§5.3 三角函数的图象、性质及应用基础篇【基础集训】考点一 三角函数的图象及其变换1.将函数y=sin图象上所有的点向左平移个单位长度,再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),则所得图象的解析式为( )A.y=sin B.y=sinC.y=sin D.y=sin答案 B2.函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象如图所示,为了得到g(x)=sin3x的图象,只需将f(x)的图象( )A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度答案 C3.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f的值是 .
答案 -4.将函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ<0)的图象向左平移个单位长度,得到偶函数g(x)的图象,则φ的最大值是 . 答案 -考点二 三角函数的性质及其应用5.已知函数f(x)=(sinx+cosx)sinx,则下列说法不正确的为( )A.函数f(x)的最小正周期为πB.f(x)在上单调递减C.f(x)的图象关于直线x=-对称D.将f(x)的图象向右平移个单位长度,再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象答案 D6.将函数f(x)=sin2x+2cos2x-的图象向右平移个单位长度,再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则下列说法中正确的是( )A.g(x)的最小正周期为πB.g(x)是偶函数C.g(x)的图象关于直线x=对称
D.g(x)在上单调递增答案 D7.已知函数f(x)=sinωxsin(ω>0)的最小正周期为π,则函数f(x)图象的一个对称中心可以是( )A. B. C. D.答案 B[教师专用题组]【基础集训】考点一 三角函数的图象及其变换1.(2020山东师范大学附属中学第三次月考,3)为了得函数y=sin的图象,只需把函数y=sin2x的图象( )A.向左平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位 D.向右平移个单位答案 A y=sin=sin,即将y=sin2x的图象向左平移个单位得到y=sin的图象.故选A.2.(2017北京平谷零模,6)若将函数f(x)=sin的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是 ( )
A. B. C. D.答案 A 把函数f(x)的图象向右平移φ个单位,可得函数g(x)=sin=sin的图象.由于所得图象关于y轴对称,故有-2φ+=kπ+,k∈Z,即φ=--,k∈Z,故φ的最小正值为,故选A.3.(2019四川成都石室中学4月月考,7)函数f(x)=sin(ω>0)的零点构成一个公差为的等差数列,要得到g(x)=cos的图象,可将f(x)的图象( )A.向右平移个单位 B.向左平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位答案 B 根据函数f(x)=sin(ω>0)的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,可得函数的周期为π,即=π,得ω=2,即f(x)=sin.g(x)=cos=sin=sin2x++,所以把f(x)=sin的图象向左平移个单位,可得函数g(x)的图象,故选B.4.(2020黑龙江大庆实验中学4月模拟,9)已知函数f(x)=acos+sin是偶函数.若将曲线y=f(2x)向左平移个单位长度后,得到曲线y=g(x),则不等式g(x)≤1的解集是( )A.B.
C.D.答案 A 因为f(x)=a+=cosx+sinx为偶函数,所以f(-x)=f(x),所以a+=0,解得a=-1,所以f(x)=-2cosx.将曲线y=f(2x)向左平移个单位长度后,得到曲线y=-2cos=-2cos,则g(x)=-2cos.由g(x)≤1,得-2cos≤1,得cos≥-,则2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以不等式g(x)≤1的解集是,故选A.5.(2020甘肃顶级名校5月联考,9)将函数f(x)=2sin(3x+φ)(0<φ<π)图象向右平移个单位长度后,得到函数的图象关于直线x=对称,则函数f(x)在上的值域是( )A.[-1,2] B.[-,2] C. D.[-,2]答案 D 本题主要考查三角函数图象的平移,三角函数值域的求解,考查学生的逻辑思维能力,考查的核心素养为逻辑推理,数学运算.将函数f(x)=2sin(3x+φ)(0<φ<π)图象向右平移个单位长度后,得到的函数解析式为y=2sin=2sin,由题意得3×-+φ=kπ+(k∈Z),得φ=kπ-(k∈Z),又0<φ<π,所以φ=,所以f(x)=2sin,当x∈时,3x+∈,则sin∈,所以2sin
