2021年湖北省荆门市中考数学试卷一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题中均给出了四个答案,其中有且只有一个正确答案,请将正确答案的字母代号涂在答题卡上)1．（3分）（2021•荆门）2021的相反数的倒数是（ ）A．﹣2021B．2021C．-12021D．120212．（3分）（2021•荆门）“绿水青山就是金山银山”某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资1.102×108元资金．数据1.012×108用科学记数法可表示为（ ）A．10.12亿B．1.012亿C．101.2亿D．1012亿3．（3分）（2021•荆门）下列图形既是中心对称又是轴对称的是（ ）A．B．C．D．4．（3分）（2021•荆门）如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“红”字的面的对面上的字是（ ）第37页（共37页）\nA．传B．国C．承D．基5．（3分）（2021•荆门）下列运算正确的是（ ）A．（﹣x3）2＝x5B．(-x)2=xC．（﹣x）2+x＝x3D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+16．（3分）（2021•荆门）我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问长木多少尺？如果设木条长为x尺，绳子长为y尺，则下面所列方程组正确的是（ ）A．y=x+4.512y=x-1B．y=x-4.512y=x+1C．y=x+4.52y=x-1D．y=x-4.52y=x+17．（3分）（2021•荆门）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（ ）A．55°B．65°C．75°D．85°8．（3分）（2021•荆门）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若∠P＝70°，则∠ABO＝（ ）第37页（共37页）\nA．30°B．35°C．45°D．55°9．（3分）（2021•荆门）在同一直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y=k|x|（k≠0）的大致图象是（ ）A．①②B．②③C．②④D．③④10．（3分）（2021•荆门）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）开口向下且过点A（1，0），B（m，0）（﹣2＜m＜﹣1），下列结论：①2b+c＞0；②2a+c＜0；③a（m+1）﹣b+c＞0；④若方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有两个不相等的实数根，则4ac﹣b2＜4a．其中正确结论的个数是（ ）A．4B．3C．2D．1二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分,请将结果填写在答题卡相应位置)11．（3分）（2021•荆门）计算：|1-2|+（12）﹣1+2cos45°+（﹣1）0＝ ．12．（3分）（2021•荆门）把多项式x3+2x2﹣3x因式分解，结果为 ．第37页（共37页）\n13．（3分）（2021•荆门）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB＝30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y=kx（k≠0）的图象上，若在y=kx的图象上另有一点M使得∠MOC＝30°，则点M的坐标为 ．14．（3分）（2021•荆门）如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为 ．15．（3分）（2021•荆门）关于x的不等式组-(x-a)＜31+2x3≥x-1恰有2个整数解，则a的取值范围是 ．16．（3分）（2021•荆门）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第 行第 列．第37页（共37页）\n三、解答题(本大题共8小题,共72分,请在答题卡相应区域作答)17．（8分）（2021•荆门）先化简，再求值：xx-4•（x+2x2-2x-x-1x2-4x+4），其中x＝3-2．18．（8分）（2021•荆门）为庆祝中国共产党建党100周年，某校拟举办主题为“学党史跟党走”的知识竞赛活动．某年级在一班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，成绩分为A、B、C、D四个等级，其等级对应的分值分别为100分、90分、80分、70分，将这两个班学生的最后等级成绩分析整理绘制成了如图的统计图．（1）这次预赛中，二班成绩在B等及以上的人数是多少？（2）分别计算这次预赛中一班成绩的平均数和二班成绩的中位数；（3）已知一班成绩A等的4人中有两个男生和2个女生，二班成绩A等的都是女生，年级要求从这两个班A等的学生中随机选2人参加学校比赛，若每个学生被抽取的可能性相等，求抽取的2人中至少有1个男生的概率．第37页（共37页）\n19．（8分）（2021•荆门）如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点，∠AEF＝90°，且EF＝AE，FH⊥BH．（1）求证：BE＝CH；（2）若AB＝3，BE＝x，用x表示DF的长．20．