2021年浙江省温州市中考数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分1．（4分）（2021•温州）计算的结果是 A．4B．C．1D．2．（4分）（2021•温州）直六棱柱如图所示，它的俯视图是 A．B．C．D．3．（4分）（2021•温州）第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超218000000人．数据218000000用科学记数法表示为 A．B．C．D．4．（4分）（2021•温州）如图是某天参观温州数学名人馆的学生人数统计图．若大学生有60人，则初中生有 第33页（共33页）\nA．45人B．75人C．120人D．300人5．（4分）（2021•温州）解方程，以下去括号正确的是 A．B．C．D．6．（4分）（2021•温州）如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为 A．8B．9C．10D．157．（4分）（2021•温州）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米元；超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为 A．元B．元C．元D．元8．（4分）（2021•温州）图1是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为 第33页（共33页）\nA．B．C．D．9．（4分）（2021•温州）如图，点，在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连结．若，，，则的值为 A．2B．C．D．10．（4分）（2021•温州）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点．若，则的值为 第33页（共33页）\nA．B．C．D．二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）（2021•温州）分解因式： ．12．（5分）（2021•温州）一个不透明的袋中装有21个只有颜色不同的球，其中5个红球，7个白球，9个黄球．从中任意摸出1个球是红球的概率为 ．13．（5分）（2021•温州）若扇形的圆心角为，半径为17，则扇形的弧长为 ．14．（5分）（2021•温州）不等式组的解集为 ．15．（5分）（2021•温州）如图，与的边相切，切点为．将绕点按顺时针方向旋转得到△，使点落在上，边交线段于点．若，则 度．16．（5分）（2021•温州）图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图，则图1中所标注的的值为 ；记图1中小正方形的中心为点，，，图2中的对应点为点，，．以大正方形的中心为圆心作圆，则当点，，在圆内或圆上时，圆的最小面积为 ．第33页（共33页）\n三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17．（10分）（2021•温州）（1）计算：．（2）化简：．18．（8分）（2021•温州）如图，是的角平分线，在上取点，使．（1）求证：；（2）若，，求的度数．19．（8分）（2021•温州）某校将学生体质健康测试成绩分为，，，四个等级，依次记为4分，3分，2分，1分．为了解学生整体体质健康状况，拟抽样进行统计分析．（1）以下是两位同学关于抽样方案的对话：小红：“我想随机抽取七年级男、女生各60人的成绩．”小明：“我想随机抽取七、八、九年级男生各40人的成绩．”根据如图学校信息，请你简要评价小红、小明的抽样方案．如果你来抽取120名学生的测试成绩，请给出抽样方案．（2第33页（共33页）\n）现将随机抽取的测试成绩整理并绘制成如图统计图，请求出这组数据的平均数、中位数和众数．20．（8分）（2021•温州）如图中与的方格都是由边长为1的小正方形组成．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．（1）选一个四边形画在图2中，使点为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形．（2）选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的倍，画在图3中．21．（10分）（2021•温州）已知抛物线经过点．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．（2）直线交抛物线于点，，为正数．若点在抛物线上且在直线下方（不与点，重合），分别求出点横坐标与纵坐标的取值范围．22．（10分）（2021•温州）如图，在中，，是对角线上的两点（点在点左侧），且．（1）求证：四边形是平行四边形；第33页（共33页）\n（2）当，，时，求的长．23．（12分）（2021•温州）某公司生产的一种营养品信息如表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．营养品信息表营养成份每千克含铁42毫克配料表原料每千克含铁甲食材50毫克乙食材10毫克规格每包食材含量每包单价包装1千克45元包装0.25千克12元（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若的数量不低于的数量，则为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？24．