2021年广西柳州市中考数学试卷

2021年广西柳州市中考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）1．（3分）（2021•柳州）在实数3，12，0，﹣2中，最大的数为（　　）A．3B．12C．0D．﹣22．（3分）（2021•柳州）如下摆放的几何体中，主视图为圆的是（　　）A．B．C．D．3．（3分）（2021•柳州）柳州市大力发展新能源汽车业，仅今年二月宏光MINIEV销量就达17000辆，用科学记数法将数据17000表示（　　）A．0.17×105B．17×103C．1.7×104D．1.7×1054．（3分）（2021•柳州）以下四个标志，每个标志都有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形是（　　）A．节能B．绿色环保C．永洁环保D．绿色食品5．（3分）（2021•柳州）以下调查中，最适合用来全面调查的是（　　）A．调查柳江流域水质情况B．了解全国中学生的心理健康状况C．了解全班学生的身高情况第28页（共28页）\nD．调查春节联欢晚会收视率6．（3分）（2021•柳州）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝10，则△AOD的面积为（　　）A．9B．10C．11D．127．（3分）（2021•柳州）如图，有4张形状大小质地均相同的卡片，正面印有速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶四种不同的图案，背面完全相同，现将这4张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是冰壶项目图案的概率是（　　）A．14B．13C．12D．348．（3分）（2021•柳州）下列计算正确的是（　　）A．3+7=10B．3+7=37C．3×7=21D．27-2=79．（3分）（2021•柳州）某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙三名同学的平均分为及方差S2如表所示，那么这三名同学数学成绩最稳定的是（　　）甲乙丙x919191第28页（共28页）\nS262454A．甲B．乙C．丙D．无法确定10．（3分）（2021•柳州）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）A．k＞0B．b＝2C．y随x的增大而增大D．x＝3时，y＝011．（3分）（2021•柳州）往水平放置的半径为13cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度AB＝24cm，则水的最大深度为（　　）A．5cmB．8cmC．10cmD．12cm12．（3分）（2021•柳州）如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A′，则此时线段CA扫过的图形的面积为（　　）第28页（共28页）\nA．43B．6C．43πD．83π二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．)13．（3分）（2021•柳州）如图，直线a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数是　　°．14．（3分）（2021•柳州）因式分解：x2﹣1＝　　．15．（3分）（2021•柳州）如图，在数轴上表示x的取值范围是　　．16．（3分）（2021•柳州）若长度分别为3，4，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是　　．（写出一个即可）17．（3分）（2021•柳州）在x轴，y轴上分别截取OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，两弧交于点P，若点P的坐标为（a，2），则a的值是　　．18．（3分）（2021•柳州）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y=kx（k＞0）的图象交于A，B两点，点M在以C（2，0）为圆心，半径为1的⊙C上，N是AM的中点，已知ON长的最大值为32，则k的值是　　．第28页（共28页）\n三、解答題(本大题共8小题,共66分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19．（6分）（2021•柳州）计算：|﹣3|-9+1．20．（6分）（2021•柳州）解分式方程：1x=2x+3．21．（8分）（2021•柳州）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明．证明：在△DEC和△ABC中，CD=(ㅤㅤ)(ㅤㅤ)CE=(ㅤㅤ)，∴△DEC≌△ABC（SAS），∴　　．第28页（共28页）\n22．