（8分）（2021•荆门）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10（3+3）海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶202海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．（1）求A，P之间的距离AP；（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？21．（8分）（2021•荆门）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．（1）若x1＝1，求x2及m的值；第37页（共37页）\n（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）=6m-5？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．22．（10分）（2021•荆门）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，过A，C，E三点的⊙O交AB边于另一点F，且F是AE的中点，AD是⊙O的一条直径，连接DE并延长交AB边于M点．（1）求证：四边形CDMF为平行四边形；（2）当CD=25AB时，求sin∠ACF的值．23．（10分）（2021•荆门）某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．x407090y1809030W360045002100（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（m＞0），公司为回馈消费者，规定该商品售价x第37页（共37页）\n不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．24．（12分）（2021•荆门）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C（0，﹣3），点Q为线段BC上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求|QO|+|QA|的最小值；（3）过点Q作PQ∥AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAQ与△PBQ面积分别为S1，S2，设S＝S1+S2，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值．第37页（共37页）\n2021年湖北省荆门市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题中均给出了四个答案,其中有且只有一个正确答案,请将正确答案的字母代号涂在答题卡上)1．（3分）（2021•荆门）2021的相反数的倒数是（ ）A．﹣2021B．2021C．-12021D．12021【分析】先求出2021的相反数，再求这个数的倒数即可．【解答】解：2021的相反数是﹣2021，﹣2021的倒数是-12021，故选：C．【点评】本题考查了倒数和相反数的定义，注意倒数和相反数的定义的区别．2．（3分）（2021•荆门）“绿水青山就是金山银山”某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资1.102×108元资金．数据1.012×108用科学记数法可表示为（ ）A．10.12亿B．1.012亿C．101.2亿D．1012亿【分析】确定出原数中整数位数，然后再确定其中0的个数即可．【解答】解：数据1.012×108用科学记数法可表示为：1.012×108＝101200000＝1.012亿，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）（2021•荆门）下列图形既是中心对称又是轴对称的是（ ）第37页（共37页）\nA．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；B．不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；C．是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项符合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．（3分）（2021•荆门）如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“红”字的面的对面上的字是（ ）A．传B．国C．承D．基【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．第37页（共37页）\n【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“传”与“因”是相对面，“承”与“色”是相对面，“红”与“基”是相对面．故选：D．【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体是空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．5．（3分）（2021•荆门）下列运算正确的是（ ）A．（﹣x3）2＝x5B．(-x)2=xC．（﹣x）2+x＝x3D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1【分析】根据幂的乘方与积的乘方，二次根式化简及整式乘法分别计算求解．