（14分）（2021•温州）如图，在平面直角坐标系中，经过原点，分别交轴、第33页（共33页）\n轴于点，，连结．直线分别交于点，（点在左侧），交轴于点，连结．（1）求的半径和直线的函数表达式；（2）求点，的坐标；（3）点在线段上，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长．第33页（共33页）\n2021年浙江省温州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分1．（4分）（2021•温州）计算的结果是 A．4B．C．1D．【分析】表示2个相乘，根据幂的意义计算即可．【解答】解：，故选：．【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握幂的意义是解题的关键．2．（4分）（2021•温州）直六棱柱如图所示，它的俯视图是 A．B．C．D．【分析】根据简单几何体的三视图进行判断即可．【解答】解：从上面看这个几何体，看到的图形是一个正六边形，因此选项第33页（共33页）\n中的图形符合题意，故选：．【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．3．（4分）（2021•温州）第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超218000000人．数据218000000用科学记数法表示为 A．B．C．D．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．【解答】解：将218000000用科学记数法表示为．故选：．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．4．（4分）（2021•温州）如图是某天参观温州数学名人馆的学生人数统计图．若大学生有60人，则初中生有 A．45人B．75人C．120人D．300人【分析】第33页（共33页）\n利用大学生的人数以及所占的百分比可得总人数，用总人数乘以初中生所占的百分比即可求解．【解答】解：参观温州数学名人馆的学生人数共有（人，初中生有（人，故选：．【点评】本题考查了扇形统计图．关键是利用大学生的人数以及所占的百分比可得总人数，解题时要细心．5．（4分）（2021•温州）解方程，以下去括号正确的是 A．B．C．D．【分析】可以根据乘法分配律先将2乘进去，再去括号．【解答】解：根据乘法分配律得：，去括号得：，故选：．【点评】本题考查了解一元一次方程，去括号法则，解题的关键是：括号前面是减号，把减号和括号去掉，括号的各项都要变号．6．（4分）（2021•温州）如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为 A．8B．9C．10D．15【分析】根据位似图形的概念列出比例式，代入计算即可．第33页（共33页）\n【解答】解：图形甲与图形乙是位似图形，位似比为，，，即，解得，，故选：．【点评】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形的两个图形是相似图形、相似三角形的性质是解题的关键．7．（4分）（2021•温州）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米元；超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为 A．元B．元C．元D．元【分析】应缴水费立方米的水费立方米的水费．【解答】解：根据题意知：（元．故选：．【点评】此题考查列代数式，掌握收费的分段以及总费用的求法是解决问题的关键．8．（4分）（2021•温州）图1是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为 第33页（共33页）\nA．B．C．D．【分析】在中，,可得的长度，在中，根据勾股定理,代入即可得出答案．【解答】解：,在中，,,在中，,．故选：．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键．9．（4分）（2021•温州）如图，点，在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连结．若，，，则的值为 第33页（共33页）\nA．2B．C．D．【分析】根据题意求得，进而求得，，然后根据勾股定理得到，解方程即可求得的值．【解答】解：轴于点，轴于点，四边形是矩形，，把代入，求得，，，，，轴于点，把代入得，，，，，在中，，，解得，在第一象限，第33页（共33页）\n，故选：．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的判定和性质，勾股定理的应用等，表示出线段的长度是解题的关键．10．（4分）（2021•温州）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点．若，则的值为 A．B．C．D．【分析】如图，过点作交的延长线于,设交于,交于．设,则,想办法求出,,可得结论．【解答】解：如图，过点作交的延长线于,设交于,交于．设,则,第33页（共33页）\n,四边形是正方形，,,,,,,,,,,,,,,故选：．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．第33页（共33页）\n二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）（2021•温州）分解因式： ．【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式．