第五章功和能第1讲功和功率【教学目标】1、掌握功的概念，能熟练地利用功的定义式及动能定理求功（恒力的功和变力的功）；2、掌握功率的概念，理解功率与力和速度的关系，能区分平均功率和瞬时功率，并能熟练地计算它们；3、理解汽车两种启动方式中，功率、速度、加速度的变化情况并能解析相关问题。【重、难点】1、变力的功；2、机车启动相关问题的分析与计算【知识梳理】（1）只要物体受力的同时又发生了位移，则一定有力对物体做功。（）（2）力对物体做功的正负是由力和位移间的夹角大小决定的。（）（3）作用力做正功时，反作用力一定做负功。（）（4）一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。（）20
（5）摩擦力可能对物体做正功、负功，也可能不做功．( )（6）汽车上坡时换成低挡位，其目的是减小速度得到较大的牵引力。（）（7）由P＝Fv可知，发动机功率一定时，机车的牵引力与运行速度的大小成反比。（）（8）由P＝，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率．( )（9）由P＝Fv，既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率．( )（10）由P＝Fv知，随着汽车速度的增大，它的功率也可以无限制地增大．( )考点一功的正负判断与计算1．功的正负的判断方法（1）恒力做功的判断：依据力与位移方向的夹角来判断。（2）曲线运动中做功的判断：依据F与v的方向夹角α来判断，0°≤α<90°时，力对物体做正功；90°<α≤180°时，力对物体做负功；α＝90°时，力对物体不做功。（3）依据能量变化来判断：功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。此法常用于判断两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断。2．恒力做功的计算方法3．合力做功的计算方法方法一：先求合力F合，再用W合＝F合lcosα求功。方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。方法三：根据动能定理，总功等于动能的变化量．例1．如图所示，木板可绕固定水平轴O转动。木板从水平位置OA缓慢转到OB位置，木板上的物块始终相对于木板静止。在这一过程中，物块的重力势能增加了2J。用FN表示物块受到的支持力，20
用Ff表示物块受到的摩擦力。在此过程中，以下判断正确的是( )A．FN和Ff对物块都不做功B．FN对物块做功为2J，Ff对物块不做功C．FN对物块不做功，Ff对物块做功为2JD．FN和Ff对物块所做功的代数和为0例2．（多选）如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的粗糙斜面体上，在外力作用下，斜面体以加速度a沿水平方向向左做匀加速运动，运动中物体与斜面体相对静止。则关于斜面对物体的支持力和摩擦力的做功情况，下列说法中正确的是( )A．支持力一定做正功 B．摩擦力一定做正功C．摩擦力可能不做功D．摩擦力可能做负功变式1、一物体静止在粗糙水平地面上．现用一大小为F1的水平拉力拉动物体，经过一段时间后其速度变为v。若将水平拉力的大小改为F2，物体从静止开始经过同样的时间后速度变为2v。对于上述两个过程，用WF1、WF2分别表示拉力F1、F2所做的功，Wf1、Wf2分别表示前后两次克服摩擦力所做的功，则( )A．WF2>4WF1，Wf2>2Wf1B．WF2>4WF1，Wf2＝2Wf1C．WF2<4WF1，Wf2＝2Wf1D．WF2<4WF1，Wf2<2Wf1变式2、一物块放在水平地面上，受到水平推力F的作用，力F与时间t的关系如图甲所示，物块的运动速度v与时间t的关系如图乙所示，10s后的vt图像没有画出，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是( )20
