专题20空间向量一、选择题部分1.(2021•新高考全国Ⅰ卷•T12)在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（）A.当时，的周长为定值B.当时，三棱锥的体积为定值C.当时，有且仅有一个点，使得D.当时，有且仅有一个点，使得平面【答案】BD．【解析】易知，点在矩形内部（含边界）．对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以-14-,，此时与重合，故D正确．故选BD．2.(2021•河南焦作三模•理T11)在棱长为2的正四面体ABCD中，点P为△ABC所在平面内一动点，且满足||+||＝，则PD的最大值为（ ）A．3B．C．D．2【答案】B．【解析】以AB的中点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则O（0，0，0），A（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（），，因为||+||＝＞AB＝2，故点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，所以，2c＝2，解得，所以点P的轨迹方程为，设，则＝＝，令t＝cosθ，则t∈[﹣1，1]，所以f（t）＝，则，令f'（t）＝0，解得，当时，f'（t）＞0，则f（t）单调递增，当时，f'（t）＜0，则f（t）单调递减，所以当时，f（t）取得最大值，-14-,故PD的最大值为．二、解答题部分3.(2021•高考全国甲卷•理T19)已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?【解析】因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以因为，，所以，又，所以平面．所以两两垂直．以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．-14-,所以，．由题设（）．（1）因为，所以，所以．（2）设平面的法向量为，因为，所以，即．令，则因为平面的法向量为，设平面与平面的二面角的平面角为，则．当时，取最小值为，此时取最大值为．-14-,所以，此时．4.(2021•浙江卷•T19)如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【解析】（1）在中，，，，由余弦定理可得，所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以．（2）由，，而与相交，所以平面，因为，所以，取中点，连接，则两两垂直，以点为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,则,又为中点，所以.由（1）得平面，所以平面的一个法向量从而直线与平面所成角的正弦值为．-14-,5.(2021•山东聊城三模•T19.)如图，在平面四边形ABCD中，BC=CD，BC⊥CD，AD⊥BD，以BD为折痕把△ABD折起，使点A到达点P的位置，且PC⊥BC．（1）证明：PD⊥CD；（2）若M为PB的中点，二面角P-BC-D的大小为60°，求直线PC与平面MCD所成角的正弦值．【解析】（1）证明：因为BC⊥CD，BC⊥PC，PC∩CD=C，所以BC⊥平面PCD，又因为PD⊂平面PCD，所以BC⊥PD，又因为PD⊥BD，BD∩BC=B，所以PD⊥平面BCD，又因为CD⊂平面BCD，所以PD⊥CD（2）解：因为PC⊥BC,CD⊥BC，所以∠PCD是二面角P-BC-D的平面角，即∠PCD=60°，在Rt△PCD中，PD=CDtan60°=3CD，取BD的中点O，连接OM,OC，因为BC=CD,BC⊥CD,-14-,所以OC⊥BD,由（1）知，PD⊥平面BCD，OM为△PBD的中位线，所以OM⊥BD,OM⊥OC，即OM,OC,BD两两垂直，以O为原点建立如图所示的坐标系O-xyz，设OB=1，则P(0,1,6),C(1,0,0),D(0,1,0),M(0,0,62),CP=(-1,1,6),CD=(-1,1,0)，CM=(-1,0,62)，设平面MCD的一个法向量为n=(x,y,z)，则由{n⋅CD=0,n⋅CM=0,得{-x+y=0,-x+62z=0,令z=2，得n=(3,3,2)，所以cos〈n,CP〉=CP⋅n|CP||n|=34，所以直线PC与平面MCD所成角的正弦值为34【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，用空间向量求直线与平面的夹角，二面角的平面角及求法【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定和性质即可证出。（2）根据二面角的平面角可知 ∠PCD=60°， 取 BD 的中点 O ，连接 OM,OC，以 O 为原点建立如图所示的坐标系 O-xyz ，设 OB=1 ，根据空间向量即可求出直线和平面夹角。6.(2021•河南郑州三模•理T18)如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，AD＝CD＝1，E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若PC＞1，直线PA与平面EAC所成角的正弦值为，求二面角P﹣AC﹣E的余弦值．