2021年浙江省台州市中考数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选多选、错选，均不给分）1．（4分）（2021•台州）用五个相同的正方体搭成如图所示的立体图形，则该立体图形的主视图是 A．B．C．D．2．（4分）（2021•台州）小光准备从地去往地，打开导航、显示两地距离为，但导航提供的三条可选路线长却分别为，，（如图）．能解释这一现象的数学知识是 A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．三角形两边之和大于第三边D．两点确定一条直线3．（4分）（2021•台州）大小在和之间的整数有 A．0个B．1个C．2个D．3个4．（4分）（2021•台州）下列运算中，正确的是 第31页（共31页）\nA．B．C．D．5．（4分）（2021•台州）关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 A．B．C．D．6．（4分）（2021•台州）超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：平均数和方差分别为，，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差分别为，，则下列结论一定成立的是 A．B．C．D．7．（4分）（2021•台州）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若，则 A．B．C．D．8．（4分）（2021•台州）已知，，则 A．24B．48C．12D．9．（4分）（2021•台州）将克含糖的糖水与克含糖的糖水混合，混合后的糖水含糖 A．B．第31页（共31页）\nC．D．10．（4分）（2021•台州）如图，将长、宽分别为，的长方形纸片分别沿，折叠，点，恰好重合于点．若，则折叠后的图案（阴影部分）面积为 A．B．C．D．二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）（2021•台州）因式分解： ．12．（5分）（2021•台州）一个不透明布袋中有2个红球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，该小球是红色的概率为 ．13．（5分）（2021•台州）如图，将线段绕点顺时针旋转，得到线段．若，则点经过的路径长度为 ．（结果保留14．（5分）（2021•台州）如图，点，，分别在正方形的边，，上，．若，，则 ．第31页（共31页）\n15．（5分）（2021•台州）如图，在中，，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接．以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接．若，则的周长为 ．16．（5分）（2021•台州）以初速度（单位：从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度（单位：与小球的运动时间（单位：之间的关系式是．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为，经过时间落回地面，运动过程中小球的最大高度为（如图；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为，经过时间落回地面，运动过程中小球的最大高度为（如图．若，则 ．第31页（共31页）\n三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24分14分，共80分）17．（8分）（2021•台州）计算：．18．（8分）（2021•台州）解方程组：．19．（8分）（2021•台州）图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图．支撑杆垂直于地面，活动杆固定在支撑杆上的点处．若，，，求活动杆端点离地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，20．（8分）（2021•台州）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴毫升”．输液开始时，药液流速为75滴分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；（2）求小华从输液开始到结束所需的时间．21．（10分）（2021•台州）如图，在四边形中，，．第31页（共31页）\n（1）求证：；（2）当时，求的度数．22．（12分）（2021•台州）杨梅果实成熟期正值梅雨季节，雨水过量会导致杨梅树大量落果，给果农造成损失．为此，市农科所开展了用防雨布保护杨梅果实的实验研究．在某杨梅果园随机选择40棵杨梅树，其中20棵加装防雨布（甲组），另外20棵不加装防雨布（乙组）．在杨梅成熟期，统计了甲、乙两组中每一棵杨梅树的落果率（落地的杨梅颗数占树上原有杨梅颗数的百分比），绘制成统计图表（数据分组包含左端值不包含右端值）．甲组杨梅树落果率频数分布表落果率组中值频数（棵124211（1）甲、乙两组分别有几棵杨梅树的落果率低于？（2）请用落果率的中位数或平均数，评价市农科所“用防雨布保护杨梅果实”的实际效果；（3）若该果园的杨梅树全部加装这种防雨布，落果率可降低多少？说出你的推断依据．第31页（共31页）\n23．