2021年浙江省杭州市中考数学试卷一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）﹣（﹣2021）＝（ ）A．﹣2021B．2021C．﹣D．2．（3分）“奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了10909米的我国载人深潜记录．数据10909用科学记数法可表示为（ ）A．0.10909×105B．1.0909×104C．10.909×103D．109.09×1023．（3分）因式分解：1﹣4y2＝（ ）A．（1﹣2y）（1+2y）B．（2﹣y）（2+y）C．（1﹣2y）（2+y）D．（2﹣y）（1+2y）4．（3分）如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（ ）A．PT≥2PQB．PT≤2PQC．PT≥PQD．PT≤PQ5．（3分）下列计算正确的是（ ）A．＝2B．＝﹣2C．＝±2D．＝±26．（3分）某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次．设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x（x＞0），则（ ）A．60.5（1﹣x）＝25B．25（1﹣x）＝60.5C．60.5（1+x）＝25D．25（1+x）＝60.57．（3分）某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（ ）A．B．C．D．第20页（共20页）
8．（3分）在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（ ）A．B．C．D．9．（3分）已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线AD；③以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB于点P，则AP：AB＝（ ）A．1：B．1：2C．1：D．1：10．（3分）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2具有性质P的是（ ）A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1B．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1D．y1＝﹣和y2＝﹣x+1二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。11．（4分）计算：sin30°＝ ．12．（4分）计算：2a+3a＝ ．13．（4分）如图，已知⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，且OP＝2．若PT是⊙O的切线，T为切点，连结OT，则PT＝ ．第20页（共20页）
14．（4分）现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示．甲种糖果乙种糖果单价（元/千克）3020千克数23将这2千克甲种糖果和3千克乙种糖果混合成5千克什锦糖果，若商家用加权平均数来确定什锦糖果的单价，则这5千克什锦糖果的单价为 元/千克．15．（4分）如图，在直角坐标系中，以点A（3，1）为端点的四条射线AB，AC，AD，AE分别过点B（1，1），点C（1，3），点D（4，4），点E（5，2），则∠BAC ∠DAE（填“＞”、“＝”、“＜”中的一个）．16．（4分）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF．若MF＝AB，则∠DAF＝ 度．三、解答题：本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。第20页（共20页）
17．（6分）以下是圆圆解不等式组的解答过程：解：由①，得2+x＞﹣1，所以x＞﹣3．由②，得1﹣x＞2，所以﹣x＞1，所以x＞﹣1．所以原不等式组的解是x＞﹣1．圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．18．（8分）为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360名学生进行一分钟跳绳次数的测试，并把测得数据分成四组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）．某校某年级360名学生一分钟跳绳次数的频数表组别（次）频数100~13048130~16096160~190a190~22072（1）求a的值；（2）把频数直方图补充完整；（3）求该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比．第20页（共20页）
19．（8分）在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝FC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．问题：如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在AB边上（不与点A，点B重合），点E在AC边上（不与点A，点C重合），连接BE，CD，BE与CD相交于点F．若 ，求证：BE＝CD．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．20．（10分）在直角坐标系中，设函数y1＝（k1是常数，k1＞0，x＞0）与函数y2＝k2x（k2是常数，k2≠0）的图象交于点A，点A关于y轴的对称点为点B．（1）若点B的坐标为（﹣1，2），①求k1，k2的值；②当y1＜y2时，直接写出x的取值范围；（2）若点B在函数y3＝（k3是常数，k3≠0）的图象上，求k1+k3的值．21．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知∠ABC＝60°，∠C＝45°．（1）求证：AB＝BD；（2）若AE＝3，求△ABC的面积．第20页（共20页）
22．（12分）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；（2）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6．23．（12分）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．（1）求证：△ABG∽△AFC．（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD．第20页（共20页）
