高考大题增分专项五高考中的解析几何\n-2-从近五年的高考试题来看,圆锥曲线问题在高考中属于必考内容,并且常常在同一份试卷上多题型考查.对圆锥曲线的考查在解答题部分主要体现以下考法:第一问一般是先求圆锥曲线的方程或离心率等较基础的知识;第二问往往涉及定点、定值、最值、取值范围等探究性问题,解决此类问题的关键是通过联立方程来解决.\n-3-题型一题型二题型三题型四题型五题型六1.求轨迹方程时,先看轨迹的形状能否预知,若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线,则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解;否则利用直接法或代入法.2.讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应,要注意字母的取值范围.\n-4-题型一题型二题型三题型四题型五题型六例1已知圆C:(x+1)2+y2=8,过D(1,0)且与圆C相切的动圆圆心为P.(1)求点P的轨迹E的方程;(2)设过点C的直线l1交曲线E于Q,S两点,过点D的直线l2交曲线E于R,T两点,且l1⊥l2,垂足为W(Q,R,S,T为不同的四个点).②求四边形QRST的面积的最小值.\n-5-题型一题型二题型三题型四题型五题型六\n-6-题型一题型二题型三题型四题型五题型六②解:若l1或l2的斜率不存在,则四边形QRST的面积为2.若两条直线的斜率存在,设l1的斜率为k,则l1的方程为y=k(x+1),\n-7-题型一题型二题型三题型四题型五题型六\n-8-题型一题型二题型三题型四题型五题型六\n-9-题型一题型二题型三题型四题型五题型六消去y(或消去x)得ax2+bx+c=0.若a≠0,Δ=b2-4ac,Δ>0⇔相交;Δ<0⇔相离;Δ=0⇔相切.若a=0,得到一个一次方程:①C为双曲线,则l与双曲线的渐近线平行;②C为抛物线,则l与抛物线的对称轴平行.\n-10-题型一题型二题型三题型四题型五题型六例2已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.\n-11-题型一题型二题型三题型四题型五题型六(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上.\n-12-题型一题型二题型三题型四题型五题型六(2)解:由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4,\n-13-题型一题型二题型三题型四题型五题型六(1)求椭圆的标准方程;(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.\n-14-题型一题型二题型三题型四题型五题型六又CP=3,不合题意.当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),将AB的方程代入椭圆方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,\n-15-题型一题型二题型三题型四题型五题型六若k=0,则线段AB的垂直平分线为y轴,\n-16-题型一题型二题型三题型四题型五题型六处理有关圆锥曲线与圆相结合的问题,要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用,如直径对的圆心角为直角,构成了垂直关系;弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形.利用圆的一些特殊几何性质解题,往往使问题简化.\n-17-题型一题型二题型三题型四题型五题型六(1)求直线AB的斜率;(2)若直线AB与圆D相交于M,N两点,记△OAB的面积为S1,△OMN的面积为S2,求S=S1+S2的最大值.\n-18-题型一题型二题型三题型四题型五题型六解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点Q(x0,y0),∵点A,B在椭圆C上,\n-19-题型一题型二题型三题型四题型五题型六\n-20-题型一题型二题型三题型四题型五题型六\n-21-题型一题型二题型三题型四题型五题型六对点训练3如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求△PAB的面积.\n-22-题型一题型二题型三题型四题型五题型六\n-23-题型一题型二题型三题型四题型五题型六\n-24-题型一题型二题型三题型四题型五题型六1.求解定点和定值问题的基本思想是一致的,定值是证明求解的一个量与参数无关,定点问题是求解的一个点(或几个点)的坐标,使得方程的成立与参数值无关.解这类试题时要会合理选择参数(参数可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等),使用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标.当使用直线的斜率和截距表达直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题解决.2.证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程,根据方程的成立与参数值无关得出x,y的方程组,以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点.\n-25-题型一题型二题型三题型四题型五题型六(1)求C的方程;(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.