∈[-,2],故函数f(x)在上的值域是[-,2],故选D.6.(2019湖南宁乡一中、攸县一中4月联考,14)已知函数f(x)=sin2x-cos2x,将y=f(x)的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度得到函数y=g(x)的图象,则g的值为 . 答案 3解析 f(x)=sin2x-cos2x=2sin,将y=f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数y=2sin=2sin2x的图象,再将函数y=2sin2x的图象向上平移1个单位长度得到函数y=g(x)=2sin2x+1的图象,所以g=2sin+1=3.考点二 三角函数的性质及其应用1.(2017北京西城一模,3)函数f(x)=sin2x-cos2x的最小正周期是 ( )A. B.π C. D.2π答案 B f(x)=sin2x-cos2x=-cos2x,所以最小正周期为π.2.(2019四川南充第二次适应性考试,6)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在x=处取得最小值,则( )A.f一定是奇函数B.f一定是偶函数C.f一定是奇函数D.f一定是偶函数
答案 B 因为函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在x=处取得最小值,所以函数图象关于x=对称,将f(x)=Asin(ωx+φ)的图象向左平移个单位后得到f的图象,此时f图象关于y轴对称,即f一定是偶函数,故选B.3.(2019新疆乌鲁木齐二模,9)若关于x的方程(sinx+cosx)2+cos2x=m在区间[0,π)上有两个根x1,x2,且|x1-x2|≥,则实数m的取值范围是( )A.[0,2) B.[0,2] C.[1,+1] D.[1,)答案 B 关于x的方程(sinx+cosx)2+cos2x=m在区间[0,π)上有两个根x1,x2,原方程即sin2x+cos2x=m-1,即sin=,∴sin=在区间[0,π)上有两个根x1,x2,且|x1-x2|≥.∵x∈[0,π),∴2x+∈,∴-≤≤,求得0≤m≤2,故选B.4.(2019北京怀柔一模,11)函数f(x)=sinxcosx+cos2x-的最小正周期是 ,f(x)的取值范围是 . 答案 π;解析 f(x)=sinxcosx+cos2x-=sin2x+-=sin2x+cos2x=(sin2x+cos2x)=sin,所以函数f(x)=sinxcosx+cos2x-的最小正周期是π,f(x)的取值范围是.
5.(2017江苏南通中学高三上学期期中,7)函数y=2sin的图象与y轴最近的对称轴方程是 . 答案 x=-解析 由2x-=+kπ(k∈Z)得x=+(k∈Z),因此与y轴最近的对称轴方程是x=-.6.(2019安徽六安一中3月月考,15)若函数f(x)=sin(0<ω<1)在区间(π,2π)内有最值,则ω的取值范围为 . 答案 ∪解析 函数f(x)=sin(0<ω<1)取最值时,ωx+=kπ+,k∈Z,即x=(k∈Z),因为f(x)在区间(π,2π)内有最值,所以(k∈Z)∈(π,2π)时,k有解,所以1<·<2,即⇒+<ω<k+.由+<k+得k>-.当k=0时,<ω<,当k=1时,结合0<ω<1,得<ω<1,所以ω的取值范围为∪.7.(2019北京海淀期末,15)已知函数f(x)=acos-cos2x,其中a>0.(1)比较f和f的大小;(2)求函数f(x)在区间上的最小值.解析 (1)因为f=-,f=a+1,所以f-f=(a+1)-=+.因为a>0,所以+>0,所以f
>f.(2)因为f(x)=asinx-cos2x=asinx-(1-2sin2x)=2sin2x+asinx-1.设t=sinx,因为x∈,所以t∈[-1,1],所以y=2t2+at-1,其图象的对称轴为直线t=-.当t=-<-1,即a>4时,在t=-1处取得最小值1-a;当t=-≥-1,即0<a≤4时,在t=-处取得最小值--1.综合篇【综合集训】考法一 三角函数的图象1.(多选题)(2020山东威海三模,11)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π).将y=f(x)的图象上所有点向左平移个单位长度,然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,得到函数y=g(x)的图象.若g(x)为偶函数,且最小正周期为,则( )A.y=f(x)图象关于点对称B.f(x)在上单调递增C.f(x)=g在上有且仅有3个解
D.g(x)在上有且仅有3个极大值点答案 AC2.(多选题)(2020山东菏泽一中月考,11)要得到y=cos2x的图象C1,只要将y=sin的图象C2怎样变换得到( )A.将y=sin的图象C2沿x轴方向向左平移个单位长度B.将y=sin的图象C2沿x轴方向向右平移个单位长度C.先作C2关于x轴对称的图象C3,再将图象C3沿x轴方向向右平移个单位长度D.先作C2关于x轴对称的图象C3,再将图象C3沿x轴方向向左平移个单位长度答案 ABC3.(2020山东日照、潍坊、临沂部分学校6月模拟,15)函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则φ= ;将函数f(x)的图象沿x轴向右平移b个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则b= . 答案 ;考法二 三角函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性
