四川省资阳市高考数学二诊试卷（文科） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|x2≤1}，则A∩B=（ ）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|﹣2＜x≤1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣1＜x＜1}2．（5分）复数z满足z（1﹣2i）=3+2i，则z=（ ）A．B．C．D．3．（5分）已知命题p：∃x0∈（0，3），x0﹣2＜lgx0，则￢p为（ ）A．∀x∈（0，3），x﹣2＜lgxB．∀x∈（0，3），x﹣2≥lgxC．∃x0∉（0，3），x0﹣2＜lgx0D．∃x0∈（0，3），x0﹣2≥lgx04．（5分）已知直线l1：ax+（a+2）y+2=0与l2：x+ay+1=0平行，则实数a的值为（ ）A．﹣1或2B．0或2C．2D．﹣15．（5分）若sin（π﹣α）=，且≤α≤π，则sin2α的值为（ ）A．﹣B．﹣C．D．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A．B．πC．D．2π第23页共23页,7．（5分）为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（ ）A．药物A、B对该疾病均没有预防效果B．药物A、B对该疾病均有显著的预防效果C．药物A的预防效果优于药物B的预防效果D．药物B的预防效果优于药物A的预防效果8．（5分）某程序框图如图所示，若输入的a，b分别为12，30，则输出的a=（ ）A．4B．6C．8D．109．（5分）若点P为抛物线C：y=2x2上的动点，F为C的焦点，则|PF|的最小值为（ ）A．1B．C．D．第23页共23页,10．（5分）一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成（半球的底面圆在正方体的上底面，球心为上底面的中心），则该器皿的表面积为（ ）A．π+45B．2π+45C．π+54D．2π+5411．（5分）已知函数f（x）=lnx，它在x=x0处的切线方程为y=kx+b，则k+b的取值范围是（ ）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，0]C．[1，+∞）D．[0，+∞）12．（5分）边长为8的等边△ABC所在平面内一点O，满足﹣3=，若||=，则|PA|的最大值为（ ）A．6B．2C．3D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）某校高三年级有900名学生，其中男生500名．若按照男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的女生人数为 ．14．（5分）设实数x，y满足约束条件，则x﹣2y的最小值为 ．15．（5分）如图，为测量竖直旗杆CD高度，在旗杆底部C所在水平地面上选取相距4m的两点A，B，在A处测得旗杆底部C在西偏北20°的方向上，旗杆顶部D的仰角为60°；在B处测得旗杆底部C在东偏北10°方向上，旗杆顶部D的仰角为45°，则旗杆CD高度为 m．第23页共23页,16．（5分）已知函数f（x）=如果存在n（n≥2）个不同实数x1，x2，…，xn，使得成立，则n的值为 ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an﹣2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=anlog2an，求{bn}的前n项和Tn．18．（12分）某地区某农产品近几年的产量统计如表：年份201220132014201520162017年份代码t123456年产量y（万吨）6.66.777.17.27.4（1）根据表中数据，建立y关于t的线性回归方程；（2）根据（1）中所建立的回归方程预测该地区2018年（t=7）该农产品的产量．附：对于一组数据（t1，y1），（t2，y2），…，（tn，yn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，四边形ACC1A1是边长为2的菱形，∠A1AC=60°，AB=BC，AB⊥BC，E，F分别为AC，B1C1的中点．（1）求证：直线EF∥平面ABB1A1；第23页共23页,（2）设P，Q分别在侧棱AA1，C1C上，且PA=QC1，求平面BPQ分棱柱所成两部分的体积比．20．（12分）已知椭圆C：的离心率，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过P作两条直线l1，l2与圆相切且分别交椭圆于M，N两点，求证：直线MN的斜率为定值．21．（12分）已知函数f（x）=（x＞0，a∈R）．（1）当a＞﹣时，判断函数f（x）的单调性；（2）当f（x）有两个极值点时，求a的取值范围，并证明f（x）的极大值大于2． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（其中t为参数），在以原点O为极点，以x轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设M是曲线C上的一动点，OM的中点为P，求点P到直线l的最小值． [选修4-5：不等式选讲]（10分）第23页共23页,23．已知函数f（x）=|2x+a|+|x﹣2|（其中a∈R）．