2021年重庆市中考数学试卷（B卷）一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑1．（4分）（2021•重庆）3的相反数是 A．3B．C．D．2．（4分）（2021•重庆）不等式的解集在数轴上表示正确的是 A．B．C．D．3．（4分）（2021•重庆）计算结果正确的是 A．B．C．D．4．（4分）（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，将以原点为位似中心放大后得到，若，，则与的相似比是 A．B．C．D．5．（4分）（2021•重庆）如图，是的直径，，是的弦，若，则的度数为 第37页（共37页）\nA．B．C．D．6．（4分）（2021•重庆）下列计算中，正确的是 A．B．C．D．7．（4分）（2021•重庆）小明从家出发沿笔直的公路去图书馆，在图书馆阅读书报后按原路回到家．如图，反映了小明离家的距离（单位：与时间（单位：之间的对应关系．下列描述错误的是 A．小明家距图书馆B．小明在图书馆阅读时间为C．小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足D．小明去图书馆的速度比回家时的速度快8．（4分）（2021•重庆）如图，在和中，，添加一个条件，不能证明和全等的是 A．B．C．D．9．（4分）（2021•重庆）如图，把含的直角三角板放置在正方形中，，直角顶点在正方形的对角线上，点，分别在和第37页（共37页）\n边上，与交于点，且点为的中点，则的度数为 A．B．C．D．10．（4分）（2021•重庆）如图，在建筑物左侧距楼底点水平距离150米的处有一山坡，斜坡的坡度（或坡比）为，坡顶到的垂直距离米（点，，，，在同一平面内），在点处测得建筑物顶点的仰角为，则建筑物的高度约为 （参考数据：；；A．69.2米B．73.1米C．80.0米D．85.7米11．（4分）（2021•重庆）关于的分式方程的解为正数，且使关于的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数的值之和是 A．B．C．D．12．（4分）（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，，连接，．若点为的中点，的面积为1，则的值为 第37页（共37页）\nA．B．C．2D．3二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上13．（4分）（2021•重庆）计算： ．14．（4分）（2021•重庆）不透明袋子中装有黑球1个、白球2个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，前后两次摸出的球都是白球的概率是 ．15．（4分）（2021•重庆）方程的解是 ．16．（4分）（2021•重庆）如图，在菱形中，对角线，，分别以点，，，为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留17．（4分）（2021•重庆）如图，△ABC中，点D为边BC的中点，连接AD，将△ADC沿直线AD翻折至△ABC所在平面内，得△ADC′，连接CC′，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若AE＝BE，BC′＝2，则AD的长为 ．第37页（共37页）\n18．（4分）（2021•重庆）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为，，三种盲盒各一个，其中盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为；盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，盒的成本为145元，盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则盒的成本为 元．三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.19．（10分）（2021•重庆）计算：（1）；（2）．20．（10分）（2021•重庆）2021年是中国共产党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下：抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10．七八年级教师竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数8.58.5中位数9第37页（共37页）\n众数8优秀率根据以上信息，解答下列问题：（1）填空： ， ；（2）估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数；（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异．21．（10分）（2021•重庆）如图，四边形为平行四边形，连接，且．请用尺规完成基本作图：作出的角平分线与交于点．连接交于点，交于点，猜想线段和线段的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）22．（10分）（2021•重庆）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．012345654217（1）写出函数关系式中及表格中，的值： ， ， ；（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质： ；第37页（共37页）\n（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．23．（10分）（2021•重庆）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份．为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加．