2021年四川省南充市中考数学试卷

2021年四川省南充市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分.1．（4分）（2021•南充）满足的最大整数是　　A．1B．2C．3D．42．（4分）（2021•南充）数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则为　　A．B．2C．1D．3．（4分）（2021•南充）如图，点是对角线的交点，过点分别交，于点，，下列结论成立的是　　A．B．C．D．4．（4分）（2021•南充）据统计，某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：5，5，6，6，6，7，7．下列说法错误的是　　A．该组数据的中位数是6B．该组数据的众数是6C．该组数据的平均数是6D．该组数据的方差是65．（4分）（2021•南充）端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽元，则可列方程为　　A．B．第40页（共40页）\nC．D．6．（4分）（2021•南充）下列运算正确的是　　A．B．C．D．7．（4分）（2021•南充）如图，是的直径，弦于点，，则的度数为　　A．B．C．D．8．（4分）（2021•南充）如图，在菱形中，，点，分别在边，上，，的周长为，则的长为　　A．B．C．D．9．（4分）（2021•南充）已知方程的两根分别为，，则的值为　　第40页（共40页）\nA．1B．C．2021D．10．（4分）（2021•南充）如图，在矩形中，，，把边沿对角线平移，点，分别对应点，给出下列结论：①顺次连接点，，，的图形是平行四边形；②点到它关于直线的对称点的距离为48；③的最大值为15；④的最小值为．其中正确结论的个数是　　A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上.11．（4分）（2021•南充）如果，则　　．12．（4分）（2021•南充）在，，1，2这四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是　　．13．（4分）（2021•南充）如图，点是矩形边上一点，点，，分别是，，的中点，，则的长为　　．第40页（共40页）\n14．（4分）（2021•南充）若，则　　．15．（4分）（2021•南充）如图，在中，为上一点，，则的值为　　．16．（4分）（2021•南充）关于抛物线，给出下列结论：①当时，抛物线与直线没有交点；②若抛物线与轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点与之间；③若抛物线的顶点在点，，围成的三角形区域内（包括边界），则．其中正确结论的序号是　　．三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。17．（8分）（2021•南充）先化简，再求值：，其中．18．（8分）（2021•南充）如图，，是内部一条射线，若，于点，于点．求证：．第40页（共40页）\n19．（8分）（2021•南充）某市体育中考自选项目有乒乓球、篮球和羽毛球，每个考生任选一项作为自选考试项目．（1）求考生小红和小强自选项目相同的概率；（2）除自选项目之外，长跑和掷实心球为必考项目．小红和小强的体育中考各项成绩（百分制）的统计图表如下：考生自选项目长跑掷实心球小红959095小强909595①补全条形统计图．②如果体育中考按自选项目占、长跑占、掷实心球占计算成绩（百分制），分别计算小红和小强的体育中考成绩．20．（10分）（2021•南充）已知关于的一元二次方程．第40页（共40页）\n（1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两个实数根为，，且与都为整数，求所有可能的值．21．（10分）（2021•南充）如图，反比例函数的图象与过点，的直线交于点和．（1）求直线和反比例函数的解析式；（2）已知点，直线与反比例函数图象在第一象限的交点为，直接写出点的坐标，并求的面积．22．（10分）（2021•南充）如图，，是上两点，且，连接并延长到点，使，连接．（1）求证：是的切线；（2）点，分别是，的中点，所在直线交于点，，，求的长．第40页（共40页）\n23．（10分）（2021•南充）超市购进某种苹果，如果进价增加2元千克要用300元；如果进价减少2元千克，同样数量的苹果只用200元．（1）求苹果的进价；（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元千克，写出购进苹果的支出（元与购进数量（千克）之间的函数关系式；（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销售单价（元千克）与一天销售数量（千克）的关系为．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润（元最大，求一天购进苹果数量．（利润销售收入购进支出）24．（10分）（2021•南充）如图，点在正方形边上，点是线段上的动点（不与点重合），交于点，于点，，．（1）求；（2）设，，试探究与的函数关系式（写出的取值范围）；（3）当时，判断与的位置关系并说明理由．第40页（共40页）\n25．（12分）（2021•南充）如图，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，对称轴为直线．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且．在轴上是否存在点，得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．第40页（共40页）\n2021年四川省南充市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分.1．（4分）（2021•南充）满足的最大整数是　　A．1B．2C．3D．4【分析】根据不等式得出选项即可．【解答】解：满足的最大整数是3，故选：．