【解答】解：A．（﹣x3）2＝x6，错误，不满足题意．B.(-x)2=|x|，错误，不满足题意．C．（﹣x）2+x＝x2+x，错误，不满足题意．D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1，正确，满足题意．故选：D．【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、二次根式的化简、整式的运算，解题关键是熟练掌握各种运算的方法．6．（3分）（2021•荆门）我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问长木多少尺？如果设木条长为x尺，绳子长为y尺，则下面所列方程组正确的是（ ）第37页（共37页）\nA．y=x+4.512y=x-1B．y=x-4.512y=x+1C．y=x+4.52y=x-1D．y=x-4.52y=x+1【分析】直接利用“绳长＝木条+4.5；12绳子＝木条﹣1”分别得出等式求出答案．【解答】解：设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为：y=x+4.512y=x-1．故选：A．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．7．（3分）（2021•荆门）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（ ）A．55°B．65°C．75°D．85°【分析】根据等腰直角三角形的性质求出∠FHE＝45°，求出∠NHB＝∠FHE＝45°，根据三角形内角和定理求出∠HNB＝105°，根据平行四边形的性质得出CD∥AB，根据平行线的性质得出∠2+∠HNB＝180°，再求出答案即可．【解答】解：延长EH交AB于N，第37页（共37页）\n∵△EFH是等腰直角三角形，∴∠FHE＝45°，∴∠NHB＝∠FHE＝45°，∵∠1＝30°，∴∠HNB＝180°﹣∠1﹣∠NHB＝105°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠2+∠HNB＝180°，∴∠2＝75°，故选：C．【点评】本题考查了三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质等知识点，能根据平行四边形的性质得出CD∥AB是解此题的关键．8．（3分）（2021•荆门）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若∠P＝70°，则∠ABO＝（ ）A．30°B．35°C．45°D．55°【分析】连接OA，根据切线的性质得到∠PBO＝∠PAO＝90°，根据四边形的内角和等于360°得到∠BOA＝360°﹣∠PBO﹣∠PAO﹣∠P＝110°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接OA，第37页（共37页）\n∵PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，∴∠PBO＝∠PAO＝90°，∵∠P＝70°，∴∠BOA＝360°﹣∠PBO﹣∠PAO﹣∠P＝110°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO=12（180°﹣∠BOA）=12（180°﹣110°）＝35°，故选：B．【点评】本题主要考查的是切线的性质，解决本题的关键是由PA、PB是⊙O的切线，可得PA＝PB．9．（3分）（2021•荆门）在同一直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y=k|x|（k≠0）的大致图象是（ ）第37页（共37页）\nA．①②B．②③C．②④D．③④【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．【解答】解：当k＞0时，一次函数y＝kx﹣k经过一、三、四象限，函数的y=k|x|（k≠0）的图象在一、二象限，故选项②的图象符合要求．当k＜0时，一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，函数的y=k|x|（k≠0）的图象经过三、四象限，故选项③的图象符合要求．故选：B．第37页（共37页）\n【点评】此题考查一次函数的图象和反比例函数的图象，数形结合是解题的关键．10．（3分）（2021•荆门）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）开口向下且过点A（1，0），B（m，0）（﹣2＜m＜﹣1），下列结论：①2b+c＞0；②2a+c＜0；③a（m+1）﹣b+c＞0；④若方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有两个不相等的实数根，则4ac﹣b2＜4a．其中正确结论的个数是（ ）A．4B．3C．2D．1【分析】根据题意得出x＝﹣2时函数值的符号和x＝1时函数的值，以及顶点的纵坐标即可得出答案．【解答】解：根据题意得a+b+c＝0，∴b＝﹣a﹣c，当x＝﹣2时，有4a﹣2b+c＜0，∴4a﹣2（﹣a﹣c）+c＜0，∴2a+c＜0，∴②正确，由2a+c＜0，得﹣2a﹣c＞0，∴2（﹣a﹣c）+c＞0，∴2b+c＞0，∴①正确，由a（m+1）﹣b+c＞0得a﹣b+c＞﹣am，当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，而a＜0，m＜0，∴﹣am＜0＜a﹣b+c，∴③正确，若方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有两个不相等的实数根，第37页（共37页）\n即a（x﹣m）（x﹣1）＝1有两个不相等的实数根，∴顶点的纵坐标4ac-b24a＞1，∴4ac﹣b2＜4a，∴④正确，故选：A．