（8分）（2021•柳州）如今，柳州螺蛳粉已经成为名副其实的“国民小吃”，螺蛳粉小镇对A、B两种品牌的螺蛳粉举行展销活动．若购买20箱A品牌螺蛳粉和30箱B品牌螺蛳粉共需要4400元，购买10箱A品牌螺蛳粉和40箱B品牌螺蛳粉则需要4200元．（1）求A、B品牌螺蛳粉每箱售价各为多少元？（2）小李计划购买A、B品牌螺蛳粉共100箱，预算总费用不超过9200元，则A品牌螺蛳粉最多购买多少箱？23．（8分）（2021•柳州）为迎接中国共产党建党100周年，某校开展了以“不忘初心，缅怀先烈”为主题的读书活动，学校政教处对本校七年级学生五月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示：（1）补全下面图1的统计图；（2）本次所抽取学生五月份“读书量”的众数为　　；（3）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，五月份“读书量”不少于4本的学生人数．24．（10分）（2021•柳州）在一次海上救援中，两艘专业救助船A、B同时收到某事故渔船P的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离（结果保留根号）；（2）求救助船A、B第28页（共28页）\n分别以40海里/小时，30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．25．（10分）（2021•柳州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝AB＝1，DC=5，以A为圆心，AD为半径作圆，延长CD交⊙A于点F，延长DA交⊙A于点E，连结BF，交DE于点G．（1）求证：BC为⊙A的切线；（2）求cos∠EDF的值；（3）求线段BG的长．26．（10分）（2021•柳州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-32）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接OD，过点B作BE⊥OD，垂足为E，若BE＝2OE，求点D的坐标；第28页（共28页）\n（3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接AM，交BC于点N，连接BM，记△BMN的面积为S1，△ABN的面积为S2，求S1S2的最大值．第28页（共28页）\n2021年广西柳州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）1．（3分）（2021•柳州）在实数3，12，0，﹣2中，最大的数为（　　）A．3B．12C．0D．﹣2【解答】解：∵﹣2是负数，∴﹣2＜0，∵0＜12＜3，∴﹣2＜0＜12＜3，∴最大的数是3．故选：A．2．（3分）（2021•柳州）如下摆放的几何体中，主视图为圆的是（　　）A．B．C．D．【解答】解：A．三棱锥的主视图为三角形，三角形的内部有一条纵向的实线，故本选不合题意；B．三棱柱的主视图为矩形，矩形中间有一条纵向的虚线，故本选不合题意；C．长方体的主视图为矩形，故本选不合题意；D．球的主视图为圆，故本选项符合题意；故选：D．第28页（共28页）\n3．（3分）（2021•柳州）柳州市大力发展新能源汽车业，仅今年二月宏光MINIEV销量就达17000辆，用科学记数法将数据17000表示（　　）A．0.17×105B．17×103C．1.7×104D．1.7×105【解答】解：17000＝1.7×104，故选：C．4．（3分）（2021•柳州）以下四个标志，每个标志都有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形是（　　）A．节能B．绿色环保C．永洁环保D．绿色食品【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D．是轴对称图形，故本选项符合题意；故选：D．5．（3分）（2021•柳州）以下调查中，最适合用来全面调查的是（　　）A．调查柳江流域水质情况B．了解全国中学生的心理健康状况C．了解全班学生的身高情况D．调查春节联欢晚会收视率【解答】解：A、调查柳江流域水质情况，适合抽样调查，故本选项不合题意；第28页（共28页）\nB、了解全国中学生的心理健康状况，适合抽样调查，故本选项不合题意；C、了解全班学生的身高情况，适合普查，故本选项符合题意；D、调查春节联欢晚会收视率，适合抽样调查，故本选项不合题意．故选：C．6．（3分）（2021•柳州）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝10，则△AOD的面积为（　　）A．9B．10C．11D．