导数与切线方程1．切线方程的求解1．已知，则曲线在点处的切线方程为_________．【答案】【解析】∵点在上，又，，∴曲线在处的切线方程为，即．故答案为．2．曲线过点的切线方程是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得点不在曲线上，设切点为，因为，所以所求切线的斜率，所以．因为点是切点，所以，所以，即．设，明显在上单调递增，且，所以有唯一解，则所求切线的斜率，故所求切线方程为，故选B．3．已知函数（且）．14
（1）求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调区间．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）∵，∴，∴，又，∴，∴所求切线方程为．（2）由题意知，函数的定义域为，由（1）知，∴，易知，①当时，令，得或；令，得．②当时，，令，得；令，得或．③当时，．④当时，，令，得；令，得或．综上，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，；当时，函数在上单调递减；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，14
；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．2．已知切线方程求参数的取值范围1．已知，直线与曲线相切，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为直线与曲线相切，所以设切点为，则，因为，所以，则切线方程为，因为过点，代入可得．令，则在上恒成立，所以在上单调递增，且，所以切点为，则，故选B．2．已知，直线与曲线相切，则的最小值是________．【答案】【解析】根据题意，设直线与曲线的切点为，因为，直线的斜率为，14
所以，，，所以，因为，所以，当且仅当时等号成立．所以的最小值是，故答案为．3．公切线问题1．若曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则________．【答案】或【解析】因为，所以，则，所以曲线在点处的切线方程为，设与相切于点，因为，所以，则，，可得，从而，故答案为．2．已知（e为自然对数的底数），，则与的公切线条数为_______．【答案】2【解析】根据题意，设直线与相切于点，与相切于点，14
对于，其导数为，则有，则直线的方程为，即，对于，其导数为，则有，则直线的方程为，即，直线是与的公切线，则，可得，则或，故直线的方程为或，则与的公切线条数是2条，故答案为2．3．若函数与存在两条公切线，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设切线与曲线相切于点，对函数求导得，所以，曲线在点处的切线方程为，即，联立可得，由题意可得且，可得，令，其中，则．当时，，此时函数单调递增，14
当时，，此时函数单调递减，所以，．且当时，，当时，，如下图所示：由题意可知，直线与曲线有两个交点，则，解得，故选D．4．若函数与函数的图象存在公切线，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，设切点为，则，则公切线方程为，即，联立，可得，所以，，整理可得，由可得，解得，令，其中，则，14
令，则，函数在上单调递增，当时，，即，此时函数单调递减，当时，，即，此时函数单调递增，所以，，且当时，，所以，函数的值域为，故，故选A．5．若存在斜率为的直线与曲线与都相切，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设直线与、的切点分别为、，因为，，所以，，因为直线与、都相切，所以，解得，则两切点重合，即，，，设，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，则，因为时，，所以，，14
实数的取值范围为，故选A．6．已知函数，．（1）求函数的极值；（2）证明：有且只有两条直线与函数，的图象都相切．【答案】（1）极大值为，没有极小值；（2）证明见解析．【解析】（1）的定义域为，且，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值点，故的极大值为，没有极小值．（2）设直线分别切，的图象于点，，由可得，得的方程为，即；由可得，得的方程，即．比较的方程，得，消去，得．令（），则．14
当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．因为，所以在上有一个零点；由，得，所以在上有一个零点，所以在上有两个零点，故有且只有两条直线与函数，的图象都相切．4．其他1．若过点可以作曲线且的两条切线，则（）A．B．C．D．与的大小关系与有关【答案】D【解析】设切点为，则，所以切线方程为，因为点在切线上，所以，即，令，则，令，得，当时，；当时，，所以当时，取得极小值，因为过点可以作曲线且的两条切线，14
所以，即，所以与的大小关系与有关，故选D．2．已知函数，若曲线存在两条过点的切线，则a的取值范围是________．【答案】或【解析】由题得，设切点坐标为，则切线方程为，又切线过点，可得，整理得，因为曲线存在两条切线，故方程有两个不等实根且，若，则，为两个重根，不成立，即满足，解得或，故的取值范围是或，故答案为或．3．在平面直角坐标系中，已知，，则的最小值为（）A．9B．C．D．【答案】B【解析】由，则，又，的最小值转化为上的点与14
上的点的距离的平方的最小值，由，得，与平行的直线的斜率为1，∴，解得或（舍），可得切点为，切点到直线之间的距离的平方，即为的最小值，的最小值为，故选B．4．如图所示，动点P，Q分别在函数，上运动，则的最小值为________．【答案】【解析】如题图，两个函数都是定义域上的单调递增函数，又，在定义域上分别单调递增、单调递减，所以函数递增的速度由慢到快，递增的速度由快到慢，设动点，，当且仅当满足时，取得最小值，由图象的示意图不难发现，该方程组有唯一一组解：，，所以，，所以的最小值为，14
故答案为．5．设点P在曲线上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为_______．【答案】【解析】令、分别向上平移一个单位可得、，而与关于对称，∴当两条曲线在P、Q处的切线均与平行时，P、Q关于对称，|PQ|有最小值，对应曲线平移到、后，P、Q关于对称即可，∴令，则，∴有，则，即，∴到的距离，∴．故答案为．6．（多选）若函数的图象上存在两点，使得的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质．下列函数中具有T性质的是（）A．B．C．，D．【答案】ACD【解析】当时，，当时，满足条件；14
当时，恒成立，不满足条件；当，时，，当，满足条件；当时，，函数单调递增，且，，所以存在，，满足条件，故选ACD．7．（多选）已知函数，若的图象存在两条相互垂直的切线，则的值可以是（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】∵函数，定义域为，∴，∴，当且仅当时，取等号，要使的图象存在两条相互垂直的切线，则，，所以的值必有一正一负，当时，，不合题意，当时，，不合题意，当时，，则，，例如，，故的值可以是，14
当时，，则，，例如，，故的值可以是，所以的值可以是或，故选AB．14