【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键在理解系数对图象的影响，a决定抛物线的开口方向和大小，b联同a决定对称轴的位置，c决定图象与y轴的交点位置，还有x轴上方的点对应的y＞0，下方的点对应的y＜0．二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分,请将结果填写在答题卡相应位置)11．（3分）（2021•荆门）计算：|1-2|+（12）﹣1+2cos45°+（﹣1）0＝ 22+2 ．【分析】根据绝对值的意义，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂计算即可．【解答】解：原式=2-1+2+2×22+1=2-1+2+2+1＝22+2．【点评】本题考查了绝对值的意义，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，考核学生的计算能力，注意负数的绝对值等于它的相反数．12．（3分）（2021•荆门）把多项式x3+2x2﹣3x因式分解，结果为 x（x+3）（x﹣1） ．【分析】先提取公因式x，再利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：原式＝x（x2+2x﹣3）＝x（x+3）（x﹣1），故答案为：x（x+3）（x﹣1）．【点评】第37页（共37页）\n本题考查提公因式法、十字相乘法分解因式，掌握提公因式法和十字相乘法分解因式的特征是得出正确答案的前提．13．（3分）（2021•荆门）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB＝30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y=kx（k≠0）的图象上，若在y=kx的图象上另有一点M使得∠MOC＝30°，则点M的坐标为 （3，1） ．【分析】作AE⊥OB于E，MF⊥x轴于F，则AE＝1，解直角三角形求得OE=3，即可求得C的坐标，根据待定系数法求的反比例函数的解析式，进一步表示出M（3n，n），代入解析式即可求得结果．【解答】解：作AE⊥OB于E，MF⊥x轴于F，则AE＝1，∵∠AOB＝30°，∴OE=3AE=3，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C为（1，3），∵点C在函数y=kx（k≠0）的图象上，∴k＝1×3=3，∴y=3x，∵∠COD＝∠AOB＝30°，∠MOC＝30°，∴∠DOM＝60°，第37页（共37页）\n∴∠MOF＝30°，∴OF=3MF，设MF＝n，则OF=3n，∴M（3n，n），∵点M在函数y=3x的图象上，∴n=33n，∴n＝1（负数舍去），∴M（3，1），故答案为（3，1）．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，含30°角的直角三角形的性质，坐标与图形变化﹣旋转，待定系数法求反比例函数的解析式，求得C的坐标是解题的关键．14．（3分）（2021•荆门）如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为 23-2π3 ．第37页（共37页）\n【分析】连接PB、PC，作PF⊥BC于F，根据等边三角形的性质得到∠PBC＝60°，解直角三角形求出BF、PF，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：连接PB、PC，作PF⊥BC于F，∵PB＝PC＝BC，∴△PBC为等边三角形，∴∠PBC＝60°，∠PBA＝30°，∴BF＝PB•cos60°=12PB＝1，PF＝PB•sin60°=3，则图中阴影部分的面积＝[扇形ABP的面积﹣（扇形BPC的面积﹣△BPC的面积）]×2＝[30⋅π×22360-（60⋅π×22360-12×2×3）]×2＝23-2π3，故答案为：23-2π3．【点评】本题考查的是扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．15．（3分）（2021•荆门）关于x的不等式组-(x-a)＜31+2x3≥x-1恰有2个整数解，则a第37页（共37页）\n的取值范围是 5≤a＜6 ．【分析】求出每个不等式的解集，根据不等式组整数解的个数得出关于a的不等式，解之可得答案．【解答】解：解不等式﹣（x+a）＜3，得：x＞a﹣3，解不等式1+2x3≥x﹣1，得：x≤4，∵不等式组有2个整数解，∴2＜a﹣3≤3，解得5≤a＜6．故答案为：5≤a＜6．【点评】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据不等式组中x的取值范围及整数解的个数得出关于a的不等式组．16．（3分）（2021•荆门）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第 64 行第 5 列．【分析】根据表格中的数据，可以写出前几行的数字个数，然后即可写出前n行的数字个数，从而可以得到2021在图中的位置．【解答】解：由图可知，第一行1个数字，第二行2个数字，第三行3个数字，第37页（共37页）\n…，则第n行n个数字，前n行一共有n(n+1)2个数字，∵63×642＜2021＜64×652，2021-63×642=2021﹣2016＝5，∴2021是表中第64行第5列，故答案为：64，5．