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解和有理数的大小比较法则，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键．2．（4分）（2021•南充）数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则为　　A．B．2C．1D．【分析】一个数到原点的距离可以用绝对值表示，例如表示数表示的点到原点的距离．所以，表示数和的点到原点的距离相等可以表示为．然后，进行分类讨论，即可求出对应的的值．【解答】解：由题意得：，或，．故选：．第40页（共40页）\n【点评】本题在根据绝对值的几何意义列出方程之后，在解方程的时候要注意分类讨论，除了同一个数的绝对值相等之外，相反数的绝对值也相等．并且，在解方程之后，会发现有一个方程是无解的．这是一个易错题．3．（4分）（2021•南充）如图，点是对角线的交点，过点分别交，于点，，下列结论成立的是　　A．B．C．D．【分析】证，得，，，进而得出结论．【解答】解：的对角线，交于点，，，，，在和中，，，，，，又，选项正确，选项、、不正确，故选：．第40页（共40页）\n【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．4．（4分）（2021•南充）据统计，某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：5，5，6，6，6，7，7．下列说法错误的是　　A．该组数据的中位数是6B．该组数据的众数是6C．该组数据的平均数是6D．该组数据的方差是6【分析】根据众数、平均数、中位数、方差的定义和公式分别进行计算即可．【解答】解：、把这些数从小到大排列为：5，5，6，6，6，7，7．则中位数是6，故本选项说法正确，不符合题意；、出现了3次，出现的次数最多，众数是6，故本选项说法正确，不符合题意；、平均数是，故本选项说法正确，不符合题意；、方差为：，故本选项说法错误，符合题意；故选：．【点评】本题考查了众数、平均数、中位数、方差．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．5．（4分）（2021•南充）端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽元，则可列方程为　　A．B．第40页（共40页）\nC．D．【分析】设每个肉粽元，则每个素粽元，根据总价单价数量，结合购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．【解答】解：设每个肉粽元，则每个素粽元，依题意得：．故选：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．6．（4分）（2021•南充）下列运算正确的是　　A．B．C．D．【分析】根据分式的乘除法和加减法可以计算出各个选项中式子的正确结果，从而可以解答本题．【解答】解：，故选项错误；，故选项错误；，故选项错误；，故选项正确；故选：．【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．7．（4分）（2021•南充）如图，是的直径，弦于点，，则第40页（共40页）\n的度数为　　A．B．C．D．【分析】由垂径定理知，点是的中点，有，可得，则，利用圆周角定理即可求解．【解答】解：是的直径，弦于点，，，，，，．故选：．【点评】本题考查了垂径定理和圆周角定理，得出，求出是解题的关键．8．（4分）（2021•南充）如图，在菱形中，，点，分别在边，上，，的周长为，则的长为　　第40页（共40页）\nA．B．C．D．【分析】连结，作,垂足为，先证明是等边三角形，再根据证明，得到是等边三角形，根据周长求出边长，设,则，,在中，根据勾股定理列方程求出,进而得到的值．【解答】解：如图，连结，作,垂足为，四边形是菱形，,,，是等边三角形，,,,,，，,，,是等边三角形，的周长是，第40页（共40页）\n,设,则，,,,,，在中，,,解得：(负值舍去），，故选：．【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是构造直角三角形，根据勾股定理求出．9．（4分）（2021•南充）已知方程的两根分别为，，则的值为　　A．1B．C．2021D．【分析】由题意得出，，第40页（共40页）\n，将代数式变形后再代入求解即可．【解答】解：方程的两根分别为，，，，，，，，，．故选：．【点评】本题考查了根的定义及根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，熟练掌握代数式的求值技巧是解题的关键．10．（4分）（2021•南充）如图，在矩形中，，，把边沿对角线平移，点，分别对应点，给出下列结论：①顺次连接点，，，的图形是平行四边形；②点到它关于直线的对称点的距离为48；③的最大值为15；第40页（共40页）\n④的最小值为．其中正确结论的个数是　　A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①根据平行四边形的判定可得结论．②作点关于直线的对称点,连接交于,交于点,则．利用面积法求出即可．③根据,推出,可得结论．④作点关于的对称点,连接交于,过点作交的延长线于,连接交于,此时的值最小，最小值．【解答】解：如图1中，,,,,,,四边形是平行四边形，故①正确，作点关于直线的对称点,连接交于,交于点,则．四边形是矩形，,,,第40页（共40页）\n,,,故②正确，,,的最大值为15,故③正确，如图2中，,,作点关于的对称点,连接交于,过点作交的延长线于,连接交于,此时的值最小，最小值,由,可得,,,,由,可得,,,,,,第40页（共40页）\n的最小值为．故④正确，故选：．【点评】本题考查轴对称最短问题，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上.11．（4分）（2021•南充）如果，则　　．【分析】根据平方根的定义解答即可．第40页（共40页）\n【解答】解：，开平方得；故答案为：．