故答案为：．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．（5分）（2021•温州）一个不透明的袋中装有21个只有颜色不同的球，其中5个红球，7个白球，9个黄球．从中任意摸出1个球是红球的概率为 ．【分析】用红色球的个数除以球的总个数即可得出答案．【解答】解：一共有21个只有颜色不同的球，其中红球有5个，从中任意摸出1个球是红球的概率为，故答案为：．【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．13．（5分）（2021•温州）若扇形的圆心角为，半径为17，则扇形的弧长为 ．【分析】根据弧长公式代入即可．【解答】解：根据弧长公式可得：．第33页（共33页）\n故答案为：．【点评】本题考查弧长的计算，掌握弧长公式是解题关键．14．（5分）（2021•温州）不等式组的解集为 ．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式，得：，解不等式，得：，则不等式组的解集为，故答案为：．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．15．（5分）（2021•温州）如图，与的边相切，切点为．将绕点按顺时针方向旋转得到△，使点落在上，边交线段于点．若，则 85 度．【分析】根据切线的性质得到，连接，如图，再根据旋转的性质得，，，则判断△为等边三角形得到，所以，然后利用三角形外角性质计算．【解答】解：与的边相切，，第33页（共33页）\n，连接，如图，绕点按顺时针方向旋转得到△，，，，，△为等边三角形，，，．故答案为85．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了旋转的性质．16．（5分）（2021•温州）图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图，则图1中所标注的的值为 ；记图1中小正方形的中心为点，，，图2中的对应点为点，，．以大正方形的中心为圆心作圆，则当点，，在圆内或圆上时，圆的最小面积为 ．第33页（共33页）\n【分析】如图，连接,由题意可知点,,在线段上,连接,,过点作于．证明,解直角三角形求出,,,再求出,可得结论．【解答】解：如图，连接,由题意可知点,,在线段上,连接,,过点作于．大正方形的面积，,,在中，,,,,,第33页（共33页）\n,,,,,,,,,,当点，，在圆内或圆上时，圆的最小面积为．故答案为：，．【点评】本题考查正方形的性质，矩形的性质，解直角三角形，圆等知识，解题的关键是读懂图象信息，推出,学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17．（10分）（2021•温州）（1）计算：．（2）化简：．【分析】（1）运用实数的计算法则可以得到结果；（2）结合完全平方公式，运用整式的运算法则可以得到结果．【解答】解：原式；第33页（共33页）\n原式．【点评】本题主要考查实数的混合运算和整式的混合运算，在计算的过程中需要注意完全平方公式的运用，是一道基础题．18．（8分）（2021•温州）如图，是的角平分线，在上取点，使．（1）求证：；（2）若，，求的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义可得，从而求出，再利用内错角相等，两直线平行证明即可；（2）由（1）中可得到,再根据三角形的内角和等于求出，最后用角平分线求出，即可得解．【解答】解：（1）是的角平分线，，,，，；（2），第33页（共33页）\n，在中，，．是的角平分线，．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，角平分线的定义，准确识别图形是解题的关键．19．（8分）（2021•温州）某校将学生体质健康测试成绩分为，，，四个等级，依次记为4分，3分，2分，1分．为了解学生整体体质健康状况，拟抽样进行统计分析．（1）以下是两位同学关于抽样方案的对话：小红：“我想随机抽取七年级男、女生各60人的成绩．”小明：“我想随机抽取七、八、九年级男生各40人的成绩．”根据如图学校信息，请你简要评价小红、小明的抽样方案．如果你来抽取120名学生的测试成绩，请给出抽样方案．（2）现将随机抽取的测试成绩整理并绘制成如图统计图，请求出这组数据的平均数、中位数和众数．【分析】（1）根据小红和小明抽样的特点进行分析评价即可；（2）根据中位数、众数的意义求解即可．第33页（共33页）\n【解答】解：（1）两人都能根据学校信息合理选择样本容量进行抽样调查，小红的方案考虑到性别的差异，但没有考虑年级学段的差异，小明的方案考虑到了年级特点，但没有考虑到性别的差异，他们抽样调查不具有广泛性和代表性；（2）平均数为（分，抽查的120人中，成绩是3分出现的次数最多，共出现45次，因此众数是3分，将这120人的得分从小到大排列处在中间位置的两个数都是3分，因此中位数是3分，答：这组数据的平均数是2.75分、中位数是3分，众数是3分．【点评】本题考查中位数、众数、平均数，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．20．（8分）（2021•温州）如图中与的方格都是由边长为1的小正方形组成．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．（1）选一个四边形画在图2中，使点为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形．