A．物块滑动时受到的摩擦力大小是6NB．物块的质量为1kgC．物块在0～10s内克服摩擦力做功为50JD．物块在10～15s内的位移为6.25m考点二变力做功的五种计算方法(一)利用动能定理求变力做功利用公式W＝Flcosα不容易直接求功时，尤其对于曲线运动或变力做功问题，可考虑由动能的变化来间接求功，所以动能定理是求变力做功的首选。例3．如图所示，一质量为m的质点在半径为R的半球形容器中（容器固定）由静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点B时，它对容器的正压力为FN。重力加速度为g，则质点自A滑到B的过程中，摩擦力对其所做的功为( )A．R(FN－3mg) B．R(2mg－FN)C．R(FN－mg)D．R(FN－2mg)变式3、如图所示，一半径为R，粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ水平。一质量为m的质点自P点上方高度R处由静止开始下落，恰好从P点进入轨道。质点滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为4mg，g为重力加速度的大小。用W表示质点从P点运动到N点的过程中克服摩擦力所做的功。则（）A．，质点恰好可以到达Q点B．，质点不能到达Q点C．，质点到达Q后，继续上升一段距离20
D．，质点到达Q后，继续上升一段距离(二)利用微元法求变力做功将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个位移上的恒力所做功的代数和。此法常用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题例4．（多选）如图所示，摆球质量为m，悬线的长为L，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力F阻的大小不变，则下列说法正确的是( )A．重力做功为mgLB．绳的拉力做功为0C．空气阻力F阻做功为－mgLD．空气阻力F阻做功为－F阻πL(三)化变力为恒力求变力做功有些变力做功问题通过转换研究对象，可转化为恒力做功，用W＝Flcosα求解。此法常用于轻绳通过定滑轮拉物体做功的问题中。例5．如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升。若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，滑块经B、C两点的动能分别为EkB和EkC，图中AB＝BC，则( )A．W1＜W2 B．W1＞W2C．W1＝W2D．无法确定W1和W220
的大小关(四)利用平均力求变力做功若物体受到的力方向不变，而大小随位移均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为＝的恒力作用，F1、F2分别为物体在初、末位置所受到的力，然后用公式W＝lcosα求此变力所做的功例6．（多选）如图所示，n个完全相同、边长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l，总质量为M，它们一起以速度v在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ，若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块所做功的大小为( )A．Mv2 B．Mv2C．μMglD．μMgl(五)利用Fx图像求变力做功在Fx图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移内所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正功，位于x轴下方的“面积”为负功，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况（如三角形、矩形、圆等规则的几何图形）例7．如图甲所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线为半圆。则小物块运动到x0处时F做的总功为( )A．0B．Fmx0C．Fmx0D．x变式4、质量为2kg20
的物体做直线运动，沿此直线作用于物体的外力与位移的关系如图所示，若物体的初速度为3m/s，则其末速度为( )A．5m/sB．m/sC．m/sD．m/s考点三功率的分析与计算1．平均功率的计算（1）利用P＝。（2）利用P＝Fcosα，其中为物体运动的平均速度。2．瞬时功率的计算（1）利用公式P＝Fvcosα，其中v为t时刻的瞬时速度。（2）利用公式P＝FvF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。（3）利用公式P＝Fvv，其中Fv为物体受的外力F在速度v方向上的分力。例8．质量为m的物体，在n个共点力作用下处于静止状态。在t=0时，将其中一个力从原来的F突然增大到4F，其他力保持不变，则经时间t时该力的瞬时功率为（）A．B．C．D．例9．起重机的钢索将重物由地面吊到空中某个高度，其速度图象如图所示，则钢索拉力的功率随时间变化的图象可能是下图中的哪一个()20