2021年浙江省杭州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）﹣（﹣2021）＝（ ）A．﹣2021B．2021C．﹣D．【解答】解：﹣（﹣2021）＝2021．故选：B．2．（3分）“奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了10909米的我国载人深潜记录．数据10909用科学记数法可表示为（ ）A．0.10909×105B．1.0909×104C．10.909×103D．109.09×102【解答】解：10909＝1.0909×104．故选：B．3．（3分）因式分解：1﹣4y2＝（ ）A．（1﹣2y）（1+2y）B．（2﹣y）（2+y）C．（1﹣2y）（2+y）D．（2﹣y）（1+2y）【解答】解：1﹣4y2＝1﹣（2y)2＝（1﹣2y）（1+2y）．故选：A．4．（3分）如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（ ）A．PT≥2PQB．PT≤2PQC．PT≥PQD．PT≤PQ【解答】解：∵PQ⊥l，点T是直线l上的一个动点，连结PT，第20页（共20页）
∴PT≥PQ，故选：C．5．（3分）下列计算正确的是（ ）A．＝2B．＝﹣2C．＝±2D．＝±2【解答】解：A．＝2，故本选项符合题意；B．＝2，故本选项不符合题意；C．＝2，故本选项不符合题意；D．＝2，故本选项不符合题意；故选：A．6．（3分）某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次．设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x（x＞0），则（ ）A．60.5（1﹣x）＝25B．25（1﹣x）＝60.5C．60.5（1+x）＝25D．25（1+x）＝60.5【解答】解：设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x（x＞0），则25（1+x）＝60.5．故选：D．7．（3分）某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（ ）A．B．C．D．【解答】解：把3节车厢分别记为A、B、C，画树状图如图：共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，∴甲和乙从同一节车厢上车的概率为＝，故选：C．第20页（共20页）
8．（3分）在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（ ）A．B．C．D．【解答】解：由图象知，A、B、D组成的点开口向上，a＞0；A、B、C组成的二次函数开口向上，a＞0；B、C、D三点组成的二次函数开口向下，a＜0；A、D、C三点组成的二次函数开口向下，a＜0；即只需比较A、B、D组成的二次函数和A、B、C组成的二次函数即可．设A、B、C组成的二次函数为y1＝a1x2+b1x+c1，把A（0，2），B（1，0），C（3，1）代入上式得，，解得a1＝；设A、B、D组成的二次函数为y＝ax2+bx+c，把A（0，2），B（1，0），D（2，3）代入上式得，，解得a＝，即a最大的值为，故选：A．9．（3分）已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线AD；③以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB第20页（共20页）
于点P，则AP：AB＝（ ）A．1：B．1：2C．1：D．1：【解答】解：∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°,∵AD平分∠BAC,∴∠EAB＝×90°＝45°,∵EP⊥AB,∴∠APE＝90°,∴∠EAP＝∠AEP＝45°,∴AP＝PE,∴设AP＝PE＝x,故AE＝AB＝x,∴AP：AB＝x:x＝1:．故选：D．10．（3分）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2具有性质P的是（ ）A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1B．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1D．y1＝﹣和y2＝﹣x+1【解答】解：A．令y1+y2＝0，则x2+2x﹣x﹣1＝0，解得x＝或x＝，即函数y1和y2具有性质P，符合题意；B．令y1+y2＝0，则x2+2x﹣x+1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有有性质P，不符合题意；第20页（共20页）
C．令y1+y2＝0，则﹣﹣x﹣1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有有性质P，不符合题意；D．令y1+y2＝0，则﹣﹣x+1＝0，整理得，x2﹣x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有有性质P，不符合题意；故选：A．二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。11．（4分）计算：sin30°＝ ．【解答】解：sin30°＝．12．（4分）计算：2a+3a＝ 5a ．【解答】解：2a+3a＝5a，故答案为5a．13．（4分）如图，已知⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，且OP＝2．若PT是⊙O的切线，T为切点，连结OT，则PT＝ ．【解答】解：∵PT是⊙O的切线，T为切点，∴OT⊥PT，在Rt△OPT中，OT═1，OP═2，∴PT═══，故：PT═．14．（4分）现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示．甲种糖果乙种糖果单价（元/千克）3020千克数23第20页（共20页）
将这2千克甲种糖果和3千克乙种糖果混合成5千克什锦糖果，若商家用加权平均数来确定什锦糖果的单价，则这5千克什锦糖果的单价为 24 元/千克．【解答】解：这5千克什锦糖果的单价为：（30×2+20×3）÷5＝24（元/千克）．故答案为：24．15．（4分）如图，在直角坐标系中，以点A（3，1）为端点的四条射线AB，AC，AD，AE分别过点B（1，1），点C（1，3），点D（4，4），点E（5，2），则∠BAC ═ ∠DAE（填“＞”、“＝”、“＜”中的一个）．【解答】解：连接DE，由上图可知AB═2，BC═2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC═45°，又∵AE═══，同理可得DE══，AD══，则在△ADE中，有AE2+DE2═AD2，∴△ADE是等腰直角三角形，第20页（共20页）
∴∠DAE═45°，∴∠BAC═∠DAE，故答案为：═．16．（4分）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF．若MF＝AB，则∠DAF＝ 18 度．【解答】解：连接DM,如图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°．∵M是AC的中点，∴DM＝AM＝CM,∴∠FAD＝∠MDA,∠MDC＝∠MCD．∵DC,DF关DE对称，∴DF＝DC,∴∠DFC＝∠DCF．∵MF＝AB,AB＝CD,DF＝DC,∴MF＝FD．∴∠FMD＝∠FDM．∵∠DFC＝∠FMD+∠FDM,∴∠DFC＝2∠FMD．∵∠DMC＝∠FAD+∠ADM,∴∠DMC＝2∠FAD．第20页（共20页）