（2）选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的倍，画在图3中．【分析】（1）直接将其中任意四边形向右平移3个单位得出符合题意的图形；（2）直接将其中任意一三角形边长扩大为原来的倍，即可得出所求图形．【解答】解：（1）如图2所示，即为所求；第33页（共33页）\n（2）如图3所示，即为所求．【点评】此题主要考查了平移变换以及图形的相似，正确将三角形各边扩大是解题关键．21．（10分）（2021•温州）已知抛物线经过点．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．（2）直线交抛物线于点，，为正数．若点在抛物线上且在直线下方（不与点，重合），分别求出点横坐标与纵坐标的取值范围．【分析】（1）将点代入求解．（2）分别求出点，坐标，根据图象开口方向及顶点坐标求解．【解答】解：（1）把代入得，解得，抛物线的函数表达式为，，抛物线顶点坐标为．（2）把代入得，，第33页（共33页）\n把代入函数解析式得，解得或，为正数，，点坐标为，点坐标为．抛物线开口向上，顶点坐标为，抛物线顶点在下方，，．【点评】本题考查求二次函数解析式及二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质及待定系数法求函数解析式．22．（10分）（2021•温州）如图，在中，，是对角线上的两点（点在点左侧），且．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当，，时，求的长．【分析】（1）证，再证，得，即可得出结论；（2）由锐角三角函数定义和勾股定理求出，，再证，则第33页（共33页）\n，得，求出，进而得出答案．【解答】（1）证明：，，，，四边形是平行四边形，，，，在和中，，，，四边形是平行四边形；（2）解：在中，，设，则，由勾股定理得：，解得：或（舍去），，，由（1）得：四边形是平行四边形，，，第33页（共33页）\n，，，，，设，则，，解得：或,（舍去），即，由（1）得：，，．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．23．（12分）（2021•温州）某公司生产的一种营养品信息如表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．营养品信息表营养成份每千克含铁42毫克配料表原料每千克含铁第33页（共33页）\n甲食材50毫克乙食材10毫克规格每包食材含量每包单价包装1千克45元包装0.25千克12元（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若的数量不低于的数量，则为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？【分析】（1）设乙食材每千克进价为元，则甲食材每千克进价为元，根据“用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克”列分式方程解答即可；（2）①设每日购进甲食材千克，乙食材千克，根据（1）的结论以及“每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完”列方程组解答即可；②设为包，则为包，根据“的数量不低于的数量”求出的取值范围；设总利润为元，根据题意求出与的函数关系式，再根据一次函数的性质，即可得到获利最大的进货方案，并求出最大利润．【解答】解：（1）设乙食材每千克进价为元，则甲食材每千克进价为元，由题意得，解得，经检验，是所列方程的根，且符合题意，第33页（共33页）\n（元，答：甲食材每千克进价为40元，乙食材每千克进价为20元；（2）①设每日购进甲食材千克，乙食材千克，由题意得，解得，答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克；②设为包，则为包，的数量不低于的数量，，，设总利润为元，根据题意得：，，随的增大而减小，当时，的最大值为2800，答：当为400包时，总利润最大，最大总利润为2800元．【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一次函数关系式，利用一次函数的性质和不等式的性质解答，注意分式方程要检验．24．（14分）（2021•温州）如图，在平面直角坐标系中，经过原点，分别交轴、轴于点，，连结．直线分别交于点，（点在左侧），交第33页（共33页）\n轴于点，连结．（1）求的半径和直线的函数表达式；（2）求点，的坐标；（3）点在线段上，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长．【分析】（1）点是的中点，则点，则圆的半径，再用待定系数法即可求解；（2）由得：，即可求解；（3）①当时，则为等腰直角三角形，即可求解；②时，则，进而求解；③时，同理可解．【解答】解：（1）点是的中点，则点，则圆的半径为，设直线的表达式为，则，解得，故直线的表达式为；第33页（共33页）\n（2）设点的坐标为，由得：，解得或，故点、的坐标分别为、；（3）过点作于点，则，，故，由点、的坐标，同理可得；由点、、、的坐标得，，同理可得：，，①当时，则为等腰直角三角形，，故点的坐标为，故；②时，，第33页（共33页）\n，，即，解得，故；③时，，，，即，解得，则，综上，为5或10或．【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆的基本性质、一次函数的性质、三角形相似等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．第33页（共33页）
