\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n一、单摆做简谐运动\n1．单摆的回复力如图所示，重力G沿圆弧切线方向的分力G1=mgsinθ是沿摆球运动方向的力，正是这个力提供了使摆球振动的回复力：F=G1=mgsinθ.\n2．单摆做简谐运动的推证在偏角很小时，sinθ≈,又回复力Ｆ=mgsinθ,所以单摆的回复力为F=(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F=-kx，单摆做简谐运动.\n(1)小球的重力在沿圆弧切线方向上的分力提供回复力，而不是小球的合力．(2)单摆做简谐运动的条件是偏角很小，通常应在5°以内，误差不超过0.5%．\n【典例1】下列有关单摆运动过程中的受力说法，正确的是()A．单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力B．单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力C．单摆经过平衡位置时合力为零D．单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力【解题指导】单摆的回复力由摆球重力沿圆弧切线方向的分力提供，在平衡位置处，摆球位移为零，水平加速度为零.\n【标准解答】选B．单摆运动是在一段圆弧上运动，因此单摆运动过程不仅有回复力，而且有向心力，即单摆运动的合外力不仅要提供回复力，还要提供向心力，故选项A错误；单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力，而不是摆线拉力的分力，故选项B正确，D错误；单摆经过平衡位置时，回复力为零，向心力最大，故其合外力不为零，所以选项C错误．\n【变式训练】关于单摆摆球在运动过程中的受力,下列结论正确的是()A.摆球受重力、摆线的张力、回复力、向心力作用B.摆球受的回复力最大时,向心力为零;回复力为零时,向心力最大C.摆球受的回复力最大时,摆线中的张力大小比摆球的重力大D.摆球受的向心力最大时,摆球的加速度方向沿摆球的运动方向\n【解析】选B.单摆在运动过程中,摆球受重力和摆线的拉力作用,故A错.重力垂直于摆线的分力提供回复力.当回复力最大时,摆球在最大位移处,速度为零,向心力为零,拉力等于重力沿摆线的分力大小，则拉力小于重力;在平衡位置处,回复力为零,速度最大,向心力最大,摆球的加速度方向沿摆线指向悬点,故C、D错,B对.\n二、对单摆周期公式的理解由公式T=2π知，某单摆做简谐运动(摆角小于5°)的周期只与其摆长l和当地的重力加速度g有关，而与振幅和摆球质量无关，故又叫做单摆的固有周期.\n1.摆长l(1)实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度：即l=l0+，l0为摆线长，d为摆球直径.(2)等效摆长：图(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l·sinα,这就是等效摆长.其周期T=图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效.\n2.重力加速度g(1)若单摆系统只处在重力场中且悬点处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即g=式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，g随所在位置的高度的变化而变化.另外，在不同星球上M和R也是变化的，所以g也不同,g=9.8m/s2只是在地球表面附近时的取值.\n(2)等效重力加速度：若单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速、完全失重状态)，则一般情况下，g值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值.例如:此场景中的等效重力加速度g′=gsinθ.球静止在O时，FT=mgsinθ，等效加速度g′==gsinθ.\n(1)单摆的摆长是指从悬点到球心的距离，不能把绳子的长度看成摆长；(2)公式中的重力加速度指的是在地球表面的单摆，如果是类单摆(与单摆的形式相同，但回复力不是重力的分力)，要找出等效重力加速度.