【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是发现数字的变化特点，写出前n行的数字个数．三、解答题(本大题共8小题,共72分,请在答题卡相应区域作答)17．（8分）（2021•荆门）先化简，再求值：xx-4•（x+2x2-2x-x-1x2-4x+4），其中x＝3-2．【分析】先将括号内通分化简，然后约分代入x的值求解．【解答】解：xx-4（x+2x2-2x-x-1x2-4x+4）=xx-4[x+2x(x-2)-x-1(x-2)2]=xx-4[(x+2)(x-2)x(x-2)2-x(x-1)x(x-2)2]=xx-4•x-4x(x-2)2=1(x-2)2，把x＝3-2代入原式得：1(3-2-2)2=1(1-2)2=13-22=3+22．【点评】本题考查分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式的运算法则及因式分解．第37页（共37页）\n18．（8分）（2021•荆门）为庆祝中国共产党建党100周年，某校拟举办主题为“学党史跟党走”的知识竞赛活动．某年级在一班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，成绩分为A、B、C、D四个等级，其等级对应的分值分别为100分、90分、80分、70分，将这两个班学生的最后等级成绩分析整理绘制成了如图的统计图．（1）这次预赛中，二班成绩在B等及以上的人数是多少？（2）分别计算这次预赛中一班成绩的平均数和二班成绩的中位数；（3）已知一班成绩A等的4人中有两个男生和2个女生，二班成绩A等的都是女生，年级要求从这两个班A等的学生中随机选2人参加学校比赛，若每个学生被抽取的可能性相等，求抽取的2人中至少有1个男生的概率．【分析】（1）由条形图得出一班比赛的人数为20人，则二班参赛人数为20人，即可解决问题；（2）由加权平均数定义和中位数定义分别求解即可；（3）画树状图，共有30种等可能的结果，抽取的2人中至少有1个男生的结果有18种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）由条形图可知，一班比赛的人数为：4+9+5+2＝20（人），∵两个班参加比赛的人数相同，第37页（共37页）\n∴二班参赛人数为20人，∴这次预赛中，二班成绩在B等及以上的人数为：20×10%+20×35%＝9（人）；（2）一班成绩的平均数为：120（100×4+90×9+80×5+70×2）＝87.5（分），由题意得：二班成绩的中位数为80分；（3）∵二班成绩A等的都是女生，∴二班成绩A等的人数为：20×10%＝2（人），把一班成绩A等的2个男生分别记为A、B，其他成绩A等的4个女生分别记为C、D、E、F，画树状图如图：共有30种等可能的结果，抽取的2人中至少有1个男生的结果有18种，∴抽取的2人中至少有1个男生的概率为1830=35．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．19．（8分）（2021•荆门）如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点，∠AEF＝90°，且EF＝AE，FH⊥BH．（1）求证：BE＝CH；（2）若AB＝3，BE＝x，用x表示DF的长．第37页（共37页）\n【分析】（1）由正方形ABCD，∠AEF＝90°，FH⊥BH，可得∠H＝∠B，∠AEB＝∠F，从而△ABE≌△EHF，可得EH＝AB＝BC，即可证明CH＝BE；（2）连接DF，过F作FP⊥CD于P，证明四边形PCHF是正方形，可得PF＝CP＝BE＝x，DP＝DC﹣CP＝3﹣x，即可在Rt△DPF中，得DF=2x2-6x+9．【解答】（1）证明：∵正方形ABCD，∴∠B＝90°，AB＝BC，∵FH⊥BH，∴∠H＝90°＝∠B，∠F＝90°﹣∠FEH，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB＝90°﹣∠FEH，∴∠AEB＝∠F，在△ABE和△EHF中，∠B=∠H∠AEB=∠FAE=EF，∴△ABE≌△EHF（AAS），∴EH＝AB＝BC，BE＝FH，∴EH﹣EC＝BC﹣EC，即CH＝BE；（2）连接DF，过F作FP⊥CD于P，如图：第37页（共37页）\n∵∠H＝∠DCH＝∠FPC＝90°，∴四边形PCHF是矩形，由（1）知：BE＝FH＝CH，∴四边形PCHF是正方形，∴PF＝CP＝CH＝BE＝x，∵DC＝AB＝3，∴DP＝DC﹣CP＝3﹣x，Rt△DPF中，DF=DP2+PF2，∴DF=(3-x)2+x2=2x2-6x+9．【点评】本题考查正方形判定及性质，涉及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是证明△ABE≌△EHF和四边形PCHF是正方形．20．（8分）（2021•荆门）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10（3+3）海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶202海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．（1）求A，P之间的距离AP；（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？