（12分）（2021•台州）电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，，其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为，该读数可以换算为人的质量，温馨提示：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压（1）求，的值；（2）求关于的函数解析式；（3）用含的代数式表示；（4）若电压表量程为伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．24．（14分）（2021•台州）如图，是半径为3的的一条弦，，点是上的一个动点（不与点，重合），以，，为顶点作．第31页（共31页）\n（1）如图2，若点是劣弧的中点．①求证：是菱形；②求的面积．（2）若点运动到优弧上，且有一边与相切．①求的长；②直接写出对角线所夹锐角的正切值．第31页（共31页）\n2021年浙江省台州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选多选、错选，均不给分）1．（4分）（2021•台州）用五个相同的正方体搭成如图所示的立体图形，则该立体图形的主视图是 A．B．C．D．【分析】找到从正面看所得到的图形即可．【解答】解：从正面看，底层是两个小正方形，上层是两个小正方形，形成一个“田”字．故选：．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．2．（4分）（2021•台州）小光准备从地去往地，打开导航、显示两地距离为，但导航提供的三条可选路线长却分别为，，（如图）．能解释这一现象的数学知识是 第31页（共31页）\nA．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．三角形两边之和大于第三边D．两点确定一条直线【分析】根据线段的性质，可得答案．【解答】解：从地去往地，打开导航、显示两地距离为，理由是两点之间线段最短，故选：．【点评】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题的关键．3．（4分）（2021•台州）大小在和之间的整数有 A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】估算出、的大小，即可作出判断．【解答】解：，，即，在和之间的整数有1个，就是2，故选：．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出、的取值范围是解题的关键．4．（4分）（2021•台州）下列运算中，正确的是 A．B．C．D．【分析】根据整式的加减运算法则以及乘法运算法则即可求出答案．【解答】解：、与不是同类项，不能合并，故不符合题意，第31页（共31页）\n、原式，故不符合题意．、原式，故符合题意．、原式，故不符合题意．故选：．【点评】本题考查整式的加减运算以及乘除运算，解题的关键是熟练运用加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．5．（4分）（2021•台州）关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 A．B．C．D．【分析】利用判别式的意义得到△，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△，解得．故选：．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．6．（4分）（2021•台州）超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：平均数和方差分别为，，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差分别为，，则下列结论一定成立的是 A．B．C．D．【分析】根据方差的意义求解．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．第31页（共31页）\n【解答】解：超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，货架上原有鸡蛋的质量的方差该顾客选购的鸡蛋的质量方差，而平均数无法比较．故选：．【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．7．（4分）（2021•台州）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若，则 A．B．C．D．【分析】直接利用三角形外角的性质结合平行线的性质和三角形内角和定理得出答案．【解答】解：如图，，，，矩形对边平行，，，．故选：．第31页（共31页）\n【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质，正确得出的度数是解题关键．8．（4分）（2021•台州）已知，，则 A．24B．48C．12D．【分析】根据题中条件，结合完全平方公式，先计算出的值，然后再除以2即可求出答案．【解答】解：，将，代入，可得，则，所以，故选：．【点评】本题考查完全平方公式的应用，根据题中条件，变换形式即可．9．（4分）（2021•台州）将克含糖的糖水与克含糖的糖水混合，混合后的糖水含糖 A．B．C．D．【分析】根据克含糖的糖水与克含糖的糖水混合，可知含糖的质量为第31页（共31页）\n，要求混合后的糖水含糖的百分比，只要用混合后糖的质量除以混合后糖水的质量再乘以即可．【解答】解：由题意可得，混合后的糖水含糖：，故选：．【点评】本题考查列代数式（分式），解答本题的关键是明确混合前后糖的质量等于混合前的质量之和，糖水前后总质量相等．10．（4分）（2021•台州）如图，将长、宽分别为，的长方形纸片分别沿，折叠，点，恰好重合于点．若，则折叠后的图案（阴影部分）面积为 A．B．C．D．【分析】根据题意可知阴影部分的面积长方形的面积三角形的面积，根据题中数据计算三角形的面积即可．