\n【典例2】一个单摆的长为l，在其悬点O的正下方0.19l处有一钉子P(如图所示)，现将摆球向左拉开到A，使摆线偏角θ＜5°，放手后使其摆动，求出单摆的振动周期．\n【解题指导】(1)题中给出“摆线偏角θ＜5°”说明小球的运动为简谐运动；(2)从图中看出这不是一个完整的单摆，是由两个单摆构成，所以周期应是两个单摆周期的合成.\n【标准解答】释放后摆球到达右边最高点B处，由机械能守恒可知B和A等高，则摆球始终做简谐运动．摆球做简谐运动的摆长有所变化，它的周期为两个不同单摆的半周期的和．小球在左边的周期为小球在右边的周期为则整个单摆的周期为答案：\n【规律方法】求单摆周期的规律总结1.明确单摆的运动过程,看是否符合简谐运动的条件.2.在运用T=时,要注意l和g是否发生变化,如果发生变化,则分别求出不同l和g时的运动时间.3.改变单摆振动周期的途径是:(1)改变单摆的摆长;(2)改变单摆的重力加速度(如改变单摆的位置或让单摆失重或超重).4.明确单摆振动周期与单摆的质量和振幅没有任何关系.\n【变式训练】(2011·池州高二检测)将秒摆的周期变为4s，下面哪些措施是正确的()A.只将摆球质量变为原来的1/4B.只将振幅变为原来的2倍C.只将摆长变为原来的4倍D.只将摆长变为原来的16倍\n【解析】选C.由T=可知，单摆的周期与摆球的质量和振幅均无关，A、B均错；对秒摆，对周期为4s的单摆，T==4s，故l=4l0，故C对，D错.\n三、利用单摆测重力加速度1．仪器和器材摆球2个(铁质和铜质并穿有中心孔)、秒表、物理支架、米尺或钢卷尺、游标卡尺、细线等.\n2．实验步骤(1)做单摆：如图所示，把摆球用细线悬挂在物理支架上，摆长最好能有1米左右，这样可使测量结果准确些.\n(2)测摆长:用毫米刻度尺量出悬线长l′,精确到毫米;用游标卡尺测量出摆球的直径d,精确到毫米;则l=l′+,即为单摆的摆长.(3)测周期:将单摆从平衡位置拉开一个角度,且满足摆角小于10°,然后释放摆球,过平衡位置时用秒表开始计时,测量30次～50次全振动的时间.计算出平均摆动一次的时间,即为单摆的振动周期T.(4)变摆长：将单摆的摆长变短(或变长)，重复实验三次，测出相应的摆长l和周期T.\n3.数据处理(1)平均值法：每改变一次摆长，将相应的l和T，代入公式中求出g值，最后求出g的平均值.设计如下所示实验表格\n(2)图象法：由T=2π得T2=作出T2﹣l图象，即以T2为纵轴,以l为横轴.其斜率k=由图象的斜率即可求出重力加速度g.\n(3)作T2﹣l图象的优点用图象法处理数据既直观又方便,同时也能最大限度地减小偶然误差对实验结果造成的影响.由于T﹣l的图象不是直线,不便于进行数据处理,所以采用T2﹣l的图象,目的是为了将曲线转换为直线,便于利用直线的斜率计算重力加速度.\n(1)选择材料时应选择细而不易伸长的线，长度一般在1m左右，小球应选密度较大，直径较小的；(2)线应夹在铁夹的下面，防止因摆动而改变摆线的长度；(3)注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度应很小．(4)摆球摆动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆．方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放．(5)计算单摆的振动次数时，应以摆球通过最低位置时开始计时，以后摆球应从同一方向通过最低点时计数，要多测几次(如30次或50次)全振动的时间，用取平均值的办法求周期．\n【典例3】（2011·福建高考）某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中：(1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图所示，则该摆球的直径为______cm.\n(2)小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是_____.（填选项前的字母）A.把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时B.测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为C.