2004年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）)1.已知全集U=R，M={x|-2≤x≤2}，N={x|x<1}，那么M∩N=()A.{x|x<1}B.{x|-2<x<1}C.{x|x<-2}D.{x|-2≤x<1}2.满足条件|z|=|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是（）A.一条直线B.两条直线C.圆D.椭圆3.设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）①若m⊥α，n // α，则m⊥n ②若α // β，β // γ，m⊥α，则m⊥γ ③若m // α，n // α，则m // n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α // βA.①②B.②③C.③④D.①④4.已知c<b<a，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是（）A.ab>acB.c(b-a)>0C.cb2<ab2D.ac(a-c)<05.从长度分别为1、2、3、4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n种．在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m，则mn等于（）A.0B.14C.12D.346.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线7.函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1, 2]上存在反函数的充分必要条件是（）A.a∈(-∞, 1]B.a∈[2, +∞)C.α∈[1, 2]D.a∈(-∞, 1]∪[2, +∞)8.函数f(x)=xx∈P-xx∈M其中P、M为实数集R的两个非空子集，又规定f(P)={y|y=f(x), x∈P}，f(M)={y|y=f(x), x∈M}．给出下列四个判断，其中正确判断有（）①若P∩M=⌀，则f(P)∩f(M)=⌀；②若P∩M≠⌀，则f(P)∩f(M)≠⌀；③若P∪M=R，则f(P)∪f(M)=R；④若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠R．A.1个B.2个C.3个D.4个试卷第5页，总6页
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）)9.函数y＝sinxcosx的最小正周期是________．10.学校篮球队五名队员的年龄分别为15，13，15，14，13，其方差为0.8，则三年后这五名队员年龄的方差为________．11.圆x2+y2+2y=0的圆心坐标是________，如果直线x+y+a=0与该圆有公共点，那么实数a的取值范围是________．12.某地球仪上北纬30∘纬线的长度为12πcm，该地球仪的半径是________cm，表面积是________cm2．13.在函数f(x)=ax2+bx+c中，若a，b，c成等比数列且f(0)=-4，则f(x)有最________值（填“大”或“小”），且该值为________．14.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且a1=2，公和为5，那么a18的值为________，这个数列的前n项和Sn的计算公式为________．三、解答题（共6小题，满分80分）)15.在△ABC中，sinA+cosA=22，AC=2，AB=3，求tanA的值和△ABC的面积．16.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=2，由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线与AA1的交点记为M，求：（1）三棱柱的侧面展开图的对角线长（2）该最短路线的长及A1MAM的值（3）平面C1MB与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．17.如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1, 2)，A(x1, y1)，B(x2, y2)均在抛物线上．（I）写出该抛物线的方程及其准线方程；（II）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．18.函数f(x)是定义在[0, 1]上的增函数，满足f(x)=2f(x2)且f(1)=1，在每个区间(12i，12i-1](i=1, 2…)上，y=f(x)的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分．（1）求f(0)及f(12)，f(14)的值，并归纳出f(12i)(i=1,2,…)的表达式试卷第5页，总6页
（2）设直线x=12i，x=12i-1，x轴及y=f(x)的图象围成的矩形的面积为ai(i=1, 2…)，记S(k)=limn→∞(a1+a2+…+an)，求S(k)的表达式，并写出其定义域和最小值．19.某段城铁线路上依次有A、B、C三站，AB=5km，BC=3km，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站，在实际运行中，假设列车从A站正点发车，在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速度vkm/h匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差．（1）分别写出列车在B、C两站的运行误差（2）若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，求v的取值范围．20.给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L=1275．现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差r1与所有可能的其他选择相比是最小的，r1称为第一组余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为r2；如此继续构成第三组（余差为r3）、第四组（余差为r4）、…，直至第N组（余差为rN）把这些数全部分完为止．（1）判断r1，r2，…，rN的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数；（2）当构成第n(n<N)组后，指出余下的每个数与rn的大小关系，并证明rn-1>150n-Ln-1；（3）对任何满足条件T的有限个正数，证明：N≤11．试卷第5页，总6页
