1.3不共线三点确定二次函数的表达式第1章二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结,学习目标1.通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究，掌握求二次函数表达式的方法；(重点)2.会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的表达式，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用．(难点),导入新课复习引入1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？2个2个,2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？待定系数法(1)设：（表达式）(2)代：（坐标代入）(3)解：方程（组）(4)还原：（写表达式）,讲授新课一般式法求二次函数的表达式一探究归纳问题1（1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？3个3个（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分，要求这个二次函数的表达式.x-3-2-1012y010-3-8-15,解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式.9a-3b+c=0，a-b+c=0，c=-3，解得a=-1，b=-4，c=-3.∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.待定系数法步骤：1.设：（表达式）2.代：（坐标代入）3.解：方程（组）4.还原：（写解析式）,这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是：①设函数表达式为y=ax2+bx+c；②代入后得到一个三元一次方程组；③解方程组得到a,b,c的值；④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.归纳总结一般式法求二次函数表达式的方法,典例精析例1一个二次函数的图象经过(0,1)、(2,4)、(3,10)三点，求这个二次函数的表达式.解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经过点(0,1)，可得c=1.又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得4a+2b+1=4，9a+3b+1=10，解这个方程组，得∴所求的二次函数的表达式是,例2已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？（1）P（1，-5），Q（-1，3），R（2，-3）；（2）P（1，-5），Q（-1，3），M（2，-9）.解（1）设有二次函数y=ax2+bx+c，它的图象经过P，Q，R三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组：a+b+c=-5，a-b+c=3，4a+2b+c=-3，解得a=2，b=-4，c=-3.因此，二次函数y=2x2-4x-3的图象经过P，Q，R三点.,(2)设有二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点P，Q，M三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组：a+b+c=-5，a-b+c=3，4a+2b+c=-9，解得a=0，b=-4，c=-1.因此，一次函数y=-4x-1的图象经过P，Q，M三点.这说明没有一个这样的二次函数，它的图象能经过P，Q，M三点.,问题：例2说明了什么？若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定唯一的一个二次函数，它的图象经过这三点.二次函数y=ax2+bx+c的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上.,利用顶点式求二次函数的表达式二选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式.解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得y=a(x+2)2+1，再把点（1，-8）代入上式得a(1+2)2+1=-8，解得a=-1.∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.,典例精析例2一个二次函数的图象经点(0,1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式.解：因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为y=a(x-8)2+9.又由于它的图象经过点(0,1)，可得1=a(0-8)2+9.解得∴所求的二次函数的表达式是,归纳总结顶点法求二次函数表达式的方法这种已知抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；③将另一点的坐标代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.,解：因为（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标)因此得y=a(x+3)(x+1).选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式.利用交点式求二次函数的表达式三,解得a=-1，再把点（0，-3）代入上式得所以a(0+3)(0+1)=-3，所以所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.,归纳总结交点法求二次函数解析式的方法这种已知抛物线x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；②先把两交点的横坐标x1,x2代入，得到关于a的一元一次方程；③将另一坐标的点代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.,当堂练习1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是.注y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.注意xyO12-1-2-3-4321-1345,2.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式是.顶点坐标是（1，6）y=-2(x-1)2+6,3.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的表达式．解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．依题意得∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4.a＋b＋c＝1，c＝－4，a-b＋c＝-5，解得b＝3，c＝－4，a＝2，,4.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式．解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)．又因为抛物线过点M(0，1)，所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，所以所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)，即y＝－x2＋1.,5.已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（ ）A．E，FB．E，GC．E，HD．F，GC,6.如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（ ）A．8B．14C．8或14D．-8或-14C,7.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：(1)求抛物线的表达式；解：把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.∵对称轴是x＝－3，∴＝－3，∴b＝6，∴c＝5，∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5；,(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称．∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，∴点C的横坐标为－7，∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵点B的坐标为(0，5)，∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7，∴△BCD的面积＝×8×7＝28.,课堂小结①已知三点坐标②已知顶点坐标或对称轴或最值③已知抛物线与x轴的两个交点已知条件所选方法用一般式法：y=ax2+bx+c用顶点法：y=a(x-h)2+k用交点法：y=a(x-x1)(x-x2)(x1,x2为交点的横坐标)待定系数法求二次函数表达式
