第5课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质1．会用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象；2．会用配方法或公式法求二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴，并掌握其性质；(重点)3．二次函数性质的综合应用．(难点)一、情境导入火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用h＝－5t2＋150t＋10表示．经过多长时间火箭达到它的最高点？二、合作探究探究点一：化二次函数y＝ax2＋bx＋c为y＝a(x－h)2＋k的形式把抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式为y＝x2－3x＋5，则( )A．b＝3，c＝7B．b＝6，c＝3C．b＝－9，c＝－5D．b＝－9，c＝21解析：y＝x2－3x＋5化为顶点式为y＝(x－)2＋.将y＝(x－)2＋向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，即为y＝x2＋bx＋c.则y＝x2＋bx＋c＝(x＋)2＋，化简后得y＝x2＋3x＋7，即b＝3，c＝7.故选A.方法总结：二次函数由一般式化为顶点式，平移时遵循“左正右负，上正下负”，逆向推理则相反．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题探究点二：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质【类型一】二次函数与一次函数图象的综合在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是( )解析：A、B中由函数y＝mx＋m的图象可知m＜0，即函数y＝mx2＋2x＋2开口方向朝下，对称轴为x＝－＝－＝－＞0，则对称轴应在y轴右侧，故A、B选项错误；C中由函数y＝mx＋m的图象可知m＞0，即函数y＝mx2＋2x＋2开口方向朝上，对称轴为x＝－,＝－＝－＜0，则对称轴应在y轴左侧，故C选项错误；D中由函数y＝mx＋m的图象可知m＜0，即函数y＝mx2＋2x＋2开口方向朝下，对称轴为x＝－＝－＝－＞0，则对称轴应在y轴右侧，与图象相符，故D选项正确．故选D.方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．【类型二】二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质若点A(2，y1)，B(－3，y2)，C(－1，y3)三点在抛物线y＝x2－4x－m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是( )A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y2解析：∵二次函数y＝x2－4x－m中a＝1＞0，∴开口向上，对称轴为x＝－＝2.∵A(2，y1)中x＝2，∴y1最小．又∵B(－3，y2)，C(－1，y3)都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故y2＞y3.∴y2＞y3＞y1.故选C.方法总结：当二次项系数a＞0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题【类型三】二次函数图象的位置与各项系数符号的关系已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列四个结论：①a＜0；②a＋b＋c＞0；③－＞0；④abc＞0.其中正确的结论是________．解析：由抛物线的开口方向向下可推出a＜0，抛物线与y轴的正半轴相交，可得出c＞0，对称轴在y轴的右侧，a，b异号，b＞0，∴abc＜0；∵对称轴在y轴右侧，对称轴为－＞0；由图象可知：当x＝1时，y＞0，∴a＋b＋c＞0.∴①②③④都正确．方法总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题【类型四】二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为( )A．3 B．－1 C．4 D．4或－1解析：∵二次函数y＝ax2＋4x＋a－1有最小值2，∴a＞0，y最小值＝＝＝2，整理，得a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.∵a＞0，∴a＝4.故选C.方法总结：求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题探究点三：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与几何图形的综合应用如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(2，0)、B(0，－6)两点．,(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．解：(1)把A(2，0)、B(0，－6)代入y＝－x2＋bx＋c得解得∴这个二次函数的解析式为y＝－x2＋4x－6；(2)∵该抛物线对称轴为直线x＝－＝4，∴点C的坐标为(4，0)，∴AC＝OC－OA＝4－2＝2，∴S△ABC＝×AC×OB＝×2×6＝6.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题三、板书设计本节课所学的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质可以看作是y＝ax2，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k的图象和性质的归纳与综合，让学生初步体会由简单到复杂，由特殊到一般的认识规律.
