2017年北京市高考数学试卷(理科)一、选择题.)1.若集合集ȁെ൏，集ȁ൏或‴㈱⸶，则集䁧A.ȁെ൏B.ȁെ㈱C.ȁ൏൏D.ȁ൏㈱2.若复数䁧൏െ䁧ሻെ在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是()A.䁧൏B.䁧൏C.䁧൏ሻD.䁧൏ሻ3.执行如图所示的程序框图，输出的值为()㈱A.െB.C.D.െ㈱㈱4.若实数，满足ሻെ则ሻെ的最大值为()A.൏B.㈱C.D.൏5.已知函数䁧集㈱，则䁧（）㈱A.是奇函数，且在上是增函数B.是偶函数，且在上是增函数C.是奇函数，且在上是减函数D.是偶函数，且在上是减函数6.设，为非零向量，则“存在负数，使得集"是“”的䁧A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件试卷第1页，总9页,7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为䁧A.㈱െB.െ㈱C.െെD.െ8.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为㈱㈱൏，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为൏．则下列各数中与最接近的是䁧（参考数据：‴㈱晦䁪）A.൏㈱㈱B.൏㈱C.൏㈱D.൏㈱二、填空题.)െ9.若双曲线െ集൏的离心率为㈱，则实数集________.െ10.若等差数列⸶和等比数列⸶满足൏集൏集൏，䁪集䁪集．则集________．െ11.在极坐标系中，点在圆െെcos䁪sinሻ䁪集上，点的坐标为൏，则ȁȁ的最小值为________．12.在平面直角坐标系2中，角与角均以2为始边，它们的终边关于轴对൏称．若sin集，cos䁧集________．㈱13.能够说明“设，，是任意实数．若‴‴，则ሻ‴”是假命题的一组整数，，的值依次为________．14.三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中െ的横、纵坐标分别为第െ名工人上午的工作时间和加工的零件数，点െ的横、纵坐标分别为第െ名工人下午的工作时间和加工的零件数，െ集൏，െ，㈱．①记െ为െ名工人在这一天中加工的零件总数，则൏，െ，㈱中最大的是________．②记െ为第െ名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则൏，െ，㈱中最大的是________．试卷第2页，总9页,三、解答题.)㈱15.在中，集，集．䁧൏求sin的值；䁧െ若集，求的面积．16.如图，在四棱锥쳌中，底面쳌为正方形，平面쳌平面쳌，点在线段上，쳌䁪䁪平面，集쳌集，集䁪．䁧൏求证：为的中点；䁧െ求二面角쳌的大小；䁧㈱求直线与平面쳌所成角的正弦值．17.为了研究一种新药的疗效，选൏名患者随机分成两组，每组各名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标和的数据，并制成如图，其中“”表示服药者，“ሻ”表示未服药者．䁧൏从服药的名患者中随机选出一人，求此人指标的值小于的概率；䁧െ从图中,,,쳌四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标的值大于൏晦的人数，求的分布列和数学期望䁧；䁧㈱试判断这൏名患者中服药者指标数据的方差与未服药者指标数据的方差的大小．（只需写出结论）െ൏18.已知抛物线集െ䁕过点䁧൏൏．过点䁧作直线与抛物线交于不同的两െ点，，过点作轴的垂线分别与直线2、2交于点，，其中2为原点．䁧൏求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；䁧െ求证：为线段的中点．19.已知函数䁧集ᦙ䁡．䁧൏求曲线集䁧在点䁧䁧处的切线方程；䁧െ求函数䁧在区间上的最大值和最小值．െ20.设和是两个等差数列，记集max൏൏െെ，⸶䁧集൏െ㈱，其中max൏െ䁡⸶表示൏，െ，，䁡，这䁡个数中最大的数．试卷第3页，总9页,䁧൏若集൏集െ൏，求൏，െ，㈱的值，并证明是等差数列；䁧െ证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，‴，或者存在正整数，使得，ሻ൏，ሻെ是等差数列．试卷第4页，总9页,参考答案与试题解析2017年北京市高考数学试卷(理科)一、选择题.1.A2.B3.C4.D5.A6.A7.B8.D二、填空题.9.