求的值．24．（10分）（2021•重庆）对于任意一个四位数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“共生数”．例如：，因为，所以3507是“共生数”；，因为，所以4135不是“共生数”．第37页（共37页）\n（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；（2）对于“共生数”，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记．求满足各数位上的数字之和是偶数的所有．25．（10分）（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线为该抛物线的对称轴，点与点关于直线对称，点为直线下方抛物线上一动点，连接，，求面积的最大值．（3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线平移个单位，得到新的抛物线，点为点的对应点，点为的对称轴上任意一点，在上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.26．（8分）（2021•重庆）在等边中，，，垂足为，点为边上一点，点为直线上一点，连接．（1）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．①如图1，当点与点重合，且的延长线过点时，连接，求线段的长；②如图2，点不与点，重合，的延长线交边于点，连接，求证：第37页（共37页）\n；（2）如图3，当点为中点时，点为中点，点在边上，且，点从中点沿射线运动，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当最小时，直接写出的面积．第37页（共37页）\n2021年重庆市中考数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑1．（4分）（2021•重庆）3的相反数是 A．3B．C．D．【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，由此解答即可．【解答】解：3的相反数是，故选：．【点评】本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义．2．（4分）（2021•重庆）不等式的解集在数轴上表示正确的是 A．B．C．D．【分析】明确在数轴上表示5的右边的部分即可．【解答】解：不等式的解集在数轴上表示为：5右边的部分，不包括5，故选：．【点评】本题考查了不等式解集在数轴上的表示，明确“左小右大、空无实有”是解题的关键．3．（4分）（2021•重庆）计算结果正确的是 A．B．C．D．【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可．【解答】解：原式，故选：．【点评】本题考察了同底数幂的除法，解题的关键是牢记指数的变化规律．第37页（共37页）\n4．（4分）（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，将以原点为位似中心放大后得到，若，，则与的相似比是 A．B．C．D．【分析】根据信息，找到与的比值即可．【解答】解：，，，，以原点为位似中心放大后得到，与的相似比是，故选：．【点评】本题考查位似变换、坐标与图形的性质．关键在于找到相似比就是对应边的比．5．（4分）（2021•重庆）如图，是的直径，，是的弦，若，则的度数为 A．B．C．D．【分析】根据直径所对的圆周角为，即可求解．【解答】解：是的直径，，，第37页（共37页）\n，故选：．【点评】本题考查圆周角定理，关键在于知道直径所对的圆周角为直角．6．（4分）（2021•重庆）下列计算中，正确的是 A．B．C．D．【分析】根据合并同类二次根式法则、同类二次根式的定义、二次根式的乘法和除法法则逐一判断即可．【解答】解：．，此选项计算错误；．2与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；．，此选项计算正确；．，此选项计算错误；故选：．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类二次根式法则、同类二次根式的定义、二次根式的乘法和除法法则．7．（4分）（2021•重庆）小明从家出发沿笔直的公路去图书馆，在图书馆阅读书报后按原路回到家．如图，反映了小明离家的距离（单位：与时间（单位：之间的对应关系．下列描述错误的是 A．小明家距图书馆B．小明在图书馆阅读时间为C．小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足D．小明去图书馆的速度比回家时的速度快【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个选项的说法是否正确．第37页（共37页）\n【解答】解：由图象知：．小明家距图书馆，正确；．小明在图书馆阅读时间为小时，正确；．小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足，正确；．因为小明去图书馆需要1小时，回来不足1小时，所以小明去图书馆的速度比回家时的速度快，错误，符合题意．故选：．【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用图象来解答．8．（4分）（2021•重庆）如图，在和中，，添加一个条件，不能证明和全等的是 A．B．C．D．【分析】根据证明三角形全等的条件，，，逐一验证选项即可．【解答】解：在和中，，，：当时，，故能证明；：当时，不能证明两三角形全等，故不能证明；：当时，，故能证明；：当时，，故能证明；故选：．【点评】本题主要考查三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．9．（4分）（2021•重庆）如图，把含的直角三角板放置在正方形中，第37页（共37页）\n，直角顶点在正方形的对角线上，点，分别在和边上，与交于点，且点为的中点，则的度数为 A．