第37页（共37页）\n【分析】（1）通过作垂线构造直角三角形，求出小岛P到航线AB的最低距离PC，与暗礁的半径比较即可得出答案；（2）规划新航线BD，使小岛P到新航线的距离PE等于暗礁的半径，进而求出∠PBD，进而求出∠CBD，确定方向角．【解答】解：（1）过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，由题意得，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝202，设PC＝x，则BC＝x，在Rt△PAC中，∵tan30°=PCAC=xx+202=33，∴x＝106+102，∴PA＝2x＝206+202，答：A，P之间的距离AP为（206+202）海里；（2）因为PC﹣10（3+3）＝106+102-30﹣103=10（3+1）（2-3）＜0，所以有触礁的危险；设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，作PE⊥BD，垂足为E，当P到BD的距离PE＝10（3+3）海里时，第37页（共37页）\n有sin∠PBE=10(3+3)2⋅PC=10(3+3)20(3+1)=32，∴∠PBD＝60°，∴∠CBD＝60°﹣45°＝15°，90°﹣15°＝75°即海监船由B处开始沿南偏东至多75°的方向航行能安全通过这一海域．【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出小岛到航线的最短距离是得出正确答案的关键．21．（8分）（2021•荆门）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．（1）若x1＝1，求x2及m的值；（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）=6m-5？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先利用判别式的意义得到m≤5，再利用根与系数的关系得到x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，然后利用x1＝1可求出x2和m的值；（2）利用（x1﹣1）（x2﹣1）=6m-5得到2m﹣1﹣6=6m-5，整理得m2﹣8m+12＝0，解得m1＝2，m2＝6，然后利用m的范围确定m的值．第37页（共37页）\n【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣6）2﹣4（2m﹣1）≥0，解得m≤5，x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，∵x1＝1，∴1+x2＝6，x2＝2m﹣1，∴x2＝5，m＝3；（2）存在．∵（x1﹣1）（x2﹣1）=6m-5，∴x1x2﹣（x1+x2）+1=6m-5，即2m﹣1﹣6=6m-5，整理得m2﹣8m+12＝0，解得m1＝2，m2＝6，∵m≤5且m≠5，∴m＝2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca．也考查了判别式．22．（10分）（2021•荆门）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，过A，C，E三点的⊙O交AB边于另一点F，且F是AE的中点，AD是⊙O的一条直径，连接DE并延长交AB边于M点．（1）求证：四边形CDMF为平行四边形；（2）当CD=25AB时，求sin∠ACF的值．第37页（共37页）\n【分析】（1）连接DF、EF，根据圆周角定理得到∠ADF＝∠EDF，进而证明∠OFD＝∠EDF，根据平行线的判定定理得到FC∥DM，根据矩形的性质得到AF∥CD，根据平行四边形的判定定理证明结论；（2）根据题意得到CD＝2BM，证明△BEM∽△CED，根据相似三角形的性质得到EC＝2BE，根据勾股定理、正弦的定义计算，得到答案．【解答】（1）证明：连接DF、EF，∵∠BAC＝90°，∴FC是⊙O的直径，∵F是AE的中点，∴AF=EF，∴∠ADF＝∠EDF，∵OF＝OD，∴∠ADF＝∠OFD，∴∠OFD＝∠EDF，∴FC∥DM，∵OA＝OD，OF＝OC，∠BAC＝90°，∴四边形AFDC为矩形，∴AF∥CD，∴四边形CDMF为平行四边形；第37页（共37页）\n（2）解：∵四边形AFDC为矩形，四边形CDMF为平行四边形，∴CD＝AF＝FM＝EF，∵CD=25AB，∴CD=25（2CD+BM），∴CD＝2BM，∵BM∥CD，∴△BEM∽△CED，∴BMCD=BEEC=12，∴EC＝2BE，设BM＝a，则CD＝2a，BF＝3a，EF＝2a，在Rt△BEF中，BE=BF2-EF2=5a，∴EC＝25a，在Rt△CEF中，FC=EF2+EC2=26a，在Rt△FAC中，sin∠ACF=AFFC=2a26a=66．【点评】本题考查的是圆周角定理、矩形的判定定理和平行四边形的判定定理、相似三角形的判定和性质、正弦的定义，根据相似三角形的性质求出EC＝2BE是解题的关键．第37页（共37页）\n23．（10分）（2021•荆门）某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．x407090y1809030W360045002100（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（m＞0），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．【分析】（1）设y＝kx+b，把x＝40，y＝180和x＝70，y＝90，代入可得解析式．