【点评】本题考查了平方根的运算，开方运算是解题关键，注意一个正数有正负两个平方根．12．（4分）（2021•南充）在，，1，2这四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是　　．【分析】所列4个数中，倒数等于其本身的只有和1这2个，利用概率公式求解即可．【解答】解：在，，1，2这四个数中，其倒数等于本身的有和1这两个数，所以四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是，故答案为：．【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数及倒数的定义．13．（4分）（2021•南充）如图，点是矩形边上一点，点，，分别是，，的中点，，则的长为　3　．【分析】由矩形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质可求解，再利用三角形中位线定理可求解．【解答】解：在矩形中，，为的中点，，第40页（共40页）\n．，分别为，的中点，，故答案为3．【点评】本题主要考查矩形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，求解的长是解题的关键．14．（4分）（2021•南充）若，则　　．【分析】利用分式化简，得出，代入即可求解．【解答】解：，，，故答案为：．【点评】本题考查了分式的化简求值，关键是根据已知条件表示出与的关系．15．（4分）（2021•南充）如图，在中，为上一点，，则的值为　　．【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明出，再根据相似三角形的对应边成比例，变形即可得出答案．第40页（共40页）\n【解答】解：，，，，,,故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明出．16．（4分）（2021•南充）关于抛物线，给出下列结论：①当时，抛物线与直线没有交点；②若抛物线与轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点与之间；③若抛物线的顶点在点，，围成的三角形区域内（包括边界），则．其中正确结论的序号是　②③　．【分析】①构建方程组，转化为一元二次方程，利用判别式的值判断即可．②首先证明，再证明时，，可得结论．③首先证明，再根据顶点在轴上或轴的上方，在点的下方，可得不等式组，由此可得结论．【解答】解：由，消去得到，，第40页（共40页）\n△，，△的值可能大于0，抛物线与直线可能有交点，故①错误．抛物线与轴有两个交点，△，，抛物线经过，且时，，抛物线与轴的交点一定在与之间．故②正确，抛物线的顶点在点，，围成的三角形区域内（包括边界），，，，解得，，故③正确，故答案为：②③．【点评】本题考查抛物线与轴的交点，一次函数的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建不等式或不等式组解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。17．（8分）（2021•南充）先化简，再求值：，其中．【分析】由题意可知，在化简的过程中可以运用平方差公式第40页（共40页）\n和完全平方差公式快速计算，再把代入化简后得到的式子中求值．【解答】解：原式．，．故答案为：，．【点评】本题主要考查整式的混合运算——化简求值．同时也考查了平方差公式和完全平方差公式的灵活应用．这题属于简单题型，但是学生在化简时候容易忘记添括号，和去括号变符号．18．（8分）（2021•南充）如图，，是内部一条射线，若，于点，于点．求证：．【分析】根据证明，再根据全等三角形的对应边相等即可得解．【解答】证明：，，，，，第40页（共40页）\n，,在和中，,,．【点评】此题考查了三角形全等的判定和性质，本题的关键是根据已知的条件证明．19．（8分）（2021•南充）某市体育中考自选项目有乒乓球、篮球和羽毛球，每个考生任选一项作为自选考试项目．（1）求考生小红和小强自选项目相同的概率；（2）除自选项目之外，长跑和掷实心球为必考项目．小红和小强的体育中考各项成绩（百分制）的统计图表如下：考生自选项目长跑掷实心球小红959095第40页（共40页）\n小强909595①补全条形统计图．②如果体育中考按自选项目占、长跑占、掷实心球占计算成绩（百分制），分别计算小红和小强的体育中考成绩．【分析】（1）将乒乓球、篮球和羽毛球分别记作、、，列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式计算可得答案；（2）①根据表格中的数据即可补全条形图；②根据加权平均数的定义列式计算即可．【解答】解：（1）将乒乓球、篮球和羽毛球分别记作、、，列表如下：由表可知共有9种等可能结果，其中小红和小强自选项目相同的有3种结果，所以小红和小强自选项目相同的概率为；（2）①补全条形统计图如下：第40页（共40页）\n②小红的体育中考成绩为（分，小强的体育中考成绩为（分．【点评】此题考查了条形统计图、加权平均数及列表法或树状图法求概率．列表法或树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，列举法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．20．（10分）（2021•南充）已知关于的一元二次方程．（1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两个实数根为，，且与都为整数，求所有可能的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△，进而可证出方程有两个不相等的实数根；（2）解方程求出方程的两根为，，得出或，然后利用有理数的整除性确定的整数值；【解答】（1）证明：△，无论取何值，方程有两个不相等的实数根．（2）解：，即，解得：或．一元二次方程的两根为，，或，如果为整数，则为1的约数，，第40页（共40页）\n如果为整数，则为1的约数，，则为0或．整数的所有可能的值为，0或．