\n-26-题型一题型二题型三题型四题型五题型六(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).若直线MN与x轴不垂直,设直线MN的方程为y=kx+m,整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0.因为A(2,1)不在直线MN上,所以2k+m-1≠0,故2k+3m+1=0,k≠1.\n-27-题型一题型二题型三题型四题型五题型六\n-28-题型一题型二题型三题型四题型五题型六\n-29-题型一题型二题型三题型四题型五题型六(1)求椭圆E的方程;(2)设椭圆E的右顶点为A,不过点A的直线l与椭圆E相交于P,Q两点,若以PQ为直径的圆经过点A,求证:直线l过定点,并求出该定点坐标.\n-30-题型一题型二题型三题型四题型五题型六∴(x1-2)(x2-2)+y1y2=0,即(my1+t-2)(my2+t-2)+y1y2=0,化为(m2+1)y1y2+(mt-2m)(y1+y2)+(t-2)2=0,\n-31-题型一题型二题型三题型四题型五题型六\n-32-题型一题型二题型三题型四题型五题型六范围、最值问题的基本解题思想是建立求解目标与其他变量的关系(不等关系、函数关系等),通过其他变量表达求解目标,然后通过解不等式、求函数值域(最值)等方法确定求解目标的取值范围和最值.在解题时要注意其他约束条件对求解目标的影响,如直线与曲线交于不同两点时对直线方程中参数的约束、圆锥曲线上点的坐标范围等.\n-33-题型一题型二题型三题型四题型五题型六例5(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.\n-34-题型一题型二题型三题型四题型五题型六(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|.记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k2>0,k1≠k2.\n-35-题型一题型二题型三题型四题型五题型六\n-36-题型一题型二题型三题型四题型五题型六\n-37-题型一题型二题型三题型四题型五题型六对点训练5已知动圆Q过定点F(0,-1),且与直线l:y=1相切,椭圆N的对称轴为坐标轴,O点为坐标原点,F是其一个焦点,又点A(0,2)在椭圆N上.(1)求动圆圆心Q的轨迹M的标准方程和椭圆N的标准方程;(2)若过F的动直线m交椭圆N于B,C点,交轨迹M于D,E两点,设S1为△ABC的面积,S2为△ODE的面积,令Z=S1S2,试求Z的最小值.\n-38-题型一题型二题型三题型四题型五题型六\n-39-题型一题型二题型三题型四题型五题型六\n-40-题型一题型二题型三题型四题型五题型六\n-41-题型一题型二题型三题型四题型五题型六解决直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题,往往是先假设所求的元素存在,然后再推理论证,检验说明假设是否正确.\n-42-题型一题型二题型三题型四题型五题型六例6已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA与l的距离等于4?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.思考如何求解圆锥曲线中的探索问题?\n-43-题型一题型二题型三题型四题型五题型六\n-44-题型一题型二题型三题型四题型五题型六\n-45-题型一题型二题型三题型四题型五题型六(1)求椭圆C的方程;(2)若直线y=kx(k≠0)与椭圆C交于E,F两点,直线AE,AF分别与y轴交于点M,N,在x轴上,是否存在点P,使得无论非零实数k怎样变化,总有∠MPN为直角?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解：(1)依题意,c=2.\n-46-题型一题型二题型三题型四题型五题型六(2)假设存在这样的点P,设P(x0,0),E(x1,y1),则F(-x1,-y1),\n-47-题型一题型二题型三题型四题型五题型六∴x0=2或x0=-2.∴存在点P,使得无论非零实数k怎样变化,总有∠MPN为直角,点P坐标为(2,0)或(-2,0).\n-48-1.直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有:(1)从方程的观点出发,利用根与系数的关系来进行讨论,这是用代数方法来解决几何问题的基础.要重视通过设而不求与弦长公式简化计算,同时注意利用图形的平面几何性质.(2)以向量为工具,利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题.2.定点问题是解析几何中的一种常见问题,基本的求解思想是:先用变量表示所需证明的不变量,然后通过推导和已知条件,消去变量,得到定值,即解决定值问题首先是求解非定值问题,即变量问题,最后才是定值问题.\n-49-3.求取值范围的问题时,首先要找到产生范围的几个因素:(1)直线与曲线相交(判别式),(2)曲线上点的坐标的范围,(3)题目中给出的限制条件;其次要建立结论中的量与这些范围中的因素的关系;最后利用函数或不等式求变量的取值范围.4.解析几何中最值问题的基本解法有几何法和代数法.几何法是根据已知的几何量之间的相互关系,通过平面几何和解析几何知识加以解决(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等);代数法是建立求解目标关于某个或某两个变量的函数,通过求解函数的最值(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)解决.