参考答案与试题解析2004年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1.D2.C3.A4.C5.B6.D7.D8.B二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9.π10.0.811.(0, -1),[1-2，1+2]12.43,192π13.大,-314.3,当n为偶数时，Sn=52n；当n为奇数时，Sn=52n-12三、解答题（共6小题，满分80分）15.解：(1)∵sinA+cosA=2sin(A+45∘)=22，∴sin(A+45∘)=12．又0∘<A<180∘，∴A+45∘=150∘，A=105∘．∴tanA=tan(45∘+60∘)=1+31-3=-2-3．(2)由(1)得：sinA=sin105∘=sin(45∘+60∘)=sin45∘cos60∘+cos45∘sin60∘=2+64．∴S△ABC=12AC⋅ABsinA=12⋅2⋅3⋅2+64=34(2+6)．16.解：（1）正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形其对角线长为62+22=210．（2）如图，将侧面AA1B1B绕棱AA1旋转120∘使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点B运动到点D的位置，连接DC1交AA1于M，则DC1就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1试卷第5页，总6页
的最短路线，其长为DC2+CC12=42+22=25∵△DMA≅△C1MA1，∴AM=A1M故A1MAM=1（3）连接DB，C1B，则DB就是平面C1MB与平面ABC的交线在△DCB中，∵∠DBC=∠CBA+∠ABD=60∘+30∘=90∘，∴CB⊥DB，又C1C⊥平面CBD，由三垂线定理得C1B⊥DB，∴∠C1BC就是平面C1MB与平面ABC所成二面角的平面角（锐角），∵侧面C1B1BC是正方形，∴∠C1BC=45∘，故平面C1MB与平面ABC所成的二面角（锐角）为45∘．17.解：(I)由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px∵点P(1, 2)在抛物线上∴22=2p×1，得p=2故所求抛物线的方程是y2=4x准线方程是x=-1（II）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB则kPA=y1-2x1-1(x1≠1)，kPB=y2-2x2-1(x2≠1)∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补∴kPA=-kPB由A(x1, y1)，B(x2, y2)在抛物线上，得y12=4x1(1)y22=4x2(2)∴y1-214y12-1=-y2-214y22-1∴y1+2=-(y2+2)∴y1+y2=-4由（1）-(2)得直线AB的斜率kAB=y2-y1x2-x1=4y1+y2=-44=-1(x1≠x2)18.解：（1）由f(0)=2f(0)，得f(0)=0，由f(1)=2f(12)及f(1)=1，得f(12)=12f(1)=12，同理，f(14)=12f(12)=14，归纳得f(12i)=12i(i=1,2,…)，（2）当12i<x≤12i-1时f(x)=12i-1+k(x-12i-1)ai=12[12i-1+12i-1+…+k(12i-12i-1)](12i-1-12i)=(1-k4)122i-1(i=1,2,…)，所以{an}是首项为12(1-k4)，公比为14的等比数列，所以S(k)=limn→∞(a1+a2+…+an)=12(1-k4)1-14=23(1-k4)S(k)的定义域为0<k≤1，当k=1时取得最小值12试卷第5页，总6页
．19.解：（1）由题意可知：列车在B，C两站的运行误差（单位：分钟）分别是|300v-7|和|480v-11|（2）由于列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，所以|300v-7|+|480v-11|≤2(*)当0<v≤3007时，(*)式变形为300v-7+480v-11≤2解得39≤v≤3007当3007<v≤48011时，(*)式变形为7-300v+480v-11≤2解得3007<v≤48011当v>48011时，(*)式变形为7-300v+11-480v≤2解得48011<v≤1954综上所述，v的取值范围是[39, 1954]20.解：（1）r1≤r2≤≤rN．除第N组外的每组至少含有15050=3个数（2）当第n组形成后，因为n<N，所以还有数没分完，这时余下的每个数必大于余差rn，余下数之和也大于第n组的余差rn，即L-[(150-r1)+(150-r2)++(150-rn)]>rn由此可得r1+r2++rn-1>150n-L因为(n-1)rn-1≥r1+r2++rn-1，所以rn-1>150n-Ln-1（3）用反证法证明结论，假设N>11，即第11组形成后，还有数没分完，由（1）和（2）可知，余下的每个数都大于第11组的余差r11，且r11≥r10故余下的每个数>r11≥r10>150×11-127510=37.5(*)因为第11组数中至少含有3个数，所以第11组数之和大于37.5×3=112.5此时第11组的余差r11=150-第11组数之和<150-112.5=37.5这与(*)式中r11>37.5矛盾，所以N≤11．试卷第5页，总6页