（1）当a=﹣4时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥3a2﹣|2﹣x|恒成立，求a的取值范围． 第23页共23页,四川省资阳市高考数学二诊试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|x2≤1}，则A∩B=（ ）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|﹣2＜x≤1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣1＜x＜1}【解答】解：A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x2≤1}={x|﹣1≤x≤1}，则A∩B={x|﹣1＜x≤1}，故选：C 2．（5分）复数z满足z（1﹣2i）=3+2i，则z=（ ）A．B．C．D．【解答】解：由z（1﹣2i）=3+2i，得，故选：A． 3．（5分）已知命题p：∃x0∈（0，3），x0﹣2＜lgx0，则￢p为（ ）A．∀x∈（0，3），x﹣2＜lgxB．∀x∈（0，3），x﹣2≥lgxC．∃x0∉（0，3），x0﹣2＜lgx0D．∃x0∈（0，3），x0﹣2≥lgx0【解答】解：由特称命题的否定为全称命题，可得命题p：∃x0∈（0，3），x0﹣2＜lgx0，则￢p为：∀x∈（0，3），x﹣2≥lgx，第23页共23页,故选B． 4．（5分）已知直线l1：ax+（a+2）y+2=0与l2：x+ay+1=0平行，则实数a的值为（ ）A．﹣1或2B．0或2C．2D．﹣1【解答】解：由a•a﹣（a+2）=0，即a2﹣a﹣2=0，解得a=2或﹣1．经过验证可得：a=2时两条直线重合，舍去．∴a=﹣1．故选：D． 5．（5分）若sin（π﹣α）=，且≤α≤π，则sin2α的值为（ ）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵sin（π﹣α）=，∴sinα=，又∵≤α≤π，∴cosα=﹣=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=2×（﹣）=﹣．故选：A． 6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）第23页共23页,A．B．πC．D．2π【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是扣在平面上的一个半圆柱，其中，半圆柱的底面半径为r=1，高为h=2，∴该几何体的体积为：V==π．故选：B． 7．（5分）为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（ ）A．药物A、B对该疾病均没有预防效果B．药物A、B对该疾病均有显著的预防效果C．药物A的预防效果优于药物B的预防效果D．药物B的预防效果优于药物A的预防效果【解答】解：根据两个表中的等高条形图知，药物A实验显示不服药与服药时患病的差异较药物B实验显示明显大，∴药物A的预防效果优于药物B的预防效果．故选：C． 第23页共23页,8．（5分）某程序框图如图所示，若输入的a，b分别为12，30，则输出的a=（ ）A．4B．6C．8D．10【解答】解：模拟程序的运行，可得a=12，b=30，a＜b，则b变为30﹣12=18，不满足条件a=b，由a＜b，则b变为18﹣12=6，不满足条件a=b，由a＞b，则a变为12﹣6=6，由a=b=6，则输出的a=6．故选：B． 9．（5分）若点P为抛物线C：y=2x2上的动点，F为C的焦点，则|PF|的最小值为（ ）A．1B．C．D．【解答】解：由y=2x2，得，∴2p=，则，由抛物线上所有点中，顶点到焦点距离最小可得，|PF|的最小值为．故选：D．第23页共23页, 10．（5分）一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成（半球的底面圆在正方体的上底面，球心为上底面的中心），则该器皿的表面积为（ ）A．π+45B．2π+45C．π+54D．2π+54【解答】解：如图，该器皿的表面积是棱长为3的正方体的表面积减去半径为1的圆的面积，再加上半径为1的半球的表面积，∴该器皿的表面积为：S=6×（3×3）π×12+=54﹣π+2π=π+54．故选：C． 11．（5分）已知函数f（x）=lnx，它在x=x0处的切线方程为y=kx+b，则k+b的取值范围是（ ）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，0]C．[1，+∞）D．[0，+∞）【解答】解：根据题意，函数f（x）=lnx，其导数为f′（x）=，则有f′（x0）=，即k=，又由切点的坐标为（x0，lnx0），则切线的方程为y﹣lnx0=k（x﹣x0），变形可得：y=kx﹣kx0+lnx0，则有b=lnx0﹣1，第23页共23页,则k+b=（lnx0﹣1）+，设g（x）=（lnx﹣1）+，则有g′（x）=﹣=，分析可得：在（0，1）上，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上为增函数，则g（x）的最小值g（1）=0，则有k+b=（lnx0﹣1）+≥0，即k+b的取值范围是[0，+∞）；故选：D． 12．（5分）边长为8的等边△ABC所在平面内一点O，满足﹣3=，若||=，则|PA|的最大值为（ ）A．6B．