B．C．D．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：，从而得出，利用四边形内角和定理即可求得．【解答】解：在中，，为的中点，，，，，在四边形中，，，，．故选：．【点评】本题以正方形为背景，考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，再进行导角转化，发现是解题的关键．10．（4分）（2021•重庆）如图，在建筑物左侧距楼底点水平距离150米的处有一山坡，斜坡的坡度（或坡比）为，坡顶到的垂直距离米（点，，，，在同一平面内），在点处测得建筑物顶点的仰角为，则建筑物的高度约为 第37页（共37页）\n（参考数据：；；A．69.2米B．73.1米C．80.0米D．85.7米【分析】利用斜坡的坡度（或坡比）为，求出的长，从而得出，再利用即可求出的长．【解答】解：斜坡的坡度（或坡比）为，，，，，，（米．故选：．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，明确坡度、仰角、俯角是解题的关键．11．（4分）（2021•重庆）关于的分式方程的解为正数，且使关于的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数的值之和是 A．B．C．D．【分析】由关于的一元一次不等式组有解得到的取值范围，再由关于的分式方程的解为正数得到的取值范围，将所得的两个不等式组成不等式组，确定的整数解，结论可求．【解答】解：关于的分式方程的解为．第37页（共37页）\n关于的分式方程的解为正数，．．关于的分式方程有可能产生增根2，．．解关于的一元一次不等式组得：．关于的一元一次不等式组有解，．．综上，且．为整数，或或0或1．满足条件的整数的值之和是：．故选：．【点评】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，确定分式方程的解时，注意分式方程可能产生增根的情形是解题的关键．12．（4分）（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，，连接，．若点为的中点，的面积为1，则的值为 第37页（共37页）\nA．B．C．2D．3【分析】首先设，表示出，再根据，，都在双曲线上，依次表示出坐标，再由，转化为，列出等式即可求得．【解答】解：设，矩形，，矩形，为的中点，则也为的中点，点在轴上，的纵坐标为，，为的中点，点，点，的面积为1，，，，解得：．故选：．第37页（共37页）\n【点评】本题主要考查了反比例函数的几何意义，根据中点坐标公式表示出各点坐标是解题的关键．二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上13．（4分）（2021•重庆）计算： 2 ．【分析】利用算术平方根，零指数幂的意义进行运算．【解答】解：原式．故答案为：2．【点评】本题主要考查了实数的运算，算术平方根，零指数幂的意义．熟练应用上述法则是解题的关键．14．（4分）（2021•重庆）不透明袋子中装有黑球1个、白球2个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，前后两次摸出的球都是白球的概率是 ．【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：列表如下黑白白黑（黑，黑）（白，黑）（白，黑）白（黑，白）（白，白）（白，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）由表可知，共有9种等可能结果，其中前后两次摸出的球都是白球的有4种结果，所以前后两次摸出的球都是白球的概率为，故答案为：．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．15．（4分）（2021•重庆）方程的解是 ．第37页（共37页）\n【分析】按照去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可．【解答】解：方程两边同除以2得：．移项，合并同类项得：．故答案为：．【点评】本题主要考查了解一元一次方程．解一元一次方程常见的过程有去分母，去括号、移项、合并同类项，系数化为1等．16．（4分）（2021•重庆）如图，在菱形中，对角线，，分别以点，，，为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留【分析】先求出菱形面积，再计算四个扇形的面积即可求解．【解答】解：在菱形中，有：，．．．四个扇形的面积，是一个以的长为半径的圆．图中阴影部分的面积．故答案为：．【点评】本题考查菱形的性质、扇形面积计算．关键在于图中四个扇形的面积实际上是一个圆的面积．17．（4分）（2021•重庆）如图，△ABC中，点D为边BC的中点，连接AD，将△ADC沿直线AD翻折至△ABC所在平面内，得△ADC′，连接CC′，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若AE＝BE，BC′＝2，则AD的长为 3 ．第37页（共37页）\n【分析】根据翻折的性质和三角形的中位线可以得到OD的长，然后根据全等三角形的判定和性质可以得到AO的长，从而可以求得AD的长．【解答】解：由题意可得，△DCA≌△DC′A，OC＝OC′，∠COD＝∠C′OD＝90°，∴点O为CC′的中点，∵点D为BC的中点，∴OD是△BCC′的中位线，∴OD＝BC′，OD∥BC′，∴∠COD＝∠EC′B＝90°，∵AE＝BE，BC′＝2，∴OD＝1，在△EC′B和△EOA中，，∴△EC′B≌△EOA（AAS），∴BC′＝AO，∴AO＝2，∴AD＝AO+OD＝2+1＝3，故答案为：3．【点评】本题考查翻折变换、三角形的中位线、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是求出DO和AO的长，利用数形结合的思想解答．18．