【点评】本题考查了根的判别式、解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用解方程求出的整数值．21．（10分）（2021•南充）如图，反比例函数的图象与过点，的直线交于点和．（1）求直线和反比例函数的解析式；（2）已知点，直线与反比例函数图象在第一象限的交点为，直接写出点的坐标，并求的面积．【分析】根据待定系数法求得即可；（2）解析式联立，解方程组求得的坐标，然后根据待定系数法求得直线的解析式，再与反比例函数解析式联立，解方程组即可求得的坐标，然后根据正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可求得的面积．【解答】解：（1）设反比例函数解析式为,直线解析式为,反比例函数的图象过点,第40页（共40页）\n,把点，代入得,解得,直线为,反比例函数的解析式为；解得或,,设直线为,把,代入得,解得,直线为,由得或,,．第40页（共40页）\n【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．22．（10分）（2021•南充）如图，，是上两点，且，连接并延长到点，使，连接．（1）求证：是的切线；（2）点，分别是，的中点，所在直线交于点，，，求的长．【分析】（1）证明即可；（2）求弦长，根据垂径定理先求出弦长的一半即可．连结,过点作于点，根据中位线定理得，所以，求出，根据勾股定理求出，乘2即可求出．【解答】证明，第40页（共40页）\n是等边三角形．．，，,，．．，点在上，是的切线；解如图，连结,过点作于点．，．点,分别是，的中点，,．,．．．第40页（共40页）\n【点评】本题考查了切线的判定，三角形中位线定理，垂径定理，属于中档题，构造直角三角形，利用勾股定理求出的长是解题的关键．23．（10分）（2021•南充）超市购进某种苹果，如果进价增加2元千克要用300元；如果进价减少2元千克，同样数量的苹果只用200元．（1）求苹果的进价；（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元千克，写出购进苹果的支出（元与购进数量（千克）之间的函数关系式；（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销售单价（元千克）与一天销售数量（千克）的关系为．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润（元最大，求一天购进苹果数量．（利润销售收入购进支出）【分析】（1）设苹果的进价为元千克，根据题意列出方式方程，解出即可得出结果；（2）根据自变量的不同取值范围：和，得出两个函数关系式即可；（3）根据自变量的不同取值范围：和，得出两个二次函数关系式，分别求出最大值比较后即可得出结果．【解答】（1）解：设苹果的进价为元千克，第40页（共40页）\n根据题意得：，解得：，经检验是原方程的根，且符合题意，答：苹果的进价为10元千克．（2）解：当时，；当时，；．（3）解：当时，，当时，有最大值为100；当时，，当时，有最大值为200；，第40页（共40页）\n一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大为200元．答：一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大．【点评】本题考查了分式方程的应用，一次函数及二次函数的应用，能够正确地根据自变量不同的取值范围，列出不同的函数关系式是解决本题的关键．24．（10分）（2021•南充）如图，点在正方形边上，点是线段上的动点（不与点重合），交于点，于点，，．（1）求；（2）设，，试探究与的函数关系式（写出的取值范围）；（3）当时，判断与的位置关系并说明理由．【分析】（1）过点作于点，由正方形的性质求出，由直角三角形的性质求出和的长，则可得出答案；（2）证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．（3）由锐角三角函数的定义要得出，求出，，由勾股定理求出的长，得出，则可得出答案．【解答】解：（1）过点作于点，第40页（共40页）\n，四边形是边长为1的正方形，，，，，，，；（2），，，，，，，；（3）当时，，第40页（共40页）\n理由如下：，，，，，，，，又，点与点重合，．【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．25．（12分）（2021•南充）如图，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，对称轴为直线．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状并说明理由；第40页（共40页）\n（3）如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且．在轴上是否存在点，得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）设点的坐标为，则点的坐标为，则，进而求解；（3）当，则，则直线和直线关于直线对称，进而求出点的坐标为，再分、、三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为①；（2）对于，令，解得或4，令，则，第40页（共40页）\n故点的坐标为，点，设直线的表达式为，则，解得，故直线的表达式为，设点的坐标为，则点的坐标为，则，，故有最大值，当时，的最大值为，此时点的坐标为；，，故四边形为平行四边形；（3）是的中点，则点，由点、的坐标，同理可得，直线的表达式为，过点作轴于点，则，故，而．，第40页（共40页）\n则直线和直线关于直线对称，故设直线的表达式为，将点的坐标代入上式并解得，故直线的表达式为②，联立①②并解得（不合题意的值已舍去），故点的坐标为，设点的坐标为，由点、的坐标得：，同理可得，当时，即，解得；当时，即，方程无解；当时，即，解得；故点的坐标为或或．【点评】第40页（共40页）\n主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．第40页（共40页）