െ10.൏11.൏12.13.൏，െ，㈱14.൏,െ三、解答题.㈱15.解：䁧൏集，集，㈱㈱㈱㈱㈱由正弦定理可得sin集sin集集.െ൏䁪䁧െ∵集，∴集㈱，∴，∵sinെሻcosെ集൏，൏㈱又由䁧൏可得cos集，൏䁪㈱൏㈱൏㈱㈱䁪㈱∴sin集sin䁧ሻ集sincosሻcossin集ሻ集，െ൏䁪െ൏䁪൏൏䁪㈱∴集sin集㈱集㈱．െെ16.䁧൏证明：如图，设쳌集2，试卷第5页，总9页,∵쳌为正方形，∴2为쳌的中点，连接2，∵쳌䁪䁪平面，쳌平面쳌，平面쳌平面集2，∴쳌䁪䁪2，2则集，쳌即为的中点；䁧െ解：取쳌中点，∵集쳌，쳌，∵平面쳌平面쳌，且平面쳌平面쳌集쳌，∴平面쳌，则쳌，连接2，则2，由是쳌的中点，2是的中点，可得2䁪䁪쳌，则2쳌，以为坐标原点，分别以쳌、2、所在直线为、、轴距离空间直角坐标系，由集쳌集，集䁪，得쳌െ，െ，䁧െ，䁧െ䁪，െെ䁪，൏െ，െ쳌集െെ，쳌集䁪䁪，设平面쳌的一个法向量为集，쳌集，则由쳌集，െሻെ集，得䁪ሻ䁪集，取集െ，得集൏൏െ，取平面쳌的一个法向量为集൏，൏൏∴cos‴集集集，ȁȁȁȁെ൏െ∴二面角쳌的大小为；െ䁧㈱解：集䁧㈱െ,，平面쳌的一个法向量为集൏൏െ，െ∴直线与平面쳌所成角的正弦值为：െെȁᦙ䁡，‴ȁ集ȁȁ集ȁȁ集．ȁȁȁȁሻ䁪ሻ൏൏െ试卷第6页，总9页,17.解：䁧൏由图知：在名服药患者中，有൏名患者指标的值小于，൏㈱则从服药的名患者中随机选出一人，此人指标小于的概率为：䁕集集；൏䁧െ由图知：、两人指标的值大于൏晦，而、쳌两人则小于൏晦,可知在四人中随机选出的െ人中指标的值大于൏晦的人数的可能取值为，൏，െ，൏൏൏൏െെെ൏൏䁧集集集，䁧集൏集集，䁧集െ集集，െെ㈱െ䁪䁪䁪的分布列如下：൏െ൏െ൏㈱൏െ൏集ሻ൏ሻെ集൏.㈱䁧㈱由图知൏名患者中服药者指标数据的方差比未服药者指标数据的方差大．18.䁧൏解：∵െ集െ䁕过点䁧൏൏，∴൏集െ䁕，൏解得䁕集，െ∴െ集，൏൏∴焦点坐标为䁧，准线方程为集.䁪䁪൏൏䁧െ证明：设过点䁧的直线方程为集ሻ，െെ䁧൏൏，䁧െെ，െ∴直线2为集，直线2为：集，െ൏െ由题意知䁧൏൏，䁧൏，െ൏集ሻ，由െെ集，െെ൏可得ሻ䁧൏ሻ集，䁪൏൏∴൏ሻെ集െ，൏െ集䁪െ.൏൏െ൏൏䁧െሻെ∴൏ሻ集൏ሻሻെെെ൏ሻെ集െ൏ሻെെ൏െ集െ൏ሻ൏െ䁪െ൏集െ൏ሻ䁧൏െ൏集െ൏，∴为线段的中点．19.解：䁧൏因为䁧集ᦙ䁡，所以䁧集䁧ᦙ䁡䁡െ൏，䁧集．试卷第7页，总9页,又因为䁧集൏，所以曲线集䁧在点䁧䁧处的切线方程为集൏．䁧െ设䁧集䁧ᦙ䁡䁡െ൏，则䁧集䁧ᦙ䁡䁡െ䁡െᦙ䁡集െ䁡െ．当时，䁧，െ所以䁧在区间上单调递减，െ所以对任意，有䁧䁧集，即䁧，െ所以函数䁧在区间上单调递减．െ因此䁧在区间上的最大值为䁧集൏，െ最小值为集．െെ20.䁧൏解：൏集൏െ集െ㈱集㈱൏集൏െ集㈱㈱集，当集൏时，൏集max൏൏⸶集max⸶集，当集െ时，െ集max൏െ൏െെെ⸶集max൏൏⸶集൏，当集㈱时，㈱集max൏㈱൏െ㈱െ㈱㈱㈱⸶集maxെ㈱䁪⸶集െ,下面证明：对且െ都有集，൏൏当，且െ时，则൏൏，集െ൏݇൏ሻ集െെ൏集൏െ，由൏‴，且െ，则൏൏，则൏൏,因此，对，且െ，集൏൏集൏，ሻ൏集൏，∴െ൏集൏，∴ሻ൏集൏对均成立，∴数列{}是等差数列；䁧െ证明：设数列和的公差分别为൏െ，下面考虑的取值，由൏൏，െെ，，考虑其中任意䁧െ且൏െ，െെ则െെ集െሻ䁧െ൏൏݇൏ሻ䁧െ൏െ݇，集൏൏ሻെ൏െ൏，下面分൏集൏‴൏三种情况进行讨论，①若൏集，െെ൏൏ሻെ൏െ，当若െ，则െെ൏൏集െ൏െ，则对于给定的正整数而言，集൏൏，此时ሻ൏集൏，∴数列是等差数列；当െ‴，െെ集െെ‴，则对于给定的正整数而言，集集൏，此时ሻ൏集െ൏，∴数列⸶是等差数列，此时取集൏，则൏，െ；是等差数列，命题成立；试卷第8页，总9页,②若൏‴，则此时൏ሻെ为一个关于的一次项系数为负数的一次函数，故必存在，使得时，ሻ,൏െ则当时െെ൏൏集െ൏൏ሻെ，䁧െ൏െ，因此当时，集൏൏，此时ሻ൏集൏，故数列从第项开始为等差数列，命题成立；③若൏，此时൏ሻെ为一个关于的一次项系数为正数的一次函数，故必存在䁡，使得䁡时，ሻ‴，൏െ则当䁡时，䁧䁧集䁧െ൏䁧ሻ䁧െ൏െ，െെ൏െ因此，当䁡时，集，此时集ሻ，൏െ集െሻ൏൏ሻെሻ,令൏集‴൏൏ሻെ集൏െ集，下面证明：集ሻሻ对任意正整数，存在正整数，使得，‴，ȁȁ若，取集ሻ൏，[]表示不大于的最大整数，ȁȁ当时，ሻሻ集ሻ൏݇ሻ‴ሻ集，此时命题成立；ȁȁ若，取集݇ሻ൏,当时，ȁȁሻሻሻሻ‴ሻሻሻሻ集，此时命题成立;因此对任意正数，存在正整数，使得当时，‴;综合以上三种情况，命题得证．试卷第9页，总9页