（4分）（2021•重庆）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为，，三种盲盒各一个，其中盒中有2个蓝牙耳机，3第37页（共37页）\n个多接口优盘，1个迷你音箱；盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为；盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，盒的成本为145元，盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则盒的成本为 155 元．【分析】根据题意确定盲盒各种物品的数量，设出三种物品的价格列出代数式，解代数式即可．【解答】解：蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱；盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共（个，盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为，盒中有多接口优盘（个，蓝牙耳机有（个，迷你音箱有（个，设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本价分别为元，元，元，由题知：，①②得：，②①得：，盒的成本为：（元，故答案为：155．【点评】本题主要考查列代数式和代数式的运算，利用、盒中的价格关系求出盒的价格是解题的关键．三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.19．（10分）（2021•重庆）计算：（1）；第37页（共37页）\n（2）．【分析】（1）先利用单项式乘多项式法则、完全平方公式计算，再合并同类项即可；（2）先将被除式分子、分母因式分解，同时计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，继而约分即可．【解答】解：（1）原式；（2）原式．【点评】本题主要考查分式和整式的混合运算，解题的关键是掌握分式和整式的混合运算顺序及其运算法则．20．（10分）（2021•重庆）2021年是中国共产党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下：抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10．七八年级教师竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数8.58.5中位数9众数8优秀率根据以上信息，解答下列问题：（1）填空： 8 ， ；（2）估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数；第37页（共37页）\n（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异．【分析】（1）根据中位数定义、众数的定义即可找到、的值．（2）计算出成绩达到8分及以上的人数的频率即可求解．（3）根据优秀率进行评价即可．【解答】解：（1）七年级教师的竞赛成绩：6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10．中位数．根据扇形统计图可知类是最多的，故．故答案为：8；9．（2）该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数估计为（人．（3）根据表中可得，七八年级的优秀率分别是：、．故八年级的教师学习党史的竞赛成绩谁更优异．【点评】本题考查中位数、众数定义、用样本去估算总体．关键在于从图中获取信息，结合中位数、众数进行作答．21．（10分）（2021•重庆）如图，四边形为平行四边形，连接，且．请用尺规完成基本作图：作出的角平分线与交于点．连接交于点，交于点，猜想线段和线段的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）【分析】根据题意作出图即可；第37页（共37页）\n【解答】解：如图：猜想：．证明：四边形为平行四边形．，．．．的角平分线与交于点．．．【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质．关键在于利用平行四边形的对角线互相平分得到是等腰三角形．22．（10分）（2021•重庆）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．012345654217（1）写出函数关系式中及表格中，的值： ， ， ；（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质： ；（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．第37页（共37页）\n【分析】（1）代入一对、的值即可求得的值，然后代入求值，代入求值即可；（2）利用描点作图法作出图像并写出一条性质即可；（3）根据图像求出即可．【解答】解：（1）当时，，解得：，即函数解析式为：，当时，，当时，，故答案为：，3，4；（2）图象如右图，根据图象可知当时函数有最小值；（3）根据当的函数图象在函数的图象上方时，不等式成立，或．第37页（共37页）\n【点评】本题主要考查一次函数和反比例函数图象性质，熟练掌握描点作图和一次函数及反比例函数图象性质是解题的关键．23．（10分）（2021•重庆）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份．为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加．求的值．【分析】（1）设每份“堂食”小面的价格为元，每份“生食”小面的价格为元，根据3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元列方程组解出可得结论；（2）根据5月“堂食”小面的销售额“生食”小面的销售额月的总销售额，用换元法解方程可得结论．