2.7正多边形与圆第2章圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结,学习目标1.了解正多边形与圆的有关概念；2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会运用正多边形和圆的有关知识画正多边形．(重点),导入新课情境引入问题1观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？它们的各边都相等，各内角也相等.,正多边形与圆的关系一讲授新课各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形.如果一个正多边形有n(n≥3)条边，那么这个正多边形叫做正n边形.概念学习,1.如图①，矩形ABCD是正四边形吗？（）2.如图②，菱形ABCD是正四边形吗？（）图①图②（理由：ABBC,CDDA.)(理由：∠A∠B，∠C∠D.)××≠≠≠≠判一判正多边形各边相等各角相等缺一不可,探究归纳问题2如图，把⊙O分成相等的5段弧，即AB=BC=CD=DE=EA，依次连接各等分点，所得五边形ABCDE是正五边形吗？⌒⌒⌒⌒⌒·ABCDEO∴同理∴解：AB=BC=CD=DE=EA.∠B=∠C=∠D=∠E.∠A=∠B.∴五边形ABCDE是正五边形.∵AB=BC=CD=DE=EA⌒⌒⌒⌒⌒∴BCE=CDA=3AB⌒⌒⌒,弦相等（多边形的边相等）圆周角相等（多边形的角相等）—多边形是正多边形问题3将圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点，所得到的多边形是正多边形吗？弧相等—将一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正n边形的各顶点n等分其外接圆.归纳,OCDA圆内接正多边形的有关概念及性质二OABCDEFGHRr正多边形外接圆的圆心，称其为正多边形的中心.外接圆的半径叫作正多边形的半径.中心到正多边形一边的距离叫作正多边形的边心距.正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫作正多边形的中心角.,问题1中心角ABCDEFO半径R边心距r中心正多边形边数内角中心角外角346n60°120°120°90°90°90°120°60°60°正多边形的外角=中心角练一练完成下面的表格：,想一想问题4正n边形的中心角怎么计算？CDOBEFAP问题5正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有什么关系？aRr问题6边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？其中l为正n边形的周长.圆内接正多边形的有关计算三,例1有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).CDOEFAP抽象成典例精析B,利用勾股定理,可得边心距亭子地基的面积4mOABCDEFMr解：过点O作OM⊥BC于M.在Rt△OMB中,OB＝4,MB＝亭子地基的周长l=6×4=24(m),2.作边心距，构造直角三角形.1.连半径，得中心角；OABCDEFRMr·圆内接正多边形的辅助线方法归纳O边心距r边长一半半径RCM中心角一半,1.如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧CD上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是________度．练一练45,2.如图，正八边形ABCDEFGH的半径为2，它的面积为______．解：连接AO，BO，CO，AC，∵正八边形ABCDEFGH的半径为2，∴AO=BO=CO=2，∠AOB=∠BOC=，∴∠AOC=90°，∴AC=，此时AC与BO垂直，∴S四边形AOCB=，∴正八边形面积为：．,问题7如何做一个正多边形呢？(提示：圆与多边形的关系)只要将一个圆n等分，就可以得到正n边形.问题8如何将圆n等分呢？用量角器将圆心角n等分，就可以将圆n等分.正多边形的画法四,例2用量角器画⊙O的内接正六边形.方法归纳用量角器画正n边形的一般方法：（1）作圆；（2）用量角器作的中心角，得圆的n等分点；（3）依次连接各等分点，得圆的内接正n边形.分析：关键是用量角器画60°的中心角.60º典例精析思考还有其它的方法可以作出⊙O的内接正六边形吗？,例3已知⊙O的半径为r，求作⊙O的内接正六边形.分析：因为正六边形每条边所对的圆心角为__，所以正六边形的边长与圆的半径_.因此，在半径为r的圆上依次截取等于的弦，即可将圆六等分.60º相等rABCDEF作法：（1）在⊙O上以任意一点A为圆心、以r为半径画弧，连续截取点B、C、D、E、F；（2）依次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，则六边形ABCDEF即为所求.,作法：（1）作直径AC与BD，使AC⊥BD.（2）依次连接AB、BC、CD、DA.则四边形ABCD就是所求作的⊙O的内接正方形.ABCD方法归纳圆的内接正多边形有两种作法：1.用量角器作图；2.尺规作图.分析：因为正方形的中心角为，所以只要作两条互相的直径，就可将⊙O四等分.例4已知⊙O的半径为r，求作⊙O的内接正方形.90º垂直,问题9正三角形、正方形、正五边形、正六边形是否为轴对称图形？如果是轴对称图形，试画它们所有的对称轴.正多边形的对称性五正三角形（奇数边）正方形（偶数边）正五边形（奇数边）正六边形（奇数边）,讨论与归纳正三角形（奇数边）正方形（偶数边）正五边形（奇数边）正六边形（奇数边）1.正n边形__轴对称图形，共有__条对称轴；2.n为奇数时，n条对称轴过中心与___；(如上图中蓝色直线)3.n为为偶数时，n条对称轴中：n/2条过中心与__；(如上图中蓝色直线)n/2条过中心与边的___点.(如上图中红色直线)是n顶点顶点中,问题10下列正多边形中哪些是中心对称图形？哪些是旋转对称图形？问题11如果是旋转对称图形，绕中心最少旋转多少度所得图形与原图形重合？OOOO,归纳总结正n边形(n为偶数)是中心对称图形，它的对称中心就是这个正n边形的中心.正三角形正方形正五边形正六边形是否中心对称图形是否旋转对称图形绕中心旋转最少角度数×√×√√√√√120°90°72°60°,正多边形边数半径边长边心距周长面积34161.填表2128422122.若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这个多边形的边数是.3当堂练习3.已知一个正多边形的每个内角均为108°，则它的中心角为________度．72,4.下列说法正确的是（）A.各边都相等的多边形是正多边形B.一个圆有且只有一个内接正多边形C.圆内接正四边形的边长等于半径D.圆内接正n边形的中心角度数为D,6.要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要____cm.也就是要找这个正方形外接圆的直径5.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为___度.（不取近似值）,正多边形和圆正多边形和圆的关系正多边形的有关概念正多边形的有关计算添加辅助线的方法：连半径，作边心距课堂小结中心半径边心距中心角正n边形各顶点等分其外接圆.正多边形的画法1.用量角器作图2.尺规作图