（2）根据利润＝（售价﹣进价）×数量，得W＝（﹣3x+300）（x﹣a），把x＝40，W＝3600，代入上式可得关系式W＝﹣3（x﹣60）2+4800，顶点的纵坐标是有最大值．（3）根据根据利润＝（售价﹣进价）×数量，得W＝﹣3（x﹣100）（x﹣20﹣m）（x≤55），其对称轴x＝60+m2＞60，0＜x≤55时，函数单调递增，只有x＝55时周销售利润最大，即可得m＝5．【解答】解：（1）设y＝kx+b，由题意有：40k+b=18070k+b=90，解得k=-3b=300，所以y关于x的函数解析式为y＝﹣3x+300；第37页（共37页）\n（2）由（1）W＝（﹣3x+300）（x﹣a），又由表知，把x＝40，W＝3600，代入上式可得关系式得：3600＝（﹣3×40+300）（40﹣a），∴a＝20，∴W＝（﹣3x+300）（x﹣20）＝﹣3x2+360x﹣6000＝﹣3（x﹣60）2+4800，所以售价x＝60时，周销售利润W最大，最大利润为4800；（3）由题意W＝﹣3（x﹣100）（x﹣20﹣m）（x≤55），其对称轴x＝60+m2＞60，∴0＜x≤55时，W的值随x增大而增大，∴只有x＝55时周销售利润最大，∴4050＝﹣3（55﹣100）（55﹣20﹣m），∴m＝5．【点评】本题考查二次函数的应用，解本题的关键理解题意，掌握二次函数的性质和销售问题中利润公式，24．（12分）（2021•荆门）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C（0，﹣3），点Q为线段BC上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求|QO|+|QA|的最小值；（3）过点Q作PQ∥AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAQ与△PBQ面积分别为S1，S2，设S＝S1+S2，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值．第37页（共37页）\n【分析】（1）运用待定系数法设y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，﹣3）代入，即可求得答案；（2）如图1，作点O关于直线BC的对称点O′，连接AO′，QO′，CO′，BO′，由O、O′关于直线BC对称，得出四边形BOCO′是正方形，根据|QA|+|QO′|≥|AO′|，|QO′|＝|QO|，得出答案；（3）运用待定系数法求出直线BC、AC、PQ的解析式，设P（m，m2﹣2m﹣3），联立方程组，得：y=x-3y=-3x+m2+m-3，求得Q（m2+m4，m2+m-124），再运用三角形面积公式求得答案．【解答】解：（1）∵抛物线交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴设y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，﹣3）代入，得：﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图1，作点O关于直线BC的对称点O′，连接AO′，QO′，CO′，BO′，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，第37页（共37页）\n∴∠BCO＝45°，∵O、O′关于直线BC对称，∴BC垂直平分OO′，∴OO′垂直平分BC，∴四边形BOCO′是正方形，∴O′（3，﹣3），在Rt△ABO′中，|AO′|=AB2+O'B2=42+32=5，∵|QA|+|QO′|≥|AO′|，|QO′|＝|QO|，∴|QO|+|QA|＝|QA|+|QO′|≥|AO′|＝5，即点Q位于直线AD与直线BC交点时，|QO|+|QA|有最小值5；（3）设直线BC的解析式为y＝kx+d，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴3k+d=0d=-3，解得：k=1d=-3，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，设直线AC的解析式为y＝mx+n，∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴-m+n=0n=-3，解得：m=-3n=-3，∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3，∵PQ∥AC，第37页（共37页）\n∴直线PQ的解析式可设为y＝﹣3x+b，由（1）可设P（m，m2﹣2m﹣3），代入直线PQ的解析式，得：m2﹣2m﹣3＝﹣3m+b，解得：b＝m2+m﹣3，∴直线PQ的解析式为y＝﹣3x+m2+m﹣3，联立方程组，得：y=x-3y=-3x+m2+m-3，解得：x=m2+m4y=m2+m-124，∴Q（m2+m4，m2+m-124），由题意：S＝S△PAQ+S△PBQ＝S△PAB﹣S△QAB，∵P，Q都在第四象限，∴P，Q的纵坐标均为负数，∴S=12|AB|•（﹣m2+2m+3）-12|AB|•（-m2+m-124）=-32m2+92m=-32（m-32）2+278，由题意，得0＜m＜3，∴m=32时，S最大，即P（32，-154）时，S有最大值278．第37页（共37页）\n【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，将军饮马的最值问题，利用二次函数求最值等，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识，运用数形结合思想是解题关键．第37页（共37页）