【解答】解：根据翻折可知，，，，，，，第31页（共31页）\n，阴影部分的面积，故选：．【点评】本题主要考查翻折和矩形的性质等知识点，熟练掌握和应用翻折的性质是解题的关键．二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）（2021•台州）因式分解： ．【分析】原式提取公因式，即可得到结果．【解答】解：原式．故答案为：．【点评】此题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．12．（5分）（2021•台州）一个不透明布袋中有2个红球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，该小球是红色的概率为 ．【分析】直接根据概率公式求解．【解答】解：从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率．故答案为：．【点评】本题考查了概率公式：随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．13．（5分）（2021•台州）如图，将线段绕点顺时针旋转，得到线段．若第31页（共31页）\n，则点经过的路径长度为 ．（结果保留【分析】利用弧长公式计算即可．【解答】解：长度，故答案为：．【点评】本题考查弧长公式，旋转变换等知识，解题的关键是记住弧长．14．（5分）（2021•台州）如图，点，，分别在正方形的边，，上，．若，，则 ．【分析】由正方形的性质可得，，通过证明，可得，可求解．【解答】解：四边形是正方形，，，，，，第31页（共31页）\n，，，，，，故答案为．【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明是解题的关键．15．（5分）（2021•台州）如图，在中，，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接．以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接．若，则的周长为 6 ．【分析】直接利用基本作图方法得出垂直平分,,再利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得出，即可得出答案．【解答】解：由基本作图方法得出：垂直平分,则,可得,,第31页（共31页）\n,,的周长为．故答案为：6．【点评】此题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确得出是解题关键．16．（5分）（2021•台州）以初速度（单位：从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度（单位：与小球的运动时间（单位：之间的关系式是．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为，经过时间落回地面，运动过程中小球的最大高度为（如图；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为，经过时间落回地面，运动过程中小球的最大高度为（如图．若，则 ．【分析】利用，求出，，再根据，求出，可得结论．【解答】解：由题意，，，，，，，第31页（共31页）\n，故答案为：．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是求出，，证明即可．三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24分14分，共80分）17．（8分）（2021•台州）计算：．【分析】直接利用算术平方根、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（8分）（2021•台州）解方程组：．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①②得：，即，把代入①得：，则方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．第31页（共31页）\n19．（8分）（2021•台州）图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图．支撑杆垂直于地面，活动杆固定在支撑杆上的点处．若，，，求活动杆端点离地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，【分析】过点作于点，得矩形，可得，然后根据锐角三角函数可得的长，进而可得活动杆端点离地面的高度．【解答】解：如图，过点作于点，得矩形，，在中，，，，．．第31页（共31页）\n答：活动杆端点离地面的高度为．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形的方法．20．（8分）（2021•台州）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴毫升”．输液开始时，药液流速为75滴分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；（2）求小华从输液开始到结束所需的时间．【分析】（1）先求出药液流速为5毫升分钟，再求出输液10分钟的毫升数，用250减去输液10分钟的毫升数即为所求；（2）可设小华从输液开始到结束所需的时间为分钟，根据输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升，列出方程计算即可求解．【解答】解：（1）（毫升）．故输液10分钟时瓶中的药液余量是200毫升；（2）设小华从输液开始到结束所需的时间为分钟，依题意有，解得．