4.(2019河南郑州一模,8)已知函数f(x)=sin(ωx+θ)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为,若将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到偶函数g(x)的图象,则函数f(x)的一个单调递减区间为( )A. B.C. D.答案 B5.(多选题)(2020山东青岛三模,10)将函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度得到函数y=g(x)的图象,若函数g(x)在区间上是单调增函数,则实数ω可能的取值为( )A. B.1 C. D.2答案 ABC6.(2020天津六校联考,6)已知函数f(x)=cos2x+sin2x,则下列说法中,正确的是( )A.f(x)的最小值为-1B.f(x)在区间上单调递增C.f(x)的图象关于点,k∈Z对称D.将f(x)图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标缩短为原来的,可得到g(x)=2cos的图象答案 B7.(2020山东滕州一中3月模拟,6)函数f(x)=4sin(ω>0)的最小正周期是3π,则其图象向
左平移个单位长度后得到的函数图象的一条对称轴是( )A.x= B.x= C.x= D.x=答案 D8.(2020福建三明质量检查(5月),8)关于函数f(x)=cos|x|+|cosx|,给出下列结论:①f(x)是偶函数;②在区间上单调;③f(x)在[-π,π]上有4个零点;④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的序号是( )A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③答案 A9.(2020山东滨州期末,7)已知函数f(x)=2sin(2x+φ)的图象过点A,则( )A.把y=f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=2sin2x的图象B.函数f(x)在区间上单调递减C.函数f(x)在区间[0,2π]内有五个零点D.函数f(x)在区间上的最小值为1答案 D10.(2020山东烟台二模,17)已知函数f(x)=1-2sinxcosx-2cos2x+m在R上的最大值为3.(1)求m的值及函数f(x)的单调递增区间;(2)若锐角△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且f(A)=0,求的取值范围.考法三 三角函数的最值
11.(2020山东仿真联考3,7)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为,将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后,得到函数g(x)的图象,若函数g(x)为偶函数,则函数f(x)在区间上的值域是( )A. B.(-1,1) C.(0,2] D.(-1,2]答案 D12.(2020山东省实验中学第二次诊断,18)已知函数f(x)=2sincos+sin2x+a的最大值为1.(1)求实数a的值;(2)若将f(x)的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间上的最大值和最小值.[教师专用题组]【综合集训】考法一 三角函数的图象1.(2019北京朝阳一模,5)如图,函数f(x)的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的,则f(x)的解析式可以是( )A.f(x)=sin B.f(x)=sinC.f(x)=cos D.f(x)=cos
答案 A ∵T=2×=2×=π,∴|ω|=2,排除B、D;由f=1,排除C,只有A选项符合,故选A.2.(2019四川成都二诊,8)将函数f(x)的图象上的所有点向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,若函数g(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为( )A.f(x)=sin B.f(x)=-cosC.f(x)=cos D.f(x)=sin答案 C 由题图知A=1,=-=,即函数g(x)的周期T=π,则=π,得ω=2,即g(x)=sin(2x+φ),∵点在g(x)的图象上,∴sin=0,∵|φ|<,∴φ=,则g(x)=sin,将g(x)图象上的所有点向左平移个单位长度得到f(x)的图象,即f(x)=sin=sin2x++=cos,故选C.3.(2018广东肇庆二模,14)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f的值是 .