12【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD＝BC＝AB，AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，∴∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝∠AOB＝90°，∴Rt△AOD≌Rt△COD≌Rt△BOC≌Rt△AOB（HL），即四个三角形的面积相等，∵在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝10，∴菱形ABCD的面积为：12AC•BD＝40．∴△AOD的面积为：14×40＝10．故选：B．7．（3分）（2021•柳州）如图，有4张形状大小质地均相同的卡片，正面印有速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶四种不同的图案，背面完全相同，现将这4张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是冰壶项目图案的概率是（　　）第28页（共28页）\nA．14B．13C．12D．34【解答】解：∵有4张形状、大小、质地均相同的卡片，冰壶项目图案的有1张，∴从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是冰壶项目图案的概率是14；故选：A．8．（3分）（2021•柳州）下列计算正确的是（　　）A．3+7=10B．3+7=37C．3×7=21D．27-2=7【解答】解：A、3与7不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意．B、3与7不是同类二次根式，不能合并，故B不符合题意．C、原式=21，故C符合题意．D、﹣2与27不是同类二次根式，不能合并，故D不符合题意．故选：C．9．（3分）（2021•柳州）某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙三名同学的平均分为及方差S2如表所示，那么这三名同学数学成绩最稳定的是（　　）甲乙丙x919191S262454A．甲B．乙C．丙D．无法确定【解答】解：∵s甲2＝6，s乙2＝24，s丙2＝54，且平均数相等，第28页（共28页）\n∴s甲2＜s乙2＜s丙2，∴这三名同学数学成绩最稳定的是甲．故选：A．10．（3分）（2021•柳州）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）A．k＞0B．b＝2C．y随x的增大而增大D．x＝3时，y＝0【解答】解：观察一次函数图象发现，图象过第一、二、四象限，∴k＜0，A错误；∴函数值y随x的增大而减少，C错误；∵图象与y轴的交点为（0，2）∴b＝2，B正确；∵图象与x轴的交点为（4，0）∴x＝4时，y＝0，D错误．故选：B．11．（3分）（2021•柳州）往水平放置的半径为13cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度AB＝24cm，则水的最大深度为（　　）第28页（共28页）\nA．5cmB．8cmC．10cmD．12cm【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：∵AB＝24cm，∴BD=12AB＝12（cm），∵OB＝OC＝13cm，在Rt△OBD中，OD=OB2-BD2=132-122=5（cm），∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（cm），即水的最大深度为8cm，故选：B．12．（3分）（2021•柳州）如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A′，则此时线段CA扫过的图形的面积为（　　）第28页（共28页）\nA．43B．6C．43πD．83π【解答】解：由题意，知AC＝4，BC＝4﹣2＝2，∠A′BC＝90°．由旋转的性质，得A′C＝AC＝4．在Rt△A1BC中，cos∠ACA′=BCA'C=12．∴∠ACA′＝60°．∴扇形ACA′的面积为60π×42360=83π．即线段CA扫过的图形的面积为83π．故选：D．二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．)13．（3分）（2021•柳州）如图，直线a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数是　60　°．【解答】解：如图，∵∠1＝60°，∴∠3＝∠1＝60°，第28页（共28页）\n∵a∥b，∴∠2＝∠3＝60°．故答案为：60．14．（3分）（2021•柳州）因式分解：x2﹣1＝　（x+1）（x﹣1）　．【解答】解：原式＝（x+1）（x﹣1）．故答案为：（x+1）（x﹣1）．15．（3分）（2021•柳州）如图，在数轴上表示x的取值范围是　x＞2　．【解答】解：在数轴上表示x的取值范围是x＞2．故答案为：x＞2．16．（3分）（2021•柳州）若长度分别为3，4，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是　5（答案不唯一）　．