故小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，本题关键是求出输液前10分钟药液流速和输液10第31页（共31页）\n分钟后药液流速．21．（10分）（2021•台州）如图，在四边形中，，．（1）求证：；（2）当时，求的度数．【分析】根据已知条件利于即可求证；过点作于点,根据已知条件利于锐角三角函数求出的长，再根据边的关系即可推出的度数，从而求出的度数．【解答】解：（1）证明：在和中，，；（2）过点作于点，如图所示，，，第31页（共31页）\n,，又在中，，，，又，．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及能结合三角函数进行正确计算是解题的关键．22．（12分）（2021•台州）杨梅果实成熟期正值梅雨季节，雨水过量会导致杨梅树大量落果，给果农造成损失．为此，市农科所开展了用防雨布保护杨梅果实的实验研究．在某杨梅果园随机选择40棵杨梅树，其中20棵加装防雨布（甲组），另外20棵不加装防雨布（乙组）．在杨梅成熟期，统计了甲、乙两组中每一棵杨梅树的落果率（落地的杨梅颗数占树上原有杨梅颗数的百分比），绘制成统计图表（数据分组包含左端值不包含右端值）．甲组杨梅树落果率频数分布表落果率组中值频数（棵124211（1）甲、乙两组分别有几棵杨梅树的落果率低于？（2）请用落果率的中位数或平均数，评价市农科所“用防雨布保护杨梅果实”的实际效果；第31页（共31页）\n（3）若该果园的杨梅树全部加装这种防雨布，落果率可降低多少？说出你的推断依据．【分析】（1）根据分布表和条形统计图即可得出甲、乙两组分别有几棵杨梅树的落果率低于；（2）分别计算甲、乙两组落果率的中位数或平均数，评价实际效果；（3）对比甲组比乙组杨梅树的落果率降低多少做出推断即可．【解答】解：（1）由甲组杨梅树落果率频数分布表知，甲组杨梅树的落果率低于的有：（棵，由乙组杨梅树落果率频数分布直方图知，乙组杨梅树的落果率低于的有：（棵；（2）甲组落果率的中位数位于之间，乙组落果率的中位数是之间，可见甲组的落果率远小于乙组，市农科所“用防雨布保护杨梅果实”确实有效果；（3）甲组落果率的平均数为：，乙组落果率的平均数为：，（甲组取中值，乙组也取中值），第31页（共31页）\n落果率可降低．【点评】本题主要考查平均数，中位数，频率分布表和频率分布直方图等知识点，熟练掌握平均数和中位数等知识点是解题的关键．23．（12分）（2021•台州）电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，，其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为，该读数可以换算为人的质量，温馨提示：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压（1）求，的值；（2）求关于的函数解析式；（3）用含的代数式表示；（4）若电压表量程为伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．【分析】（1）待定系数法求出，；（2）通过串联电路中电流处处相等和可以列出等量关系，然后再化简为关于的函数解析式；第31页（共31页）\n（3）把第（1）问求出的与的函数解析式代入第（2）中的与的关系式中消去，然后变形；（4）利用第（3）问中与的关系式，结合和关于的增减性，得出电子体重秤可称的最大质量．【解答】解：（1）将，代入，得：，解得：．．由题意得：可变电阻两端的电压电源电压电表电压，即：可变电阻电压，，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，．化简得：,,,将代入，得：,第31页（共31页）\n化简得：．中，且，随的增大而增大，取最大值6的时候，．【点评】本题以物理中得电路问题为背景，考查了学生对于求解一次函数和反比例函数关系式的掌握情况，解题的关键是先要求找出两个要求量之间的等量关系，然后化简为要求的表达式，转化过程中需要注意无关量的消去，一般情况下都是用代入法消元来解决这一问题的．第（4）问除应用反比例函数的增减性解题外，也可以将与的关系式转化为关于的不等式，再代入中，求出电子体重秤可称的最大质量24．（14分）（2021•台州）如图，是半径为3的的一条弦，，点是上的一个动点（不与点，重合），以，，为顶点作．（1）如图2，若点是劣弧的中点．①求证：是菱形；②求的面积．（2）若点运动到优弧上，且有一边与相切．①求的长；②直接写出对角线所夹锐角的正切值．第31页（共31页）\n【分析】（1）①根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．②求出的长，可得结论．（2）①分两种情形：当与相切时，当与相切时，分别利用相似三角形的性质求解即可．②如图中，过点作于．想办法求出,即可．如图中，同法可得对角线所夹锐角的正切值．【解答】（1）①证明：,,四边形是平行四边形，四边形是菱形．②解：连接交于,连接．,第31页（共31页）\n,四边形是菱形，,,,共线，在中，,,,,四边形是菱形，,．（2）①解：当与相切时，连接交于,连接,,延长交于,过点作于．是的切线，,第31页（共31页）\n,,,,四边形是平行四边形，,,,,,,,,,,当与相切时，同法可证．第31页（共31页）\n综上所述，的长为或．②解：如图中，过点作于．,,,,,如图中，同法可得对角线所夹锐角的正切值为，综上所述，对角线所夹锐角的正切值为，【点评】本题属于圆综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，切线的性质，垂径定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．第31页（共31页）