答案 -解析 由题图可知A=,=π-=,即T=π,又知T=,∴ω=2,∴函数f(x)=sin(2x+φ).由题图得f=-,即sin=-,∴sinπ+φ=-1,∴π+φ=2kπ+π,k∈Z.∴φ=2kπ+(k∈Z),∴f(x)=sin=sin.∴f=sin=-.4.(2018北京海淀二模,15)如图,已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<在一个周期内的图象经过B,C,D三点.(1)写出A,ω,φ的值;(2)若α∈,且f(α)=1,求cos2α的值.解析 (1)A=2,ω=2,φ=-.(2)由(1)得,f(x)=2sin.因为f(α)=1,所以sin=.
因为α∈,所以2α-∈.所以2α-=,所以2α=,所以cos2α=cos=-.考法二 三角函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性1.(2019北京石景山一模文,7)已知f(x)=sinx,则f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)=( )A.0 B.505C.1010 D.2020答案 A ∵函数f(x)=sinx的周期是=5,∴只需算出一个周期内的函数值的和即可.f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0+sin+sin+sin+sin=0+sin+sin-sin-sin=0,∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)=404×0=0.故选A.2.(2019第一次全国大联考(课标Ⅲ卷),6)已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为,则下列说法正确的是( )A.ω=1B.函数f(x)在上单调递增C.函数f(x)的图象关于直线x=对称D.函数f(x)的图象关于点对称答案 D 由已知T==,解得ω=2,故f(x)=sin,若x∈,则4x-∈,由正弦函数的图象可知函数f(x)在上有增有减;若x=,则
4x-=,此时函数f(x)取不到最大值或者最小值,故x=不是函数f(x)图象的对称轴;若x=,则4x-=π,此时函数f(x)=0,故f(x)的图象关于点对称.答案为D.3.(2018四川师范大学附中2月月考,10)若函数f(x)=asinωx+bcosωx(0<ω<5,ab≠0)的图象的一条对称轴的方程是x=,函数f'(x)的图象的一个对称中心是,则f(x)的最小正周期是( )A. B. C.π D.2π答案 C 函数f(x)=asinωx+bcosωx=sin(ωx+φ),f(x)图象的一条对称轴的方程是x=,∴=a2+b2,解得a=b,∴f(x)=asinωx+acosωx=asin,∵函数f'(x)的图象的一个对称中心是,∴f'(x)=aωcos的图象过,∴ω+=kπ+,k∈Z,又∵0<ω<5,∴k=0,ω=2,∴函数f(x)的最小正周期是=π,故选C.4.(2018重庆万州二模,8)已知函数f(x)=sin(x∈R),下列说法错误的是( )
A.函数f(x)的最小正周期是πB.函数f(x)是偶函数C.函数f(x)的图象关于对称D.函数f(x)在上是增函数答案 D 函数f(x)=sin(x∈R)的最小正周期为=π,故A正确;由于f(x)=cos2x,故函数f(x)是偶函数,故B正确;令x=,求得f(x)=cos=0,故函数f(x)的图象关于对称,故C正确;当x∈时,2x∈[0,π],函数f(x)=cos2x在上是减函数,故D错误,故选D.5.(2019辽宁葫芦岛一模,14)函数f(x)=2cosxsin-sin2x+sinxcosx在x∈时的值域为 . 答案 [-1,2]解析 f(x)=2cosxsin-sin2x+sinxcosx=2cosx-sin2x+sinxcosx=2sin.由x∈,得2x+∈,所以-≤sin≤1,则函数的值域为[-1,2].6.(2017江西七校第二次联考,18)已知函数f(x)=4cosωx·sin(ω>0)的最小正周期是π.(1)求函数f(x)在区间(0,π)上的单调递增区间;
(2)求f(x)在上的最大值和最小值.解析 (1)f(x)=4cosωxsin=4cosωx=2sinωxcosωx-2cos2ωx=sin2ωx-cos2ωx-1=2sin-1,且f(x)的最小正周期是=π,所以ω=1,从而f(x)=2sin-1.令-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),解得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),所以函数f(x)在(0,π)上的单调递增区间为和.(2)当x∈时,2x∈,所以2x-∈,2sin∈,所以当2x-=,即x=时,f(x)取得最小值-1,
当2x-=,即x=时,f(x)取得最大值1,所以f(x)在上的最大值和最小值分别为1、-1.