（写出一个即可）【解答】解：由三角形三边关系定理得：4﹣3＜a＜4+3，即1＜a＜7，即符合的整数a的值可以是5（答案不唯一），故答案为：5（答案不唯一）．17．（3分）（2021•柳州）在x轴，y轴上分别截取OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，两弧交于点P，若点P的坐标为（a，2），则a的值是　2或﹣2　．【解答】解：∵OA＝OB，分别以点A，B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，两弧交于点P，∴点P在∠BOA的角平分线上，第28页（共28页）\n∴点P到x轴和y轴的距离相等，即|a|＝2，又∵点P的坐标为（a，2），2＞0，∴点P在第一、二象限，∴a＝±2，故答案为2或﹣2．18．（3分）（2021•柳州）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y=kx（k＞0）的图象交于A，B两点，点M在以C（2，0）为圆心，半径为1的⊙C上，N是AM的中点，已知ON长的最大值为32，则k的值是　3225　．【解答】解：联立y=kxy=2x，∴x2=k2，∴x=±k2，∴A（-k2，-2k2），B（k2，2k2），∴A与B关于原点O对称，第28页（共28页）\n∴O是线段AB的中点，∵N是线段AM的中点，连接BM，则ON∥BM，且ON=12BM，∵ON的最大值为32，∴BM的最大值为3，∵M在⊙C上运动，∴当B，C，M三点共线时，BM最大，此时BC＝BM﹣CM＝2，∴（(k2-2)2+(2k2)2=4，∴k＝0或3225，∵k＞0，∴k=3225，故答案为：3225．三、解答題(本大题共8小题,共66分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19．（6分）（2021•柳州）计算：|﹣3|-9+1．【解答】解：原式＝3﹣3+1＝1．20．（6分）（2021•柳州）解分式方程：1x=2x+3．【解答】解：去分母得：x+3＝2x，解得：x＝3，第28页（共28页）\n检验：当x＝3时，x（x+3）≠0，∴分式方程的解为x＝3．21．（8分）（2021•柳州）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明．证明：在△DEC和△ABC中，CD=(ㅤㅤ)(ㅤㅤ)CE=(ㅤㅤ)，∴△DEC≌△ABC（SAS），∴　DE＝AB　．【解答】证明：在△DEC和△ABC中，CD=CA∠DCE=∠ACBCE=CB，∴△DEC≌△ABC（SAS），∴DE＝AB．故答案为：CA，∠DCE＝∠ABC，CB，DE＝AB．22．（8分）（2021•柳州）如今，柳州螺蛳粉已经成为名副其实的“国民小吃”，螺蛳粉小镇对A、B两种品牌的螺蛳粉举行展销活动．若购买20箱A品牌螺蛳粉和30箱B品牌螺蛳粉共需要4400元，购买10箱A品牌螺蛳粉和40箱B品牌螺蛳粉则需要4200元．第28页（共28页）\n（1）求A、B品牌螺蛳粉每箱售价各为多少元？（2）小李计划购买A、B品牌螺蛳粉共100箱，预算总费用不超过9200元，则A品牌螺蛳粉最多购买多少箱？【解答】解：（1）设A品牌螺蛳粉每箱售价为x元，B品牌螺蛳粉每箱售价为y元，依题意得：20x+30y=440010x+40y=4200，解得：x=100y=80．答：A品牌螺蛳粉每箱售价为100元，B品牌螺蛳粉每箱售价为80元．（2）设购买A品牌螺蛳粉m箱，则购买B品牌螺蛳粉（100﹣m）箱，依题意得：100m+80（100﹣m）≤9200，解得：m≤60．答：A品牌螺蛳粉最多购买60箱．23．（8分）（2021•柳州）为迎接中国共产党建党100周年，某校开展了以“不忘初心，缅怀先烈”为主题的读书活动，学校政教处对本校七年级学生五月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示：（1）补全下面图1的统计图；（2）本次所抽取学生五月份“读书量”的众数为　3　；（3）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，五月份“读书量”不少于4本的学生人数．第28页（共28页）\n【解答】解：（1）抽样调查的学生总数为：1020%=50（人），“读书量”4本的人数所占的百分比是1﹣10%﹣10%﹣20%﹣40%＝20%，“读书量”4本的人数有：50×20%＝10（人），补全图1的统计图如下，（2）根据统计图可知众数为3，故答案为：3；（3）根据题意得，1200×（10%+20%）＝360（人），答：估计该校七年级学生中，五月份“读书量”不少于4本的学生有360人．24．（10分）（2021•柳州）在一次海上救援中，两艘专业救助船A、B同时收到某事故渔船P第28页（共28页）\n的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离（结果保留根号）；（2）求救助船A、B分别以40海里/小时，30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．