例10．如图所示，小物块甲从竖直固定的光滑圆弧轨道顶端由静止滑下，轨道半径为R，圆弧底端切线水平。小物块乙从高为R的光滑斜面顶端由静止滑下。下列判断正确的是( )A．两物块到达底端时速度相同B．两物块运动到底端的过程中重力做功相同C．两物块到达底端时动能相同D．两物块到达底端时，乙的重力做功的瞬时功率大于甲的重力做功的瞬时功率变式5、一木块静止在光滑的水平面上，将一个大小恒为F的水平拉力作用在该木块上，经过位移x时，拉力的瞬时功率为P；若将一个大小恒为2F的水平拉力作用在该木块上，使该木块由静止开始运动，经过位移x时，拉力的瞬时功率是( )A．P B．2PC．2PD．4P变式6、（多选）一质量为1kg的质点静止于光滑水平面上，从t＝0时刻开始，受到水平外力F作用，力F随时间变化的图象如图所示．则下列判断正确的是( )20
A．第2s内外力所做的功是4JB．0～2s内外力的平均功率是4WC．第2s末外力的瞬时功率最大D．第1s末与第2s末外力的瞬时功率之比为9∶4变式7、物体在水平力F1作用下，在水平面上做速度为v1的匀速运动，F1的功率为P；若在斜向上的力F2作用下，在水平面上做速度为v2的匀速运动，F2的功率也是P，则下列说法正确的是()A．F2可能小于F1，v1不可能小于v2B．F2可能小于F1，v1一定小于v2C．F2不可能小于F1，v1不可能小于v2D．F2不可能小于F1，v1一定小于v2变式8、（多选）质量为m的物体静止在粗糙的水平地面上，从t＝0时刻开始物体受到方向恒定的水平拉力F作用，拉力F与时间t的关系如图甲所示。物体在t0时刻开始运动，其运动的vt图像如图乙所示，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则( )A．物体与地面间的动摩擦因数为B．物体在t0时刻的加速度大小为C．物体所受合外力在t0时刻的功率为2F0v0D．水平力F在t0～2t0时间内的平均功率为F0关于功率的理解1．求解功率时应注意的“三个”问题20
（1）首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率；（2）平均功率与一段时间（或过程）相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间（或过程）内做功的平均功率；（3）瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻（或状态）的功率．考点四机车启动的两种理想模式1．两种启动方式的比较两种方式以恒定功率启动以恒定加速度启动P－t图和v－t图OA段过程分析v↑⇒F＝↓⇒a＝↓a＝不变⇒F不变P＝Fv↑直到P额＝Fv1运动性质加速度减小的加速直线运动匀加速直线运动，维持时间t0＝AB段过程分析F＝f⇒a＝0⇒vm＝v↑⇒F＝↓⇒a＝↓运动性质以vm匀速直线运动加速度减小的加速运动BC段无F＝f⇒a＝0⇒以vm＝匀速运动特别提醒：图表中的v1为机车以恒定加速度启动时匀加速运动的末速度，而vm为机车以额定功率运动时所能达到的最大速度。2．三个重要关系式20
（1）无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝。（2）机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束后功率最大，速度不是最大，即v＝<vm＝。（3）机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt，由动能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移或速度。例11．飞机、轮船运动时受到的阻力并不恒定，当速度很大时，阻力和速度的平方成正比，这时要把飞机、轮船的最大速度增大到原来的2倍，发动机的输出功率要增大到原来的（）A．2倍B．4倍C．6倍D．8倍例12．（多选）一质量为m的卡车在平直公路上从静止开始加速行驶，经时间t前进距离S，速度达到最大值vm。设此过程中发动机功率恒为P，卡车所受阻力为f，则这段时间内，发动机所做的功为( )A．PtB．C．Pt－fSD．fvmt例13．（2015·新课标全国Ⅱ·17）一汽车在平直公路上行驶．从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图所示．假定汽车所受阻力的大小f恒定不变．下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图线中，可能正确的是( )变式9、（多选）质量为m的汽车在平直路面上启动，启动过程的速度—时间图象如图所示．从t1时刻起汽车的功率保持不变，整个运动过程中汽车所受阻力恒为Ff，则( )20