2C．3D．【解答】解：∵﹣3=，∴﹣=2+2，设D为BC的中点，则2+2=4，∴=4，∴OD∥AC，∠ODC=∠ACB=60°，∵△ABC是边长为8的等边三角形，∴OD=2，AD=4，∠ADO=150°，∴OA==2．∵||=，∴P点轨迹为以O为原点，以r=为半径的圆．∴|PA|的最大值为OA+r=3．故选C．第23页共23页, 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）某校高三年级有900名学生，其中男生500名．若按照男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的女生人数为 20 ．【解答】解：女生人数为900﹣500=400，由分层抽样的定义得应抽取的女生人数为×45=20；故答案为：20． 14．（5分）设实数x，y满足约束条件，则x﹣2y的最小值为 ﹣5 ．【解答】解：由z=x﹣2y得y=x﹣，作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y=x﹣，由图象可知当直线y=x﹣，过点B时，直线y=x﹣的截距最大，此时z最小，，解得B（1，3）．第23页共23页,代入目标函数z=x﹣2y，得z=1﹣2×3=﹣5，∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣5．故答案为：﹣5． 15．（5分）如图，为测量竖直旗杆CD高度，在旗杆底部C所在水平地面上选取相距4m的两点A，B，在A处测得旗杆底部C在西偏北20°的方向上，旗杆顶部D的仰角为60°；在B处测得旗杆底部C在东偏北10°方向上，旗杆顶部D的仰角为45°，则旗杆CD高度为 12 m．【解答】解：如图所示，设CD=x在Rt△BCD，∠CBD=45°，∴BC=x，在Rt△ACD，∠CAD=60°，第23页共23页,∴AC==，在△ABC中，∠CAB=20°，∠CBA=10°，AB=4∴∠ACB=180°﹣20°﹣10°=150°，由余弦定理可得AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cos150°，即（4）2=x2+x2+2••x•=x2，解得x=12，故答案为：12． 16．（5分）已知函数f（x）=如果存在n（n≥2）个不同实数x1，x2，…，xn，使得成立，则n的值为 2或3 ．【解答】解：∵的几何意义为点（xn，f（xn））与（﹣4，0）的连线的斜率，∴的几何意义为点（xn，f（xn））与（﹣4，0）的连线有相同的斜率，作出函数f（x）的图象，第23页共23页,y=k（x+4）与函数f（x）的交点个数有1个，2个或者3个，故n=2或n=3，故答案：2或3． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an﹣2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=anlog2an，求{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）当n=1时，a1=2a1﹣2，解得a1=2，当n≥2时，Sn=2an﹣2，Sn﹣1=2an﹣1﹣2．所以an=2an﹣2an﹣1，则an=2an﹣1，所以{an}是以2为首项，2为公比的等比数列．故．（2），则①，②第23页共23页,①﹣②得：==2n+1﹣n•2n+1﹣2．所以． 18．（12分）某地区某农产品近几年的产量统计如表：年份201220132014201520162017年份代码t123456年产量y（万吨）6.66.777.17.27.4（1）根据表中数据，建立y关于t的线性回归方程；（2）根据（1）中所建立的回归方程预测该地区2018年（t=7）该农产品的产量．附：对于一组数据（t1，y1），（t2，y2），…，（tn，yn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．【解答】解：（1）由题，，，=（﹣2.5）×（﹣0.4）+（﹣1.5）×（﹣0.3）+0+0.5×0.1+1.5×0.2+2.5×0.4=2.8，=（﹣2.5）2+（﹣1.5）2+（﹣0.5）2+0.52+1.52+2.52=17.5．所以，又，得，所以y关于t的线性回归方程为．（8分）（2）由（1）知，当t=7时，，第23页共23页,即该地区2018年该农产品的产量估计值为7.56万吨．（12分） 19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，四边形ACC1A1是边长为2的菱形，∠A1AC=60°，AB=BC，AB⊥BC，E，F分别为AC，B1C1的中点．（1）求证：直线EF∥平面ABB1A1；（2）设P，Q分别在侧棱AA1，C1C上，且PA=QC1，求平面BPQ分棱柱所成两部分的体积比．【解答】（12分）（1）证明取A1C1的中点G，连接EG，FG，由于E，F分别为AC，B1C1的中点，所以FG∥A1B1．又A1B1⊂平面ABB1A1，FG⊄平面ABB1A1，所以FG∥平面ABB1A1．又AE∥A1G且AE=A1G，所以四边形AEGA1是平行四边形．则EG∥AA1．又AA1⊂平面ABB1A1，EG⊄平面ABB1A1，所以EG∥平面ABB1A1．所以平面EFG∥平面ABB1A1．又EF⊂平面EFG，所以直线EF∥平面ABB1A1．（6分）（2）四边形APQC是梯形，其面积==．第23页共23页,由于AB=BC，E分别为AC的中点．