第37页（共37页）\n【解答】解：（1）设每份“堂食”小面的价格为元，每份“生食”小面的价格为元，根据题意得：，解得：，答：每份“堂食”小面的价格为7元，每份“生食”小面的价格为5元；（2）由题意得：，设，则方程可化为：，，，解得：（舍，，．【点评】本题考查一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，确定对应的等量关系．24．（10分）（2021•重庆）对于任意一个四位数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“共生数”．例如：，因为，所以3507是“共生数”；，因为，所以4135不是“共生数”．（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；（2）对于“共生数”，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记．求满足各数位上的数字之和是偶数的所有．【分析】（1）根据题目中的定义，可直接判断5313，6437是否为“共生数”；（2）根据定义，先用两个未知数表示，然后列出含有的式子，找出满足要求的结果即可．【解答】解：（1），第37页（共37页）\n是”共生数“，，不是“共生数”；（2）是“共生数”，根据题意，个位上的数字要大于百位上的数字，设的千位上的数字为，则十位上的数字为，，设的百位上的数字为，个位和百位都是的数字，个位上的数字为，且，；，由于是“共生数”，，即，可能的情况有：，的值为1227或2148或3069，各位数和为偶数的有1227和3069，的值是1227或3069．【点评】此题主要考查新定义的运算，正确理解新定义的运算是解题的关键，第二问中要能根据题意写出是突破口．25．（10分）（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线为该抛物线的对称轴，点与点关于直线对称，点为直线下方抛物线上一动点，连接，，求面积的最大值．第37页（共37页）\n（3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线平移个单位，得到新的抛物线，点为点的对应点，点为的对称轴上任意一点，在上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【分析】（1）直角代入点，坐标即可；（2）作轴交直线于，通过铅垂高表示出的面积即可求出最大面积；（3）通过平移距离为，转化为向右平移4个单位，再向下平移4个单位，得出平移后的抛物线关系式和的坐标，从而平行四边形中，已知线段，分为边还是对角线，通过点的平移得出的横坐标即可．【解答】解：（1）将，代入得，，，（2）当时，，点，点与点关于直线对称，，第37页（共37页）\n，直线的函数关系式为：，设，作轴交直线于，，，，当时，最大为，（3）直线与轴正方向夹角为，沿方向平移，实际可看成向右平移4个单位，再向下平移4个单位，，，抛物线平移后，第37页（共37页）\n抛物线的对称轴为：直线，当为平行四边形的边时：若平移到对称轴上点，则的横坐标为，代入得，，若平移到对称轴上点，则的横坐标为，代入得，，若为平行四边形的对角线时，若平移到对称轴上点，则平移到点，的横坐标为，代入得，第37页（共37页）\n或或，【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式，铅垂高求三角形的面积，以及平移的性质和平行四边形的性质和判定，解决问题的关键是沿平移转化为右平移4个单位，再向下平移4个单位，属于中考压轴题．四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.26．（8分）（2021•重庆）在等边中，，，垂足为，点为边上一点，点为直线上一点，连接．（1）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．①如图1，当点与点重合，且的延长线过点时，连接，求线段的长；②如图2，点不与点，重合，的延长线交边于点，连接，求证：；第37页（共37页）\n（2）如图3，当点为中点时，点为中点，点在边上，且，点从中点沿射线运动，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当最小时，直接写出的面积．【分析】（1）①过作于，先证明是等边三角形，求出长度，再证明，从而在中，求出，即得，在中，求出和，可得，中，即可得到；②过作交于，过作交于，连接，作中点，连接，由，得、、、共圆，可得，从而可证，由、、、共圆可得，故，，可得，，在中，，中，，即可得到；（2）以为顶点，为一边，作，交于，过作于，设交于，中，，最小即是最小，此时、、共线，而将线段绕点顺时针旋转得到线段，可得，从而可证，四边形是矩形，由，得，由等边中，，点为中点时，点为中点，可得，，中，，，可求，，第37页（共37页）\n中，可得，从而可得，故．【解答】解：（1）①过作于，如图：线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合，且的延长线过点，，，是等边三角形，，，等边，，，，，，，，，，中，，，中，，，，，中，；②过作交于，过作交于，连接，作中点，连接，如图：第37页（共37页）\n绕点逆时针旋转得到线段，是等边三角形，，，，是等边三角形，，，、、、共圆，，而是等边三角形，，，即，，，①，，，，，，、、、共圆，，，，，②，而③，由①②③得，第37页（共37页）\n，，中点，，，，，中，，，，即，中，，中，，，；（2）以为顶点，为一边，作，交于，过作于，设交于，如图：中，，最小即是最小，此时、、共线，将线段绕点顺时针旋转得到线段，在射线上运动，则在射线上运动，根据“瓜豆原理”，为主动点，是从动点，为定点，，则、轨迹的夹角，第37页（共37页）\n，，，，，，，，而，，四边形是矩形，，边中，，，，又，，等边中，，点为中点时，点为中点，，，中，，，，，中，，，．【点评】本题考查等边三角形性质及应用，涉及旋转变换、解直角三角形、三角形全等的判定及性质、矩形的判定及性质等知识，难度较大，解题的关键是构造辅助线．第37页（共37页）