A．0～t1时间内，汽车的牵引力等于mB．t1～t2时间内，汽车的功率等于(m＋Ff)v1C．汽车运动的最大速度v2＝(＋1)v1D．t1～t2时间内，汽车的平均速度小于例14．汽车发动机的额定功率为P=60kw，汽车质量m=5.0×103kg，汽车在水平路面上行驶时，受到的阻力是车重0.1倍，g=10m/s2，试求：（1）汽车在此路面上行驶所能达到的最大速度是多少？（2）若汽车从静止开始，保持以a=0.5m/s2的加速度作匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？（3）若从静止开始，保持额定功率做加速运动，10s后达到最大速度，求此过程中汽车的位移。20
例15．一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m的重物，当重物的速度为v1时，起重机的功率达到最大值P，以后起重机保持该功率不变，继续提升重物，直到以最大速度v2匀速上升，物体上升的高度为h，则整个过程中，下列说法正确的是( )A．钢绳的最大拉力为B．钢绳的最大拉力为mgC．重物匀加速的末速度为D．重物匀加速运动的加速度为－g变式11、在地震抗震救灾活动中，为了转移被困群众，会经常使用到直升飞机．设被救人员的质量m＝80kg，所用吊绳的拉力最大值Fm＝1200N，所用电动机的最大输出功率为Pm＝12kW，为尽快吊起被困群众，操作人员采取的办法是，先让吊绳以最大的拉力工作一段时间，而后电动机又以最大功率工作，被救人员上升h＝90m时恰好达到最大速度（g取10m/s2），试求：（1）被救人员刚到达机舱时的速度；（2）这一过程所用的时间。【易错提醒】（1）在机车功率P＝Fv中，F是机车的牵引力而不是机车所受合力或阻力，所以P＝Ffvm只体现了一种数量关系用于计算，即牵引力与阻力平衡时达到最大运行速度。（2）20
恒定功率下的启动过程一定不是匀加速运动，匀变速直线运动的公式不再适用，启动过程发动机做的功可用W＝Pt计算，不能用W＝Fl计算（因为F为变力）。（3）以恒定加速度启动只能维持一段时间，之后又要经历非匀变速直线运动，所以匀变速直线运动的公式只适用于前一段时间，切不可生搬硬套。【能力展示】【小试牛刀】1．分别对放在粗糙水平面上的同一物体施一水平拉力和一斜向上的拉力使物体在这两种情况下的加速度相同，当物体通过相同位移时，这两种情况下拉力的功和合力的功的正确关系是()A．拉力的功和合力的功分别相等B．拉力的功相等，斜向上拉时合力的功大C．合力的功相等，斜向上拉时拉力的功大D．合力的功相等，斜向上拉时拉力的功小2．（多选）如右图所示，在匀加速运动的车厢内有一人用力向前推车厢，若人与车厢始终保持相对静止，则下列说法中正确的是( )A．人对车厢的推力不做功B．人对车厢的摩擦力做负功C．人对车厢的作用力不做功D．人对车厢的作用力做负功3．（多选）一辆汽车保持功率不变驶上一斜坡，其牵引力逐渐增大，阻力保持不变，则在汽车驶上斜坡的过程中()A．加速度逐渐增大B．速度逐渐增大C．加速度逐渐减小D．速度逐渐减小4．（多选）如图所示，质量为m的木块放在倾角为α的斜面上与斜面一起水平向左匀速运动，木块（）20
A．对斜面的压力大小为mgcosαB．所受的支持力对木块不做功C．所受的摩擦力对木块做负功D．所受的摩擦力方向可能沿斜面向下5．如图所示为某中学科技小组制作的利用太阳能驱动小车的装置．当太阳光照射到小车上方的光电板时，光电板中产生的电流经电动机带动小车前进．若质量为m的小车在平直的水泥路上从静止开始沿直线加速行驶，经过时间t前进的距离为s，且速度达到最大值vm。设这一过程中电动机的功率恒为P，小车所受阻力恒为F，那么这段时间内( )A．小车做匀加速运动B．小车受到的牵引力逐渐增大C．小车受到的合外力所做的功为PtD．小车受到的牵引力做的功为Fs＋mv6．如图所示，滑雪者由静止开始沿斜坡从A点自由滑下，然后在水平面上前进至B点停下。已知斜坡、水平面与滑雪板之间的动摩擦因数都为μ，滑雪者（包括滑雪板）的质量为m。A、B两点间的水平距离为L。在滑雪者经过AB段运动的过程中，克服摩擦力做的功( )A．大于μmgL B．等于μmgLC．小于μmgLD．以上三种情况都有可能7．（多选）如图所示，木板OA水平放置，长为L，在A处放置一个质量为m的物体，现绕O点缓慢抬高A端，直到当木板转到与水平面成α角时停止转动（位置A′）．这时物体受到一个微小的干扰便开始缓慢匀速下滑，物体回到O点，在整个过程中( )20