所以BE⊥AC．因为侧面ACC1A1⊥底面ABC，所以BE⊥平面ACC1A1．即BE是四棱锥B﹣APQC的高，可得BE=1．所以四棱锥B﹣APQC的体积为．棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．所以平面BPQ分棱柱所成两部分的体积比为1：2（或者2：1）．（12分） 20．（12分）已知椭圆C：的离心率，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过P作两条直线l1，l2与圆相切且分别交椭圆于M，N两点，求证：直线MN的斜率为定值．【解答】（12分）解：（1）由，设椭圆的半焦距为c，所以a=2c，因为C过点，所以，又c2+b2=a2，解得，所以椭圆方程为．（4分）（2）显然两直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，M（x1，y1），N（x2，y2），由于直线l1，l2与圆相切，则有k1=﹣k2，直线l1的方程为，第23页共23页,联立方程组消去y得，因为P，M为直线与椭圆的交点，所以，同理，当l2与椭圆相交时，所以，而，所以直线MN的斜率．（12分） 21．（12分）已知函数f（x）=（x＞0，a∈R）．（1）当a＞﹣时，判断函数f（x）的单调性；（2）当f（x）有两个极值点时，求a的取值范围，并证明f（x）的极大值大于2．【解答】解：（1）由题f′（x）=，（x＞0）方法1：由于，﹣ex＜﹣1＜0，（﹣x2+3x﹣3）ex＜﹣，又，所以（﹣x2+3x﹣3）ex﹣a＜0，从而f'（x）＜0，于是f（x）为（0，+∞）上的减函数．（4分）方法2：令h（x）=（﹣x2+3x﹣3）ex﹣a，则h′（x）=（﹣x2+x）ex，当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）为增函数；当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）为减函数．故h（x）在x=1时取得极大值，也即为最大值．则h（x）max=﹣e﹣a．由于，所以h（x）max=h（1）=﹣e﹣a＜0，第23页共23页,于是f（x）为（0，+∞）上的减函数．（4分）（2）令h（x）=（﹣x2+3x﹣3）ex﹣a，则h′（x）=（﹣x2+x）ex，当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）为增函数，当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）为减函数，当x趋近于+∞时，h（x）趋近于﹣∞．由于f（x）有两个极值点，所以f'（x）=0有两不等实根，即h（x）=0有两不等实数根x1，x2（x1＜x2），则，解得﹣3＜a＜﹣e，可知x1∈（0，1），由于h（1）=﹣e﹣a＞0，h（）=﹣﹣a＜﹣+3＜0，则．而f′（x2）==0，即=（#）所以g（x）极大值=f（x2）=，于是，（*）令，则（*）可变为，可得，而﹣3＜a＜﹣e，则有，下面再说明对于任意﹣3＜a＜﹣e，，f（x2）＞2．又由（#）得a=（﹣+3x2﹣3），把它代入（*）得f（x2）=（2﹣x2），所以当时，f′（x2）=（1﹣x2）＜0恒成立，故f（x2）为的减函数，所以f（x2）＞f（）=＞2． 第23页共23页,（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（其中t为参数），在以原点O为极点，以x轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设M是曲线C上的一动点，OM的中点为P，求点P到直线l的最小值．【解答】[选修4﹣4：坐标系与参数方程]（10分）解：（1）∵直线l的参数方程为（其中t为参数），∴消去参数t，得l的普通方程x﹣y﹣1=0．∵曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．由ρ=4sinθ，得ρ2=4ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4．（4分）（2）设P（x，y），M（x0，y0），则，由于P是OM的中点，则x0=2x，y0=2y，所以（2x）2+（2y﹣2）2=4，得点P的轨迹方程为x2+（y﹣1）2=1，轨迹为以（0，1）为圆心，1为半径的圆．圆心（0，1）到直线l的距离．所以点P到直线l的最小值为．（10分） [选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）=|2x+a|+|x﹣2|（其中a∈R）．（1）当a=﹣4时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥3a2﹣|2﹣x|恒成立，求a的取值范围．【解答】[选修4﹣5：不等式选讲]（10分）第23页共23页,解：（1）当a=﹣4时，求不等式f（x）≥6，即为|2x﹣4|+|x﹣2|≥6，所以|x﹣2|≥2，即x﹣2≤﹣2或x﹣2≥2，原不等式的解集为{x|x≤0或x≥4}．（4分）（2）不等式f（x）≥3a2﹣|2﹣x|即为|2x+a|+|x﹣2|≥3a2﹣|2﹣x|，即关于x的不等式|2x+a|+|4﹣2x|≥3a2恒成立．而|2x+a|+|4﹣2x|≥|a+4|，所以|a+4|≥3a2，解得a+4≥3a2或a+4≤﹣3a2，解得或a∈∅．所以a的取值范围是．（10分） 第23页共23页