设∠FAD＝x°,则∠DFC＝4x°,∴∠MCD＝∠MDC＝4x°．∵∠DMC+∠MCD+∠MDC＝180°,∴2x+4x+4x＝180．∴x＝18．故答案为：18．三、解答题：本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。17．（6分）以下是圆圆解不等式组的解答过程：解：由①，得2+x＞﹣1，所以x＞﹣3．由②，得1﹣x＞2，所以﹣x＞1，所以x＞﹣1．所以原不等式组的解是x＞﹣1．圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．【解答】解：圆圆的解答过程有错误，正确过程如下：由①得2+2x＞﹣1，∴2x＞﹣3，∴x＞﹣，由②得1﹣x＜2，∴﹣x＜1，∴x＞﹣1，∴不等式组的解集为x＞﹣1．18．（8分）为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360名学生进行一分钟跳绳次数的测试，并把测得数据分成四组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）．某校某年级360名学生一分钟跳绳次数的频数表组别（次）频数第20页（共20页）
100~13048130~16096160~190a190~22072（1）求a的值；（2）把频数直方图补充完整；（3）求该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比．【解答】解：（1）a＝360﹣（48+96+72）＝144；（2）补全频数分布直方图如下：（3）该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比为×100%＝20%．19．（8分）在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝FC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．第20页（共20页）
问题：如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在AB边上（不与点A，点B重合），点E在AC边上（不与点A，点C重合），连接BE，CD，BE与CD相交于点F．若 ①AD＝AE（②∠ABE＝∠ACD或③FB＝FC） ，求证：BE＝CD．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．【解答】证明：选择条件①的证明为：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD；选择条件②的证明为：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴BE＝CD；选择条件③的证明为：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∵FB＝FC，第20页（共20页）
∴∠FBC＝∠FCB，∴∠ABC﹣∠FBC＝∠ACB﹣∠FCB，即∠ABE＝∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴BE＝CD．故答案为①AD＝AE（②∠ABE＝∠ACD或③FB＝FC）20．（10分）在直角坐标系中，设函数y1＝（k1是常数，k1＞0，x＞0）与函数y2＝k2x（k2是常数，k2≠0）的图象交于点A，点A关于y轴的对称点为点B．（1）若点B的坐标为（﹣1，2），①求k1，k2的值；②当y1＜y2时，直接写出x的取值范围；（2）若点B在函数y3＝（k3是常数，k3≠0）的图象上，求k1+k3的值．【解答】解：（1）①由题意得，点A的坐标是（1，2），∵函数y1＝（k1是常数，k1＞0，x＞0）与函数y2＝k2x（k2是常数，k2≠0）的图象交于点A，∴2＝，2＝k2，∴k1＝2，k2＝2；②由图象可知，当y1＜y2时，x的取值范围是x＞1；（2）设点A的坐标是（x0，y），则点B的坐标是（﹣x0，y），∴k1＝x0•y，k3＝﹣x0•y，∴k1+k3＝0．第20页（共20页）
21．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知∠ABC＝60°，∠C＝45°．（1）求证：AB＝BD；（2）若AE＝3，求△ABC的面积．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∵∠ADB＝∠DBC+∠C＝75°，∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝75°，∴∠BAC＝∠ADB，∴AB＝BD；（2）解：由题意得，BE＝＝，EC＝＝3，∴BC＝3+，∴S△ABC＝BC×AE＝．22．（12分）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；（2）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6．【解答】解：（1）由题意，得,解得,所以，该函数表达式为y＝x2﹣2x+1．并且该函数图象的顶点坐标为（1,0）．（2）由题意，得P＝p2+p+1,Q＝q2+q+1,所以P+Q＝p2+p+1+q2+q+1第20页（共20页）
＝p2+q2+4＝(2﹣q)2+q2+4＝2(q﹣1)2+6≥6，由条件p≠q，知q≠1．所以P+Q＞6，得证．23．（12分）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．（1）求证：△ABG∽△AFC．（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD．【解答】（1）证明：∵AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠FAC，又∵∠G＝∠C，∴△ABC∽△AFC；（2）解：由（1）知，△ABC∽△AFC，∴＝，∵AC＝AF＝b，∴AB＝AG＝a，∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b；（3）证明：∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG，∴∠BAG＝∠CBG，∵∠ABD＝∠CBE，∴∠BDG＝∠BAG+∠ABD＝∠CBG+∠CBE＝∠EBG，又∵∠DGB＝∠BGE，第20页（共20页）
∴△DGB∽△BGE，∴＝，∴BG2＝GE•GD．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/6/257:43:46；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557第20页（共20页）