A．摩擦力对物体做的总功为零B．支持力对物体做的总功为mgLsinαC．木板对物体做的总功为零D．木板对物体做的总功为正功8．（多选）汽车以额定功率在平直公路上匀速行驶，在t1时刻司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半，并保持该功率继续行驶，到t2时刻汽车又开始做匀速直线运动（设整个过程中汽车所受的阻力不变），则在t1～t2的这段时间内（）A．汽车的加速度逐渐减小B．汽车的加速度逐渐增大C．汽车的速度逐渐减小D．汽车的速度逐渐增大9．某汽车以额定功率在水平路面上行驶，空载时的最大速度为v1，装满货物后的最大速度为v2，已知汽车空车的质量为m0，汽车所受的阻力跟车重成正比，则汽车后来所装货物的质量是( )A．m0B．m0C．m0D．m010．（多选）一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5s内做匀加速直线运动，5s末达到额定功率，之后保持以额定功率运动。其v—t图象如图所示。已知汽车的质量为m=2×103kg，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，则以下说法正确的是()A．汽车在前5s内的牵引力为4×103NB．汽车在前5s内的牵引力为6×103NC．汽车的额定功率为60kWD．汽车的最大速度为20m/s11．（多选）起重机的钢绳吊着物体由静止开始竖直向上运动，先以加速度a（a＜g20
）匀加速运动再匀速运动，最后匀减速运动到静止。则关于各段运动中绳的拉力的平均功率，下列说法中正确的是（）A．第一段平均功率最大B．第二段平均功率最大C．第三段平均功率最小D．第一段平均功率最小12．如图所示，质量为m的小球以初速度v0水平抛出，恰好垂直打在倾角为θ的斜面上，则小球落在斜面上时重力的瞬时功率为（不计空气阻力）( )A．mgv0tanθB．C．D．mgv0cosθ13．用竖直向上大小为30N的力F，将2kg的物体由沙坑表面静止抬升1m时撤去力F，经一段时间后，物体落入沙坑，测得落入沙坑的深度为20cm。若忽略空气阻力，g取10m/s2。则物体克服沙坑的阻力所做的功为（）A．20JB．24JC．34JD．54J14．（多选）质量为m的物体放在水平面上，它与水平面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g.用水平力拉物体，运动一段时间后撤去此力，最终物体停止运动．物体运动的v－t图象如图所示．下列说法正确的是( )20
A．水平拉力大小为F＝mB．物体在3t0时间内位移大小为v0t0C．在0～t0时间内水平拉力做的功为mvD．在0～3t0时间内物体克服摩擦力做功的平均功率为μmgv0【大显身手】15．（多选）放在粗糙水平面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6s内其速度与时间的图象和该拉力的功率与时间的图象分别如图甲、乙所示．下列说法正确的是( )甲乙A．滑动摩擦力的大小为5NB．0～6s内物体的位移大小为30mC．0～6s内拉力做的功为70JD．合外力在0～6s内做的功与0～2s内做的功相等20
第1讲功和功率答案例1、B例2、ACD变式1、C变式2、D例3、A变式3、C例4、ABD例5、B例6、B例7、C变式4、B例8、D例9、B例10、D变式5、C变式6、BD变式7、B变式8、AD例11、D例12、AD例13、A变式9、BC例14、（1）12m/s （2）16s（3）48m例15、D变式11、（1）15m/s （2）7.75s解析：（1）第一阶段绳以最大拉力拉着被救人员匀加速上升，当电动机达到最大功率时，功率保持不变，被救人员变加速上升，速度增大，拉力减小，当拉力与重力相等时速度达到最大。由Pm＝FTvm＝mgvm得vm＝＝m/s＝15m/s（2）a1＝＝m/s2＝5m/s2匀加速阶段的末速度v1＝＝m/s＝10m/s，时间t1＝＝s＝2s上升的高度h1＝t1＝×2m＝10m对于以最大功率上升过程，由动能定理得：Pmt2－mg(h－h1)＝mv－mv代入数据解得t2＝5.75s，所以此过程所用总时间为t＝t1＋t2＝（2＋5.75）s＝7.75s。【能力展示】1、D2、BD3、CD4、AC5、D6、B7、BC8、AC9、B20
10、BC11、BC12、B13、C14、BD15．BCD20