-14-,【解析】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，又AB＝2，AD＝CD＝1，∴，∴AC2+BC2＝AB2，则AC⊥BC，又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0），设P（0，0，a）（a＞1），则，设平面EAC的一个法向量为，则，则可取，设直线PA与平面EAC所成角为θ，则，∴a4﹣5a2+4＝0，解得a＝2或a＝1（舍去），则，取，则，故平面PAC的一个法向量为，∴，又二面角P﹣AC﹣E的平面角为锐角，-14-,∴二面角P﹣AC﹣E的余弦值为．7.(2021•重庆名校联盟三模•T19．)如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB＝3DC＝6，BM＝2MP．（1）求证：CM∥平面PAD；（2）若AD＝1，AD⊥DC，PD⊥PC且PD＝PC．求直线CM与平面PAB所成的角．【解析】（1）证明：如图，取线段PA的靠近P的三等分点为N，连接DN，NM，则＝＝，所以MN∥AB且MN＝AB，又DC∥AB且DC＝AB，所以四边形MNDC为平行四边形，所以DN∥CM，又DN⊂平面PAD，CM⊄平面PAD，所以CM∥平面PAD．（2）如图，取CD中点为O，连接OP，过O作OE∥AD交AB于E，因为平面PCD⊥平面ABCD，OP⊥DC，由面面垂直的性质定理可知，OP⊥平面ABCD．所以直线OP，OC，OE两两垂直，以O为原点，分别以射线OE，OC，OP的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，所以＝+＝+＝（，，），＝（0，6，0），＝（﹣1，1，1），设平面PAB的法向量为＝（x，y，z），则，即，-14-,取x＝1，得＝（1，0，1），所以cos＜，＞＝＝，所以直线CM与平面PAB所成的角为45°．8.(2021•上海嘉定三模•T17．)如图，在四棱雉锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD＝AP＝2，BC＝1，且Q为线段BP的中点．（1）求直线CQ与PD平面所成角的大小；（2）求直线CQ与平面ADQ所成角的大小．【解析】（1）以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立坐标系．A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），D（0，2，0），C（2，1，0）-14-,则Q（1，0，1），，，设异面直线CQ与PD所成的角为α，则，即异面直线CQ与PD所成角的大小为．（2）设平面ADQ的法向量为，由，可得，所以取＝（1，0，﹣1），设直线CQ与平面ADQ所成的角为β，则．即直线CQ与平面ADQ所成角的大小为．9.(2021•辽宁朝阳三模•T20．)如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，以BC为直径的圆O（O为圆心）过点A，且AO＝AC＝AP＝2，PA底面ABCD，M为PC的中点．（1）证明：平面OAM⊥平面PCD；（2）求二面角O﹣MD﹣C的余弦值．【解析】（1）证明：由题意点A为圆O上一点，则AB⊥AC，由PA⊥底面ABCD，知PA⊥AB，又PA∩AC＝A，PA、AC⊂平面PAC，∴AB⊥平面PAC，-14-,∵AM⊂平面PAC，∴AB⊥AM，∵M为PC的中点，∴AM⊥PC，∵CD∩PC＝C，∴AM⊥平面PCD，∵AM⊂平面OAM，∴平面OAM⊥平面PCD．（2）如图，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，2，0），D（﹣2，2，0），M（0，1，1），O（，1，0），＝（﹣，0，1），＝（﹣3，1，0），设平面OMD的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，3，），由（1）知AM⊥平面PCD，则平面CDM的一个法向量＝（0，1，1），∴cos＜＞＝＝，由图可知二面角O﹣MD﹣C的锐角，则二面角O﹣MD﹣C的余弦值为．10.(2021•湖南三模•T20．)如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面为矩形，平面AA1D1D⊥平面CC1D1D，且CC1＝CD＝DD1＝C1D1＝1．（1）证明：AD⊥平面CC1D1D；（2）若A1C与平面CC1D1D所成角为，求二面角C﹣AA1﹣D的余弦值．-14-,【解析】（1）证明：在梯形CC1D1D中，因为CC1＝CD＝DD1＝，所以∠DD1C1＝，连结DC1，由余弦定理可求得DC1＝，因为，所以DC1⊥DD1，因为平面AA1D1D⊥平面CC1D1D且交于DD1，所以DC1⊥平面AA1D1D，因为AD⊂平面AA1D1D，所以AD⊥DC1，因为AD⊥DC，DC∩DC1＝D，所以AD⊥平面CC1D1D；（2）解：连结A1C1，由（1）可知，A1D1⊥平面CC1D1D，以D1为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为A1D1⊥平面CC1D1D，所以A1C在平面CC1D1D内的射影为D1C，所以A1C与平面CC1D1D所成的角为∠A1CD1，即∠A1CD1＝，在Rt△A1CD1中，因为，所以A1D1＝3，则D1（0，0，0），A1（3，0，0），D（0，），C（0，），C1（0，2，0），所以，，设平面AA1D1D的法向量为，则有，即，令y＝3，则x＝0，z＝，故，设平面AA1C1C的法向量为，则有，即，令a＝2，则b＝3，，故，所以＝，由图可知，二面角C﹣AA1﹣D锐二面角，-14-,故二面角C﹣AA1﹣D的余弦值为．-14-