用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大D.选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小\n【解题指导】解答本题时应注意以下几个方面游标卡尺读数时应注意游标卡尺的零刻度线和边界线的区别；测重力加速度时应注意单摆的模型以及摆长和周期的测量.\n【标准解答】(1)游标卡尺读数=主尺+游标=0.9cm+7×0.01cm=0.97cm(2)要使摆球做简谐运动，摆角应小于10°，应选择密度较大的摆球，阻力的影响较小，测得重力加速度误差较小，A、D错；摆球通过最低点100次，完成50次全振动，周期是B错；摆长应是L+，若用悬线的长度加直径，则测出的重力加速度值偏大.答案：(1)0.97(2)C\n【变式训练】某同学利用单摆测定当地重力加速度，发现单摆静止时摆球重心在球心的正下方，他仍将从悬点到球心的距离当作摆长L，通过改变摆线的长度，测得6组L和对应的周期T，画出L﹣T2图线，然后在图线上选取A、B两个点，坐标如图所示．他采用恰当的数据处理方法，则计算重力加速度的表达式应为g=_____.请你判断该同学得到的实验结果与摆球重心就在球心处的情况相比，将_____(填“偏大”“偏小”或“相同”)．\n【解析】由单摆的周期公式由此式可知测得的g与某一次的摆长无关，与两次实验中的摆长差有关，所以g值与摆球重心在不在球心处无关．答案：相同\n【变式备选】某同学利用如图所示的装置测量当地的重力加速度．实验步骤如下：\nA．按装置图安装好实验装置B．用游标卡尺测量小球的直径dC．用米尺测量悬线的长度lD．让小球在竖直平面内小角度摆动．当小球经过最低点时开始计时，并计数为0，此后小球每经过最低点一次，依次计数1、2、3….当数到20时，停止计时，测得时间为tE．多次改变悬线长度，对应每个悬线长度都重复实验步骤C、DF．计算出每个悬线长度对应的t2G．以t2为纵坐标、l为横坐标，作出t2﹣l图线\n结合上述实验，完成下列任务：(1)用游标为10分度(测量值可准确到0.1mm)的卡尺测量小球的直径．某次测量的示数如图所示，读出小球直径d的值为_____cm.\n(2)该同学根据实验数据，利用计算机作出t2﹣l图线如图所示．根据图线拟合得到方程t2=404.0l+3.5.由此可以得出当地的重力加速度g=_____m/s2.(取π2=9.86，结果保留3位有效数字)\n(3)从理论上分析图线没有过坐标原点的原因，下列分析正确的是_____．A．不应在小球经过最低点时开始计时，应该在小球运动到最高点时开始计时B．开始计时后，不应记录小球经过最低点的次数，而应记录小球做全振动的次数C．不应作t2﹣l图线，而应作t﹣l图线D．不应作t2﹣l图线，而应作t2﹣(l+d)图线\n【解析】(1)依据游标卡尺读数原理知，d=(15+0.1×2)mm=15.2mm=1.52cm.(2)根据实验操作可知单摆周期T=，由单摆周期公式得(3)根据实验操作和实验原理可知D选项说法正确．答案：(1)1.52(2)9.76(3)D\n【典例】将在地球上校准的摆钟拿到月球上去，若此钟在月球记录的时间是1h，那么实际上的时间应是_____h(月球表面的重力加速度是地球表面的1／6)．若要把此摆钟调准，应使摆长L0调节为_____．\n【解题指导】解答本题应注意以下两点(1)摆钟的周期只与摆长L和当地重力加速度g有关.(2)一定时间内振动次数与振动周期成反比,指示时间与振动次数成正比.\n【标准解答】设在地球上校准的摆钟周期为T0，指示时间为t0；月球上周期为T，指示时间为t．由于指示时间t与振动次数N成正比，即t∝N；一定时间内振动次数N与振动周期T成反比，即N∝；由单摆周期公式可知T∝，由以上推知：t∝，则有所求实际时间为要把它调准，需将摆长调为L0／6．答案：L0／6\n一、选择题1.用空心铁球内部装满水做摆球，若球正下方有一小孔，水不断从孔中流出，从球内装满水到水流完为止的过程中，其振动周期的大小是()A．不变B．变大C．先变大后变小再回到原值D．先变小后变大再回到原值【解析】选C．单摆的周期与摆球的质量无关，但当水从球中向外流出时，等效摆长是先变长后变短，因而周期先变大后变小再回到原值，故选项C正确．\n2.如图所示，光滑轨道的半径为2m，C点为圆心正下方的点，A、B两点与C点相距分别为6cm与2cm，a、b两小球分别从A、B两点由静止同时放开，则两小球相碰的位置是()A．