【解答】解：（1）作PC⊥AB于C，如图所示：则∠PCA＝∠PCB＝90°，由题意得：PA＝120海里，∠A＝30°，∠CBP＝45°，在Rt△ACP中，∵∠CAP＝30°，∠PCA＝90°，∴PC=12PA＝60海里，在Rt△BCP中，∵∠PCB＝90°，∠CBP＝45°，sin∠BCP=PCPB，∴PB=PCsin45°=6022=602（海里），答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为602海里；（2）∵PA＝120海里，PB＝602海里，救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，∴救助船A所用的时间为12040=3（小时），救助船B所用的时间为60230=22（小时），第28页（共28页）\n∵3＞22，∴救助船B先到达．25．（10分）（2021•柳州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝AB＝1，DC=5，以A为圆心，AD为半径作圆，延长CD交⊙A于点F，延长DA交⊙A于点E，连结BF，交DE于点G．（1）求证：BC为⊙A的切线；（2）求cos∠EDF的值；（3）求线段BG的长．【解答】（1）证明：∵AD⊥AB，∴∠BAD＝90°，∵AD∥BC，∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝90°，∵AB＝AD，第28页（共28页）\n∴BC为⊙A的切线；（2）解：如图1，过点D作DH⊥BC于H，∴∠DHB＝90°，由（1）知，∠BAD＝∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠BAD＝∠BHD＝90°，∴四边形ABHD为矩形，∵AB＝AD＝1，∴矩形ABHD是正方形，∴BH＝DH＝AB＝1，在Rt△DHC中，CD=5，根据勾股定理得，CH=CD2-DH2=2，∴cosC=CHCD=25=255，∵AD∥BC，∴∠EDF＝∠C，∴cos∠EDF＝cosC=255；（3）如图2，过点A作AM⊥DF于M，则DF＝2DM，∠AMD＝90°，在Rt△AMD中，AD＝1，cos∠EDF=DMAD，∴DM＝AD•cos∠EDF＝1×255=255，第28页（共28页）\n∴DF＝2DM=455，∴CF＝DF+CD=455+5=955，∵AD∥BC，∴△DFG∽△CFB，∴DFCF=DGBC，由（1）知，BC＝1+2＝3，∴455955=DG3，∴DG=43，∴AG＝DG﹣AD=13，在Rt△BAG中，BG=AG2+AB2=(13)2+12=103．第28页（共28页）\n26．（10分）（2021•柳州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-32）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接OD，过点B作BE⊥OD，垂足为E，若BE＝2OE，求点D的坐标；（3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接AM，交BC于点N，连接BM，记△BMN的面积为S1，△ABN的面积为S2，求S1S2的最大值．【解答】解：（1）依题意，设y＝a（x+1）（x﹣3），代入C（0，-32）得：a•1•（﹣3）=-32，解得：a=12，∴y=12（x﹣1）（x﹣3）=12（x﹣1）2﹣2=12x2﹣x-32；（2）BE＝2OE，P为OB中点，设OE为x，BE＝2x，OE2+BE2＝OB2，x2+4x2＝9，第28页（共28页）\n解得：x1=355，x2=-355（舍），∴OE=355，BE=655，过点E作TF平行于OB，∴△ETO∽△OEB，∴OTEB=OEOB=TEOE，∴OE2＝OB•GE，∴3TE=4525，解得：TE=35，∴OT=BE5=65，∴E（35，-65），∴直线OE的解析式为y＝﹣2x，∵OE的延长线交抛物线于点D，∴y=-2xy=12x2-x-32，解得：x1＝1，x2＝﹣3（舍），第28页（共28页）\n当x＝1时，y＝﹣2，∴D（1，﹣2）；（3）∵S1=12NB•MD，S2=12NB•AH，∴S1S2=MDAH=MTAF，设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B，C两点代入得，-32=b0=3k-32，解得：b=-32k=12，∴直线BC的解析式为y=12x-32，当x＝﹣1时，y=12•（﹣1）-32=2，∴F（﹣1，﹣2），∴AF＝2，设M（x，12x2﹣x-32），∴MT=12x-32-（12x2﹣x-32）=-12（x-32）2+98，∴a=-12＜0，∴MTmax=98，∴(S1S2)max=MDAH=MTAF=MTmaxAF=982=916．第28页（共28页）