图象可知，3～4s内质点的位移为正值，4～5s内质点的位移为负值，C错误；同样由x﹣t图象可知，在时间3～5s内，质点一直向负方向运动，D正确.\n二、非选择题9.两个简谐运动分别为x1=4asin(4πbt+π)和x2=2asin(4πbt+π),它们的振幅之比、各自的频率以及它们的相位差各是多少？【解析】根据x=Asin(ωt+)得：A1=4a，A2=2a.A1∶A2=4a∶2a=2∶1,由ω1=ω2=4πb及ω1=ω2=2πf得：f1=f2=2b,它们的相位差是：(4πbt+π)-(4πbt+π)=π答案：A1∶A2=2∶1f1=f2=2bπ\n10.(2011·潍坊高二检测)一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8cm，频率为0.5Hz，在t=0时，位移是4cm，且向x轴负方向运动.(1)试写出用正弦函数表示的振动方程.(2)10s内通过的路程是多少?\n【解析】(1)简谐运动振动方程的一般表示式为x=Asin(ωt+).根据题目条件，有：A=0.08m,ω=2πf=π.所以x=0.08sin(πt+)m.将t=0，x=0.04m,代入得0.04=0.08sin，解得初相位=或=π,因为t=0时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小，所以取=π.故所求的振动方程为x=0.08sin(πt+π)m.(2)周期T==2s,所以t=5T,因1T内的路程是4A,则通过的路程s=5×4A=20×8cm=160cm.答案：(1)x=0.08sin(πt+π)m(2)160cm\n【方法技巧】求振动物体在一段时间内通过路程的方法(1)振动物体在一个周期内的路程一定为四个振幅,则在n个周期内的路程必为n·4A.(2)振动物体在半个周期内的路程一定为两个振幅.(3)振动物体在T/4内的路程可能等于一个振幅,还可能小于或大于一个振幅.只有当T/4的初时刻,振动物体在平衡位置或最大位移处时,T/4内的路程才等于一个振幅.计算路程的方法是:先判断所求的时间内有几个周期,再依据上述规律求路程.\nThankyou!\n励志名言形成天才的决定因素应该是勤奋\n安全小贴上课间活动注意安全