C点B．C点右侧C．C点左侧D．不能确定\n【解析】选A．由于半径远远地大于运动的弧长，小球都做简谐运动，类似于单摆.因此周期只与半径有关，与运动的弧长无关，故选项A正确．\n3.如图所示,一摆长为l的单摆,在悬点的正下方的P处有一钉子,P与悬点相距为l-l′,则这个摆做小幅度摆动时的周期为()\n【解析】选C.单摆的一个周期包含两个阶段,以l为摆长摆动半个周期,以l′为摆长摆动半个周期,则C选项正确.\n4.(2011·宿州高二检测)把在北京调准的摆钟,由北京移到赤道上时,摆钟的振动()A.变慢了,要使它恢复准确,应增加摆长B.变慢了,要使它恢复准确,应缩短摆长C.变快了,要使它恢复准确,应增加摆长D.变快了,要使它恢复准确,应缩短摆长【解析】选B.把标准摆钟从北京移到赤道上,重力加速度g变小,则周期摆钟显示的时间小于实际时间,因此变慢了.要使它恢复准确,应缩短摆长,B正确.\n5.(2011·郴州高二检测)摆长为l的单摆做简谐运动,若从某时刻开始计时(即取t=0),当振动至时,摆球恰具有负向最大速度,则单摆的振动图象是图中的()\n【解析】选D.最大速度时,单摆应在平衡位置,y=0,v方向为-y,即沿y轴负方向,故D选项正确.\n6.如图所示，两单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好接触.现将摆球A在两摆线所在平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后，两摆球分开各自做简谐运动，以mA、mB分别表示摆球A、B的质量，则()\nA．如果mA≤mB，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧B．如果mA＜mB，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧C．无论两球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧D．无论两球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧【解析】选C、D．因为两者的摆长相等，所以做简谐运动的周期相同，所以应在最低点相碰，选项C、D正确．\n7.(2011·淮南高二检测)有一天体半径为地球半径的2倍，平均密度与地球相同，在地球表面走时准确的摆钟移到该天体的表面，秒针走一圈的实际时间为()\n【解析】选B.摆钟的周期可借助单摆的周期公式来讨论：由于是同一单摆，其摆长可认为不变，则其周期与重力加速度的平方根成反比.由万有引力定律得\n即在ρ相同时，g∝R,由以上推理可得所以秒针在该天体上走一圈的实际时间为min.所以摆钟的周期可以应用单摆的周期公式来分析,而单摆的周期与重力加速度有关,在不同的天体上,由于重力加速度不同,所以同一摆钟在不同的天体上的周期是不相同的,故B正确.\n8.若单摆的摆长不变,摆球的质量增加为原来的4倍,摆球经过平衡位置时的速度减小为原来的1/2,则单摆振动的()A.频率不变,振幅不变B.频率不变,振幅改变C.频率改变,振幅改变D.频率改变,振幅不变\n【解析】选B.由单摆的周期公式T=,因l不变,故T不变,f=不变;当l一定时,单摆的振幅A取决于偏角θ,根据机械能守恒定律,摆球从最大位移处到平衡位置mgl(1-cosθ)=mv2得v2=2gl(1-cosθ),与m无关;由摆球通过最低点的速度减小知单摆的偏角θ减小,所以振幅减小,所以正确选项为B.\n二、非选择题9.（2011·江苏高考）将一劲度系数为k的轻质弹簧竖直悬挂，下端系上质量为m的物块.将物块向下拉离平衡位置后松开，物块上下做简谐运动，其振动周期恰好等于以物块平衡时弹簧的伸长量为摆长的单摆周期.请由单摆的周期公式推算出该物块做简谐运动的周期T.\n【解析】单摆周期公式为由力的平衡条件知道kl=mg联立解得T=答案：见解析\n10.有一单摆，其摆长l=1.02m，摆球的质量m=0.10kg，已知单摆做简谐运动，单摆振动30次用的时间t=60.8s，试求：当地的重力加速度是多大?\n【解析】当单摆做简谐运动时，其周期公式由此可得g=4π2l/T2，只要求出T值代入即可.因为所以g=4π2l/T2=9.79m/s2答案：9.79m/s2\nThankyou!\n励志名言形成天才的决定因素应该是勤奋\n安全小贴上课间活动注意安全
